книги из ГПНТБ / Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие]

лебанпя в одинаковой фазе — все одновременно дости­ гают крайнего положения н одновременно проходят че­ рез нуль, но амплитуда колебании всех частиц различна.

Сравним «мгновенные фотографии» стоячей и бегу­ щей волн в два последующих момента времени Ь\ и 12 (рис. 32). Видим, что «мгновенная фотография» стоя­ чей волны не отличается от «мгновенной фотографии» бегущей волны. Однако «мгновенные фотографии», сде­ ланные в два близких момента времени 1\ и /2, позволя­ ют обнаружить различие между ними,

Рис. 32

Стоячая волна не есть волна в обычном понимании. Это газвание характеризует колебательное состояние среды Бегущая волна может распространяться в любом направлении осп X, у стоячей волны нет направления распространения. В связи с этим бегущая волна перено­ сит энергию, в стоячей же волне нет передачи энергии от точки к точке.

80

Эти частоты называются собственными частотами ко­ лебаний струны. Собственные частоты кратны часто­

та

ТС Vl ^ "2/ ’ К0Т0Рая называется основной частотой. Ос­

тальные частоты v2. л'з, v,|, ... называются обертонами.

Пели концы струны не закреплены п в пей возбужде­ ны колебания, на концах струны будут пучности стоячей волны (рис. 34). Однако п в данном случае па длине стержня укладывается целое число полуволн, то есть имеют место формулы (70) — (72).

Р и с . 3 3 Р и с . 34

Стоячие волны возникают при возбуждении электро­ магнитных колебаний в объемном резонаторе — колеба­ тельной системе, представляющей собой полость с прово­ дящими стенками. При этом частоты собственных коле­ баний (их называют еще модами) определяются также формулой (72). Объемный резонатор является основным элементом мазера и лазера.

При распространении волн в реальных колебательных системах и при отражении их от границ неизбежны поте­ рн энергии. Амплитуда отраженной волны оказывается

82

меньше амплитуды падающей волны, н поэтому в узлах амплитуда падает не до нуля. Стоячие волны, возникаю­ щие под депствпем однократного импульса, в реальной системе постепенно затухают. Это как бы собственные стоячие волны, аналогичные собственным колебаниям.

§ IS. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА

Наблюдая прохождение волн вблизи какой-либо пре­ грады, можно видеть, как они огибают ее, то есть захо­ дят в область «геометрической темп». Это явление полу­ чило название дифракции волн. В качестве примера рассмотрим распространение плоской волны через отвер­ стие (рис. 35). Фронт волны за отверстием перестает быть плоским.Только его средняя часть параллельна пер­

воначальному фронту. У краев отверстия фронт загиба­ ется — лучи меняют свое первоначальное направление.

1 I

В этом и заключается явление дифракции. Степень ис­ кривления фронта волны зависит от размеров препятст­ вия, точнее от соотношения размеров препятствия и дли­ ны волны. Чем меньше размеры препятствия пли отвер­ стия, тем больше искривление первоначального направ­ ления волны.

При увеличении размеров отверстия (или экрана), когда d > а, дифракция становится все менее заметной.

83

При d > ). волны практически не будут заходить в об­ ласть геометрической тени. При d ^ ). наблюдается осо­ бый вид дифракции, называемый рассеянием воли.

Анализируя большой экспериментальный материал по распространению воли, Гюйгенс сформулировал принцип, который получил его имя. Согласно принципу Гюйгенса, каждая точка, до которой дошла волна и данный момент, является центром вторичных волн. Оги­ бающая этих вторичных воли и является волновой по­ верхностью в следующий момент времени.

§ I!). ЭНЕРГИЯ ВОЛН. ПОТОК ЭНЕРГИИ

Распространение волн сопровождается переносом энер­ гии от одной области пространства к другой. При этом упругая волна переносит энергию в форме упругой де­ формации, то есть потенциальной энергии //. с одной стороны, и в форме кинетической энергии движения К участвующих в волновом процессе частиц,—с другой. То есть полная энергия волны равна:

Е = П -}- К.

Однако, как следует из теории упругих колебаний, система, совершающая малые колебания, обладает оди­ наковыми значениями потенциальной п кинетической энергии (11= К) п полная энергия будет:

ni у/2

£ = 2/С=--2 — - = m v '\ (73)

2

где v' — скорость движения частиц среды (а не скорость волны).

Учитывая это, определим энергию Е волны, распро­ страняющуюся в некотором малом объеме W среды, име­ ющей плотность р.

Кинетическую энергию движения частиц выделенного объема найдем, продифференцировав по времени выра­ жение (57):

84

К = - - 5 Т — ~ J_ т Д2 _ _L т ^ 2 щ2 g j n 2 / — /г Л") —

2 2 2

= -~ а 1р А В nr sin2 (со / —к х) ,

так как т = р Л17.

Подставки полученное выражение в (73), получим:

Видны, что в отличие от энергии .колебательного дви­ жения, полная энергия волны не остается постоянной во времени. Среднее же значение полной энергии за период равно:

£ = Ло р Д V7ш'- sin2 (wt — kx) = -i- Al оЛ V ш2, (75)

так как

т

sin2(со/ — kx) =-^г | sin2(n)i1— kx)dt= — .

