книги из ГПНТБ / Киселев В.А. Расчет пластин

Wmn

(У) =

~

^ f

^

F

s

(y-dn)

-

h \

( d

n )

F 4

( y - d n ) -

- \ n [ t n

)

[ 1 -

F i (y-dn)\-

M ™ { * n )

[(У - d n ) ~ F 2

( y - dn)\

-

Г Agmn (u) — àqmn

(dn) — hqma (dn)

(u—dn)

p

foi

J

Dz

Уравнение

У',п{у)'-

a) для

первого участка (O^y^d^)

по (2.151)

У'тг(у)=Ут(0)

F\(y)

+ vA

—а

ХПІУ)

+

+

У'т (0) F'2{y)

+

а

b[—)ZF\{y)

Fs(y)-

I

-

F', ( У

) -

^

№ -

Fi m

-

-

f

#

U -

F к (У))

-

_

Г qml(u)-qml(0)-qmi(0)u

р ,

{ y

_ u

)

( 3 _ g 4 )

J

0

б) для

последующих

участков

(d1<Cy)

(по 2.152)

(y) =

Ymn(y)

+

àYmn(y),

(3.85)

A F m r J (y) = -

A ^ ( d " } Fs ( y - d„) -

F i { y ^ d n ) ~

- * ™ ( ? п )

t O - F i ( y - r f n ) ] - Д * ™ У [ 1 - F H y - c i J l -

Уравнение

Y"m{y):

a) для первого участка

( 0 ^ у ^ ^ х )

[по (а) стр. 58]

У"тЛУ) =

УтФ) Fï (у) + ^ ^ ) 2 F

' i (у)1 + У ; (0) X

X

а

У

.Do

4В З а к . 109

101

L>2.

Dz

л т

Dz Лт

J

-D2

о

б) для

последующих

участков (dx

<

«/) [по

(б)

стр. 58]

^ , д + 1 ) ( у ) = ^ а г ) + А ^ » а / ) ,

» = 1 , 2 , . . .

где

ï *"о

* * * ï

АУ™(У) =

Dz

Fl {у-ап)-ЬУУ™{АП)

Dz

FX(y-dn)-

- à q

™ } ? n ) [0 —F"\

(y-dn)]

-

[ 0 - ^ 2 О г - А П -

_

^Д 9 т п ( " ) - % д

(dn)—Aftnn (tfn) (И— d n )

j.»

rfu

Уравнение Y'm" (y):

a) для

первого

участка {O^y^dJ

[по (в)

стр. 58)]

У ml

(У) =

Уm (0)

F î "

(У) +

(X1

— V ^ "

(У)

+

+ у ; ( 0 )

^ " ( ^ ) ; + 8

Я1Л

D2

^^-FV'(y)~q-^ß[0~F:

(y)-*£g-[0-F;

(y)]-

Dz

D2

Km

Dz Kpi

б) для последующих участков

< г/) [по

(г)

стр.

58]

Ут{'п+ 1)(У) = У'тп

(У) +

ДКи„

(#), " =

1,2,

... ,

где

АПѴ(У) = -^мтШр',"

( у - а п ) - &

\ { а

п )

Fr(y-dn)-

Dz

D2

Mmn^[0-F["(y-dn)]-

Dz

[0-F2"(y-dn)]~

Dz

V

I

j " Agmn (")—Aggrn (dn)

— Aqmn (dn)(u—dn)

р^" (y—u) du

Уравнение

изгибающих

моментов Mym(y)

= — D 2

У т ( і О - 1 * і Х

X / тя 'Ym(y)

а) для первого участка

( 0 < г / < й * і )

[по (2.153)

или по (3.82)

и (а), стр. 102]

МутХ(у)

= ~D2 Ym(0) jJF{ (у) + yh

^

)2 FJ (у)"

mn

\ 2

Рг (У) +

1*і ( ^ f ) 2

F 3 (ty)j| — DB П

(0) {

a

+

+ Л*„

т (0)

