книги из ГПНТБ / Большанина М.А. Распространение света в анизотропных средах

Полученное в §6 выражение вёктора Пойнтннга S-[£f/

очевидно не

изменится для анизотропной среды, поскольку оно не

содержит

ю

. Вектор'Пойнтннга '

S

как векторное произве­

дение

Е

и Н перпендикулярен

плоскости, содержащей Е и '

Н

, а

значит, не перпендикулярен

плоскости волны и не совпада­

из рис.

7.

Векторы

-

ч нормаль м лежат в

одной плоскости, так

как все

они перпендикулярны к вектору Н

.

’

(6.Е,г*6г Et-

iß'JJH 2

Через слагавшие Е по любым осям выракение для плотности энергии,

W“ 14

4 £ >

(ЗД

Ѵ /= 2 ^ о (^ Л ‘ +^2г£г + t a E l+Z&,i££z*

+ іь ,3Е А + г Ъ Е А ) + і / - / н .г

§ 8 . Скорости_распространения_света_в_аянзотропной среде.

•

Уравнение Френеля.

J o (J* 2 t 2

%X?

ЭхДдх/

Э х 2

0к =Qop* expioj(t

g.x. + â i*2

+

I

IT

/

К - І 2 . 5

^Z?,* так и

Е .

Что,выгоднее, под-

В уравнение (39) входит как

ставить в уравнение

ФX / или Еи

?Как будет видно дальше, для опре-

деления скорости V нам придется воспользоваться условней перпенди-

кулярности вектора

к нормали к волне. Вектор

Е не перпен-

ти,

так как

неизвестны

направляющие

косинусы

P O P ,

векто-

ра

индукции

a U

. желательно их исключить.

Мы поступки

следующим

образом.

Введем

обозначение

O f* = S ‘p , l, + 6 ф /2+ S ip 3 4 .

Тогда (42)

можно переписать так

а

(&г- ? ! = ь

у

или

<?

г

я =

е .

~ (43)

Чтобы исключить

Т Г ^ г

Г

Рк ,

воспользуемся перпендикулярностью

нормали к

волне:

0 - -

£

+

£к

£ -

W

Но

ЛФѴ‘

Г 2

I I - ѵ г

т

к'z5 - V

zJ f

поэтому

е?

Ф О ;

+

ч-

р *

^ — z = 0

С 4 4 )

S f - r

k l - r

S I - *

Получилось биквадратное уравнение для фазовой снорости. V

Каждому направлению нормали к волне

е,

ег,

соответ­

ствуют

две

скорости,

зависящие от диэлектрических

проницаемостей

6 ,

Р 2-j^(входящих в

Зк ).

Уравнение,

(44) называется уравнением.Френеля.

K - v f ^ - ß

z - o

Отсюда вытекает,

что либо Р г ' О

, т . е .

в направлении

оои

Х 2

нет

составляющей вектора

а

,

либо,

если рг ф0. , то

ѵ г- Si =D

i'i = 4 =

г ~ и г ~

т

_

Следовательно, если существуют колебания вектора

вдоль

оси.А

то

волна

распространяется

по

направлению

со

скоростью. 2 4 = 4 '

Условие

е3, о дает

аналогичный

результат,

т . е . если

есть

состав-

ляющая

ве кто р а

ЯХ У)

по

оси

X 5

то

волна вдоль

I

распрос-

траняетей

со

скоростью

Ui25=4OS

Итак,

вдоль

оси

X /

распространяются

две

поляризованных

волны:

одна

с

колебаниями вдоль

^ 2

распространяется со

скоростью

Й

=

Ж

. . и вторая с

колебаниями вдоль

Х ^

распространяется

со

скоростью

Ѵ3

= С / / £ 3 .

Аналогичные результаты получим для распространения волн вдоль

второго

главного

направления .

Ez

:

две

волны со

скоростями

V и

$ 2

;

и для

третьего

главного

направления

Е% со

скоростями

Ѵі и

% . .

Величины % -& \ f

Ѵг- u i > Щ - и з

Называются

главными

ско­

ростями.

Попутно мы выясняли

физический смысл величин

El

J & 2

и И>2

u i

j u z

к us

Направление колебаний вектора

0

дается

направлявшими

косинусами Рп Рі у Ръ

(формулы

(4 3 )).

В формуле

(43)

в

зна­

заданных

E} ) E z ) E s

» то, очевидно,

получится два значения

Р ,) Рі

й Рі •

О00зпачим их °ДНИ!1

11 Двумя штрихами.

л '= А

У

/»»-/

Г *

И ,

'

$ г _ у п

И'

' s?-v

р ; = г * 7 ?

А*=£

0"H Z

Si - V

6 1 - г

рі - А . J ? _

.

яг

г

Р'і

//

Лз J &* - Г

Л ! - г

Покаяеы,

что эти два вектора

Ю \

Я '

взаимно перпен­

дикулярны.

Для этого умножим друг

на друга

соответствующие

коси­

нусы и слонии

= 4

Р, Р!' + Р'іРг+РзР5

У { ^ - Г )(§2- Г 2)

+

*(ft- T‘n\?-v"‘j

1 â i

I

+ . rgi - r ‘HS}-V’) J

Ho

1

*

£;

_

/

(n e;

I L

{Si-ѵЖ-гч ~{ѵа-ѵ"1) 4SI -ѵ'Ч w -rv

Аналогичны остальные два выражения.