U

Однако энергетической характеристикой волны явля­ ется не средняя энергия Е, зависящая от выделенного

п более удаленных от источника волн областей среды. На это необходимо затрачивать энергию, доставляемую

85

источником воли. Следовательно, распространение волн в упругой среде неразрывно связано с процессом переда­ чи энергии от одних участков среды к другим. Количест­ во переносимой волной энергии характеризуется потоком энергии.

Поток энергии через некоторую поверхность равен количеству энергии, переносимой волной через данную поверхность н единицу времени.

Рассчитаем поток энергии через плоскую поверхность АД’, перпендикулярную к направлению распространения волны (рис. 36). За время Л/ через эту поверхность бу­ дет перенесена энергия, заключенная is объеме \Sc.\l. то есть

£ = w AV = wvAt AS.

Поэтому искомый поток энергии равен:

В общем случае поверхность AS может быть ориенти­ рована произвольно по отношению к распространению

волны. При этом потоки энергии через различные участки AS могут быть и не равны. Поэтому воз­ никает необходимость введения другой физиче­ ской величины — плот­ ности потока энергии вол­ ны.

Плотностью потока энергии называется величина, чи­ сленно равная энергии, переносимой полной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению распространения волны:

86

то есть плотность потока энергии равна произведению средней плотности энергии на скорость распространения волны.

Так как скорость распространения .одни — величина векторная, то и плотность потока энергии гоже будет векторной величиной:

Для упругих воли этот вектор впервые был введен в

рассмотрение II. Л. Умовым п называется вектором Умо­ ва.

Из выражения вектора Умова (79) следует, что энер­ гия перемещается с той же скоростью, с какой распро­ страняется сама волна.

§ 20 . П Р И Р О Д А З В У К А . С К О Р О С Т Ь Р А С П Р О С Т Р А Н Е Н И Я

З В У К А . О С Н О В Н Ы Е Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И З В У К А

Упругие колебания, распространяющиеся в газах, жид­ костях пли твердых телах, называются звуковыми во.то­ ми или просто звуком.

Звуковые волны характеризуются огромным диапазо­ ном частот п длин волн. К собственно звуковым колеба­ ниям относятся колебания в диапазоне частот от 16 до 20 • IО3 Гц. Эти частоты лежат в пределах слышимости человеческого уха. Упругие колебания с частотами ниже

16 Гц называются инфразвуком, выше 2010:i Гц—ульт­ развуком. Цифра- и ультразвуки человеческое ухо не слышит.

Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными в виде чередующихся сжатий п раз­ режении среды. В твердых телах могут распространять­ ся как продольные, так н поперечные звуковые волны.

Звуковые колебания в среде совершаются настолько быстро, что при распространении звука не успевает про­ исходить обмен теплом между различными элементами среды, то есть процесс сжатия и разрежения при про-

87

.хождении звуковой волны можно считать адиабатиче­ ским. При этом расчеты дают следующее выражение скорости распространения звука в газе:

Несмотря на то, что в (80) входит давление р, ско­ рость звуковой волны от давления не зависит. Это связа­ но с тем, что при изменении давления меняется и плот­

ность газа. Действительно, из уравнения состояния иде­ ального газа (уравнения Клапейрона — Менделеева)

Тогда

(81)

где н — молекулярная масса газа.

Как видно из (81), скорость звука в газе зависит от его температуры п молекулярной массы. Сопоставляя по­ лученную формулу с формулами тепловых скоростей га­ зовых молекул по Максвеллу, замечаем, что они отлича­ ются только постоянными коэффициентами, что убежда­ ет в том, что звуковая волна связана с движением мате­ риальных частиц — молекул.

88

Для одного п того же газа увеличение температуры на 1° увеличивает скорость звука примерно па 0,61.i//r. Так, при температуре 0°С скорость звука в воздухе рав­ на 332 м/с. а при 20° С — 343 м/с. При одной п той же температуре скорость звука в более легких газах боль­ ше, чем в тяжелых. Например, в водороде скорость звука при 0°С равна 1265 м/с, в кислороде — 316 м/с, в угле­ кислом газе — 261 м/с.

Скорость звука в жидкостях определяется формулой

0,7 км/с до 2 км/с (в воде скорость звука равна 1,34 км/с). В твердых телах скорость звука определяется модулем упругости и составляет примерно 5 км/с. Увеличение ско­ рости звука в твердых телах объясняется тем, что их упругость значительно больше, чем жидкостей п газов.

Рассматривая любое акустическое явление, нужно помнить, что, с одной стороны, звук — это физический процесс распространения упругих волн в среде, а с дру­ гой—психофизиологический процесс, ибо термин «звук» применяется также для обозначения того ощущения, которое производит звуковая волна на наши органы слуха.

Физической характеристикой звука являются: часто­ та v звуковой волны ( или спектр частот) и интенсив­ ность (сила) звука. Рассмотрим их.

1. Простейшим примером периодических звуковых воли могут служить синусоидальные волны. В акустике такие звуки называются простыми пли чистыми тонами. Но упругие волны, возбуждаемые реальными источника­ ми звука, представляют собой совокупность синусои­ дальных волн с различными частотами и амплитудами. Набор частот колебаний, присутствующих в данном зву­

89