F а (У) — 1*і mn

'F Ay) +

Vym(0)

г/т

ym

тя

\2

ЗД)ч

^ { l O - F H ^ l - J * !

mn

\2

—1*11 —

1

a

f[0 -

я Ы1 - m ( ^ f

) 2 ГУ -

Л (У)]} +

1

У

$[<7mi(")-<7ml(0)-?«a(0)"l X

о

*

х р И ^ - и ) - ! * ! ^ ) 2 ^ ^ - " ) "

(3.86)

б)

для

последующих

участков

(âx^y)

[по

(2.154)

или по

(3.83)

и (б), стр. 102],

[Мутп+1)(у)~Мутп(у)

+ ЬМутп(у),

п=1, г 2, ... ,

(3.87)

где

àMvmn(y)

=

àMvm(dn) F'i

{y—dn)—v1[I!^-\2EAy~dn) +

+

Wym(dn) F'i{y~dn)~\-h[

FAy

~dn)

4B*

103

+ l [àqmn(u) — àqmn(dn)

— Aq^n(da)(u

— dn)\ X

X

F"A(y—u)

— Li( —

] " Fi

(y—«) du.

er.

/

Уравнение

приведенных

поперечных

сил

Ѵцт(у)

=

— D.

У'т(у)-гх

( ^ ) Ѵ ^ ( І Г ) ] :

а) для

первого участка

(O^Cy^di )

[по(2.155)

или по

(3.84)

и (в),

стр.

103]

-h\lQmi(u)-qnn(0)-q;nl(0)u}

F i' ' (y -

и) -

в

F 4 '(y -d«);

(3.88)

б) для

последующих

участков

(dx <Iy)

[по (2.156) или по (3.85)

и (Г) стр.

103]

Ѵѵт

(п+і, (У) =

V„m n (у) +

Д Ѵ э т п (у), л =

1, 2,....

(3.89)

где

W y m n (у) =

Д М „ т ( d n )

[ F 3 " ( y - d „ ) - e

( ^ ]

2 Fs (y-dn)

j +

+

A l / y m ( d n ) Fi"(y-dn)-z(^y-Fi(y-dn)

+

+

^^{[0-Fr(y-dn)}-E^y[l+-FHy-dn

+

l[àqmn(u)-àqmn(dn)~Aq;,m(dn)

(u-dn)} X

X

du.

Во

всех

выражениях (3.82) — (3.89) производные

функции

Ff (у) определяются

по табл. 4,

Aqmn

(и) — по формуле

(2.134),

AMym(dn)

— по формуле (2.143),

àVym

(cfn) — по формуле

(2.138),

как и

при

расчете

изотропных

пластин. Но здесь s = ( D 2 l^i +

Поперечные силы Qym

(у) могут быть вычислены по уравнениям

(3.88), (3.89), если в них

полагать s = (о2 (.ц + 2 D K p ) : Ь 2 .

Составление расчетных выражений изгибающих и крутящих

моментов,

поперечных сил на площадках с нормалью, параллель­

ной оси л, по формулам табл. 5 из

аналогичных выражений изо­

тропных

пластин (2.157) — (2.162)

затруднительно. Дело в том,

что в искомые уравнения входят величины D j и (і2 , а

в Y','n (у) и

Y'm'

(у), через которые определяются уравнения, входят

величины

£>2

и \і1г

и разделение D и \х в уравнениях (2.157) — (2.162) для

тому составим уравнения Мхт

(у), Ѵхт (у) и другие непосредственно

по выражениям

Y"n (у) [см. здесь (а) и (б)] и Y'm' (у) [см. (в) и (г)].

