книги из ГПНТБ / Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие]

/. Сложение колебаний с одинаковыми частотами

Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковым периодом, но различными фазами и амплитудами:

Результирующее смещение точки равно алгебраиче­ ской сумме обоих смещений:

Х — Х 1 -f- Л'а ■

Для сложения колебании воспользуемся методом вектор­ ной диаграммы. Отложим вектор амплитуды /1| под уг­

лом ерь вектор амплитуды А2 под углом ср2 (рис. 16). Амплитуда результирующего колебания есть векторная сумма складываемых амплитуд:

Так как угловые скорости ы вращения обоих векторов одинаковы, то угол ф2— со временем меняться нс бу­ дет. Параллелограмм и его диагональ будут вращаться с той же угловой скоростью to. Следовательно, величина

лу как проекция вектора А, будет меняться со временем по закону

X—A cos to t,

то есть будет представлять собой гармоническое колеба­ ние той же частоты.

40

Определим начальную фазу результирующего коле­ бания ©„. Из рис. 16 следует:

А

А = Y А] + Л?-ф2 А1А2 —А1 + А2.

Если разность фаз ®, равна нечетному числу л, то есть ©2— ©! = (2/с+ 1)л, то результирующая амплиту­ да минимальна (рис. 17,6):

А ■—у -\- А2—2Л1Л2 = |ЛХ— Л2| .

41

Таким образом, при сложении одинаково направлен­ ных гармонических колебании одного периода результи­ рующее колебание есть также гармоническое того же пе­ риода. Амплитуда сложного колебания зависит от раз­ ности фаз складываемых колебаний и изменяется в пре­ делах

I — Л-21 Л < Ах -|- Аг .

Рис. 17

2. Сложение колебании, имеющих разные частоты

Если складываемые колебания имеют различные ча­ стоты, то результирующее колебание не будет гармони­ ческим. Графически оно изображается сложной кривой, имеющей в некоторых отдельных случаях периодичность. В общем же случае — это апериодическая кривая.

Наибольший интерес представляет случай сложения колебаний, когда им и и>2 мало отличаются друг от друга.

Для нахождения результирующего колебания в каче­ стве начального момента времени выберем такой, при котором начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда

х, = Аг cos <»! /,

хг = А., cos ша t.

42

Представим эти колебания в момент времени i на вектор[iui'i диаграмме (рис. 18). Из рисунка видно, что

А~ ~ А\ -{- А2 ■')" 2 Л, Л2 cos (wo — i.

Для упрощения решения задачи положим, что ампли­ туды складываемых колебании равны. Тогда

Ai — 2 А] \1+ cos (юг — tDj) 11= 4 A* cos2 U2 1111I ,

откуда

43

Отсюда следует, что

Ш1+ "h

2

Это означает, что вектор результирующей амплитуды вращается с угловой скоростью, равной полусумме уг­ ловых частот складываемых колебании.

Результирующее движение получим, взяв проекцию вектора результирующей амплитуды на ось ,v:

Так как (оо^сщ, то величина со?—о>| мала по сравне­ нию с величиной (■)1+ (,)2. Поэтому результирующее коле­

торого медленно изменяется со временем.

Такое периодическое изменение амплитуды результи­ рующего колебания носит название биений. Графически результирующее колебание представлено на рис. 19.

44

Огибающая результирующего колебания есть медлен­ но изменяющаяся амплитуда

Определим частоту биении.

Так как период абсолютного значения косинуса ра­ вен л, то период Тб изменения абсолютного значения амплитуды будет тем промежутком времени, за которым аргумент косинуса изменится на л, то есть

Период связан с частотой известной формулой 7ф = 2л

=----. Значит, w6

45

то есть частота биении равна разности частот складывае­ мых колебании.

Биения используют для настройки музыкальных ин­ струментов. В тот момент, когда биения исчезают (нуле­ вые биения), колебания струны и эталона (камертона) совпадают.

Усиление слабых сигналов высокой частоты (на­ пример, в радиолокаторах, где / = 3- 10° Гц) иногда про­ изводить с помощью обычных радиоламп невозможно. Чтобы устранить эту трудность, в приемник вводят гете­

В результате последующие каскады усиления работают на постоянной частоте, то есть нс требуют настройки.

При сложении колебаний с неравными частотами может оказаться, что частоты всех складываемых коле­ баний кратны частоте наиболее медленного из них. Оче­ видно, более высокие частоты будут укладываться целое число раз в периоде наиболее медленного колебания. В сумме получается повое колебание того же периода, что п медленное, по форма его будет не синусоидальной, а более сложной.

На рис. 20 изображено результирующее колебание, слагающие которого имеют частоты иц : Ы2= 1: 2.

X

Рис. 20

46

Еще более сложным будет вид колебании, получив­ шихся при сложении трех и более колебаний. Итак, ко­ лебание, являющееся результатом сложения колебаний с кратными частотами, есть периодическая функция, пе­ риод которой равен периоду самого низкочастотного из слагаемых колебаний.

§ II. ПОНЯТИЕ О СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Результатом сложения гармонических колебаний явля­ ются сложные колебания, периодические и апериодиче­ ские. На практике часто приходится решать обратную задачу: по данному сложному колебанию определить, из каких гармонических колебаний оно состоит. Если сложное колебание — периодическое, то его можно пред­ ставить как сумму гармонических колебаний, то есть в виде ряда (ряда Фурье):

Каждое из этих колебаний является гармоническим, частоты их кратны основной частоте <г>. Колебание с ча­ стотой in называется первой гармоникой, с частотой 2ю— второй гармоникой (к —2) п т. д. Амплитуды Чк и фазы подбираются таким образом, чтобы имело место ра­

венство (48).

Ряд Фурье дает разложение периодической функции на тригонометрические. Это разложение может быть обобщено и на случай непериодической функции, так как непериодическую функцию можно рассматривать как предельный случай периодической функции при неогра­ ниченном возрастании периода (Г-»-оо). Число колебаний, входящих в сумму, бесконечно велико, н их амплитуды непрерывно распределены по определенному закону в функции от частоты.

47

Непериодические колебания выражаются уже пс суммой, а интегралом Фурье. Такое разложение сложно­ го колебания на простые носит название спектрального

анализа.

Итак, непериодические колебательные процессы мо­

разного рода волновых уравнений. Однако долгое время разложение Фурье пс связывалось непосредственно с ка­ кими-либо физическими представлениями. Но начиная с 20-х годов, в связи с. бурным развитием радиотехники, акустики, колебательной механики, спектральные пред­ ставления распространились необычайно широко. Была установлена прямая связь между спектральным разло­ жением п поведением реальных колебательных систем.

Практическое применение спектральных представле­ ний неизбежно приводит к необходимости эксперимен­ тального осуществления разложения Фурье, то есть к гармоническому анализу различных явлений. Существу­ ет много методов анализа п приборов-анализаторов, при­ меняющих эти методы.

Ниже рассмотрим спектральные представления на ряде простых конкретных примеров.

Мы видели, что при сложении двух гармонических колебаний ('лд и х2), совершающихся вдоль одной и той же гнямой п имеющих одинаковую частоту, результиру­ ющее колебание является также гармоническим колеба­ тельным движением. При сложении таких же колебаний, но с разными частотами суммарное колебание имеет более сложный характер. Например, пусть имеются два гармонических колебания:

X i= Ay cos ( ш х t (f ) ,

хг— y4,cos (w21-|- o),

для которых выполняются такие равенства:

0)1 = 4,5ш2, Л2 = 2,5 Л ,.

48