Отсюда

Р ! Р,"+РгР2 + p'p‘-j£fF" H-1L-

s i -

Г 1

- Л

- - +

- 43 *

й г а к ,

в е к то р ыS'~. Bf в

э т и х

двух

волнах

взаимноперпен-

дидулярн ы .

Мы

пришли

к

заклю чению ,

ч т о

любому направлению ,

нормали

в о л н е 2 ,, Ci»

е л

с о о т в е т с т в у ю т

две

по л яр и зо ван н ы х

волны

с

им но перпендикулярны м и

н апр авл ен и ям и

ко л е б ан и й в е$к т о ир а

с

различны м и

фаэовым и

с к о р о с тяI fм ии If ,

к о то р ы б 1можно

н а й ти

Я 8 у р а в н е н и я

Ф р е н е л я .

Покаж ем ,

ч т о

ф а з о в а я

с к о р о с т т

волны

однозначно) о п р е д е

с я

н а п р а в л е н и е м

в е к т о р а

инд укциJ )

и.

Д л я э т о г о

в

у р а в н е н и и

Ф р е н е л я

( 4 4 )

выра зим

и в

(4

р е з p t

,

А - PAS*

VV

П о д ста в и в

в

( 4

4

Ofy.li

получи м

) и со к р а ти вц,

Ьн а,

vl=ptf + p№+

(4 5 )

И т а к ,

д е й с т в и т е л ь н о с к о р о с т ь

волнъ"

о д н о зн а ч н о

о п р е д

н а п р а в л е н и е м в е к т о р0а

•

Е с л и ещ е

ш и т ь ,2 , ч т о

é}

есть- гл а в н ы е

с к о р о с т$и!>

Ѵі>

Ов сp(п4 D$.в ы р а ж а е т

с к о р о с т

нн о валенны м

н а п р а в л е н и е м

в е

с т о р а

и ң ц у -щ и и

ч ѳ р з з

гл а в н ы е

'

F-piV+plvi +pyri

( 43)

J .

п *

7Г 2

J

Обратим в н и м а н и е ,

ч т о

с к о р о сV,,Vt*т и

ѵ, ш

р авн ы с к о ­

ростям р а с п р о с т р а н е н и я

с в е т а

по о ся Ум-і,У

і ,

В сам ом

д е л

мы видели,

ч т о

п о о си

Х

|

р а с п р о с т р а н я ю т с я

две; во л н ы

с о

ми; к . к;

а н а л о ги ч н о п о д р у ги м о с я м .

44 -

'

Р а сс м о тр и м ,

к а к в ы ч ч сл и ть

коси н усы

у гл о в

между

нап

ями

в е к то р о вЕ )

и Е .

и

главным и

осямУи-

, ,

вели

за

ко си н усы

нормали

к

волне

&z ,

На

первы й

в з г л я д

к а ж е тс я , ч т о

д л я

в еЕк то) р аможно

з о/с -

п о л ь з о в а т ь с я

уравнениям и

( 4 3 ) .

Э то

д е й ств и те л ь н о

т а к ,

но

с сущ ественны м и

о го во р кам и ,

b

o - первы х,

множиO j'тельсодержит-

искомые

к о си н усы

А

.

P

z .

f

t

-

Е с л и р а с п и с а т ь

ур авн ен и я

у ч т я

выражение

д л я

г,

т о

п о л у ч а тс я

тр и

линейны х

одно

у р а в н е н и я ,

чтобы

п о л у ч и ть

реш ения,

отличные

о т

н у л я ,

'ң уж

бы

д искрим инан т

и з

коэффициентов

при

н е и зв е стн ы х

р а в н я л ся

Из

э т о г о

р а в е н с т в а

получим

в

неудобном

вид е

уравнени е

-Фр

д л я

о пр ед ел ен и яI f *.

После

э т о г о

можно

н а й ти

Р ,

>

»

ß

д

ем

с о о тв е тс тв у ю щ е го

минора

н а

д и скри м и нант.

П у ть

э т о т

дли

сложный.

Го р а зд о

удобнее

о п р ед е л ять

положение

д в у х

в0Jе к тояр о

,

лежащих

в

п л о с к о с т и

волны ,

при

заданном

направлени и

л и ,

гр аф и чески м

п у те м ,

сп осо бо м ,

изложенном

ниже,

в

§

1 0 .

?Лы н е

будем

в ы ч и сл я ть

к о си н усы

171,,

Г Г ^ ,

ГП-3

у гл о в

в е к

Е

с

о ся м и .

О граничим ся

т е м ,

ч то

приведем

формулы

д л я

н и х .

m

2Г*Р. + ОіЪ

447 >

.

I I U ~

(

r

+

O

f f

‘

-

•

К. =

/ , 2 , 3

§

У.

Л у ч е в а я скорость.

Уравнение для л уче в о й

скорости.

мы

в и д е л и ,

ч т о

луч,имеющий

направлени е

в е к то р а

Ум ова

т и н г а ,

н е

перпен дикулярен

в о л н е .

Е с т е с т в е н н о ,

ч т о ’очен ь

в н а т ь н апр авл ен и е

л у ч а .

В

настоящ ем

параграф е

мы

найдем

у го л л у ч а

с

нормалью

правляющие

ко си н усы

л у ч а

и

уравнени е

д л я л учево й

с к о р о с ти