Уравнение

изгибающих

моментов Мхт (у)

•Di

a J X

X Ym

(у) — \i2Y"m

(у)]:

(0^у^аг)

а)

для первого

участка

Мхт,

(у) =

Z V m ( 0 ) { (( тпа

\і

a

J

44 F\ (y) +

^[^yF'i

(//)]} + D,Y'm

(0)

{ (

-

^ ) 2

[ F a

(y)4-

^ ( ï ) T e ( - ) V 4 ' ( ! / )

- М у т ( 0 ) - £ - I T

P i

X

02

X Г, mit

\2

- I i , [ 0 - F Ï

(y)] } - ^

. J

k {

( JE1 y[y-F2

Q/)] - u, [0-Fl

(y)] }-

D " Ô

I

тл

>2'

FAy—u)—

— fi2 F4

(y—fi)l

(3.90)

б) для

последующих участков

{d±^y)

MxnUn+1)(y)

= Mxmtl(y)

+ AMxnm(y),

/ і = 1 ,

2

(3.91)

где

D,

ЬМхтп{у)=-

bMym{dn)

—

I

)2F3(y-dn)~

Dz

a

— \i2F"3

(y — dn)

DD±-AVym(dn)

( ^ ) 2 F 4 ( y - 0 -

-\4F'i{y—d,

Dz

A ^ d

- " n ^

j 2 [

1 _ _ j F

i

( y _ d n )

j _ _

"Km

~^[0~FHy-dn)]]~^-.

^

і

ф

і

^

у

X

X l(y-dn)-F2(y-dn)]-?2

[ O - F 2 (y~dn)\

}

-

D

У

^ - J

[A?m n («) — Aqmn(dn)

— Aq'mn{dn)(u

— dn)\

X

X I I

Р,(у-и)~[12Р1(у-и)аи].

Уравнение

приведенных

поперечных

сил

—е

тя

F'i(y)

+

^(^f-)2F'i(y)

а

X

тп

\з'

—

8

\П{у) +

а

+

В

тп

Fl

{у)

-

M

^

l

^

F

^

y

y

- i

f

—

Ѵут(0) Di

тп

\з

„

. .

-

/ тп

> „„ . ,

а

D2

а

7

V а

^

• - ê - f f — V п - л а / ) ] - * С — 1 to - F'[ m

D2

qmi(O)

ö i

f/'

mit

\ 3 [y—F2(y)\—

e

mit

[0-F'o{y)\\-

а

Я,ш

D2

-

•D

U

7ml (0) -

Q'mx (0) U]

тл

\ 3

r.

/

ч

'f-

J t?ml (") -

a

Ft(y—u)-

-l(HHL)Fi{y-u)

du;

(3.92)

б)

для

последующих

участков

(аг^.у)

Ѵхт

(У) =

V.,m n 0/) +

A V.,m 7 l Ü/),r

n•=

1, 2

(3.93)

где

^Vxmn(y)

=

-^fàMym(dn)

F3(y-dn)-

8

( - ^ j ^ 3 ( ^ n ) j - ^ A l / y m K )

^ ) 3 F A y - d n ) -

a

J

~

ë

^

F

î

(

y - d

n )

-

Di

àqmn(dn)

ff

тп

y [ l - f i ( t / - d n ) l -

D2

V a

D2

X

\{y — dn)—F2{y

—

-

/

mit

[0-F2(y-dn)]\-

dn)\—E

a

D2

\ \bqmAu)-bqmAàn)-M™{dn){u-dn)\

X

X

тл

\ з

-

/ іпл

\ r>„,

N

~)~F*(y

— ") —S ( ~

К * (У — ")

Уравнение

крутящих

моментов

тхт(у)

— — D, . p

тл

ѴтІУ):

а) для первого

участка

+

(Y

+

YM\F'2(y)

+

Г '

z(^\2F'y{y)

Mvm

D 2(0) ЗД)~

Z

r f

Fi (у)-д-^Р

1 0 — Q 0 ] —

[

I — F2 (у)]-

(3.94)

о

б) для последующих участков {ах

<

у) по (3.85)

(г/) =

m

(у) +

Д т д

: т

л

(г/),

(3.95)

где

А « » п п ( У ) = - о к р

[ ^ \ [ ^ Ш р ^ у ~ а п

) ~

# 2

і / 2

l ' a л

л і

У

I

_ j A < ? m n ( " ) - % m ( r f J —

A ? m n

(Ц — rfn)

p>^ ( ^ _ u )

rfy

Уравнения поперечных сил Qxm

(у) получаются из (3.92), (3.93)

путем замены в них s на

= (£>2 цх

+

2 £>к р ) : D x .

Полные значения расчетных

величин на /г-м участке

пластины

определяются

по формулам

(2.163) — (2.170).

Граничные

условия

пластины

устанавливаются

так

же, как

скользящих

заделок

сторон пластины при х = 0 и х = а, т. е.

X

/ ч

= cos

тлх

.

(X)

Dx

=

D 2 = Dg = D; D„p =

D (1 — p) и e = i =

2 — ц,.

На этом основании все примеры, приведенные в главе изотроп­

ных пластин, легко приспосабливаются и для расчета

ортотропных

пластин путем замены в них D на D2 и и. на

\іх.

2-й

случай а £ > 0 ; а * , > Я . * , > 0

Корни

характеристического

уравнения

(3.76) — (3.77)

дей­

ствительные:

+ Уа*т—Х*п ;

Г1 = У<

г3 = Ѵат~Уаіт~

Кт.

Общее

решение однородного

уравнения

(3.73) будет:

Y m (у) = Ат

ch i\ у + Вт

sh rx у + Ст

ch r3 y + Dmsh

г3 у.

(3.96)

2 Ya,m- С

2 / a ^ - C

'

L 2 (у) =

rlshrxy

.

rfshr3y

2rx[ atn—bm

2г3У^-К

L3(y)=

Z*^L=

pIiS—.

L i (y) =

s h r i y

—

s h r s U

2rxY

aîn-Кт

2r3Va.m—Xm'

где

1~\f a4,(—%fn

=

r\-—Г3.

Эти новые функции

аналогичны функциям Fx

(у),

F2

(у), F3 (у)

и ?4 (у) и обладают их свойствами.

Они

при ат

>

Хт

> 0 заме­

няют во всех выражениях

(3.82) — (3.95) первого основного случая

функции Fx

(у), F2

(у),

F3

(у) и Fi

(у), и все выражения

становятся

пригодными

и для

2-го случая.

3-й

случай

a m ^ 0 ;

A m < 0

Корни характеристического

уравнения:

rt

=

— г2

=

У ат

- f |/"am — А,т

(вещественные),

?*3 = —г4

= ] / а т

— ]Лхт —А.ш ]

= іг3

(мнимые),

где

Общее решение однородного уравнения (3.73)

Y°m (у) = Ат ch Г! у + ß n i

sh гх у + C m cos г"3 у + D m sin73 у. (3.97)

Функции,

заменяющие

в

выражениях

(3.82)—(3.95) основного

случая

функции Fx(y),

F2(y),

F3{y)

и F4{y),

будут:

2

,

- 2

'

2 ,

- 2

^

_

_rj»_sh/i

;

n_sin/-s j/

r i

( п +

гз)

г 3 ( п 4 - л і )

Тз

(У) =

.

-о

( c h ri У—cos r3 y) ;

П +

/ і М + гз)

г 3 ( п + 7 з )

где r ï + 7 | = 2

/ а * , —Я,*,.

4-й

случай

a m < 0 ;

Я т > 0 ;

a m >

Xm

Корни

характеристического

уравнения:

r1 = —r2

= V

a ^ - f / a à —

A4

=//"і

(мнимые);

г3 =

—r4

= l / " a m _ j

a,4n — A4

= tr 3

(мнимые),

где

rx = V—a2m~Y<—

Кг

;

r3 = V-a-m+-}

a m ~ K .

Общее решение однородного

уравнения

У°т(у) =

^ m

cos r i t/ +

Bm

sin ?! y - f C m

cos rsy + Dm sin r3 1/. (3.98)