книги из ГПНТБ / Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие]

Ёслц волна не затухает, to точка С будет совершать колебания по тому же закону, что и точка О, по по вре­ мени па т позже, чем точка О. Следовательно, точка С будет совершать колебания по закону

5 = /40 cos шТ,

где i' — t—т — время, отсчитанное от того момента, когда точка С начала колебаться. Подставляя значения V н т, получим:

Это уравнение носит название уравнения плоской бегу­ щей волны. Очевидно, что смещение точки S является

функцией двух переменных: времени t и расстояния .у. При выводе уравнения сферической волны следует

н тогда

(55)

г

Уравнения (54) и (55) можно преобразовать, учпты-

2 -

вая, что ю = — - :

Т

где \=vT — длина волны, то есть наименьшее расстоя­ ние между частицами, колеблющимися в одинаковой фазе (рис. 29).

70

введем так называемое волновое число к, показыва­ ющее, сколько длин воли укладывается в отрезке длиной 2л, н равное:

Тогда уравнение плоской волны будет иметь вид

Уравнение сферической волны запишется следующим об­ разом:

Часто бывает удобно уравнение волны записывать в

В этом уравнении k — волновой вектор, численно

2 ~

равный волновому числу -у-и направленный в сторону

распространения волны; г — радиус-вектор; А — комп­

лексная амплитуда волны. Отметим, что физический смысл имеет лишь действительная часть уравнения (59), которая совпадает с уравнением (57).

Следует обратить внимание на то, что уравнение лю­ бой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым.

71

Для установления вида волнового уравнения сопо­ ставим вторые частные производные по координате п по времени от функции (57). Продифференцировав (57) дважды по переменным х и t, получим:

к- d x°-

Уравнение (63) есть волновое уравнение для случая распространения волны вдоль оси X.

72

В общем случае распространения волны в простран­ стве волновое уравнение будет иметь вид

Таким образом, если любая физическая величина 5 удовлетворяет уравнению (64), то можно заключить, что процесс изменения этой величины носит волновой харак­ тер.

§ 15. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕ­ НИЯ ВОЛН. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН

В уравнении плоской волны (54) фаза волны ш щ— — j

является функцией двух переменных: t и х. Это означает, что одна и та же фаза будет иметь место в различных точках осп X и в различные моменты времени. Напри­ мер, точки В и С, как видно из рис. 29, имеют од1 тако­ вые фазы. Если зафиксировать какое-либо значение фа­

водную dx то тем самым определим скорость, с которой

перемещается данная фаза волны. Продифференцируем выражение фазы волны:

Таким образом, скорость распространения волны v и есть скорость перемещения фазы. Поэтому ее называют фазовой скоростью.

73

Гармоническая волна при распространении в одно­ родной среде не меняет своей формы н обладает вполне определенной фазовой скоростью, которая определяется свойствамп среды.

Однако во многих средах имеет место зависимость фазовой скорости волны от длины волны, называемая

дисперсией: v = j(%).

Если явление дисперсии отсутствует, то все гармони­ ческие (так называемые монохроматические) волны рас­ пространяются с одинаковой фазовой скоростью.

Всякая реальная волна (сигнал) не является гармо­ нической (то есть монохроматической), а представляет собой, согласно теореме Фурье, конечную пли бесконеч­ ную сумму отдельных монохроматических составляющих.

Если все монохроматические составляющие распро­ страняются с одинаковыми фазовыми скоростями (го есть дисперсия отсутствует), то и образуемая ими волна будет иметь ту же фазовую скорость. Но если фазовые скорости отдельных монохроматических составляющих различны (имеет место дисперсия), то непрерывно меня­

ются разности фаз .между ними и результирующая волна будет менять свою форму, перемещаясь со скоростью, не совпадающей с ([газовой скоростью пн одной из склады­ ваемых волн.

Эта скорость распространения реальных волн в дис­ пергирующей среде называется групповой скоростью и определяется как

74

Но

d X

Из формулы (G6) следует:

1. Если — = 0 (дисперсия отсутствует), то и = v, то d X

есть групповая скорость равна фазовой. Это наблюдает­ ся при распространении звуковых волн в воздухе, элект­ ромагнитных воли в вакууме.

2. Если — > 0 (имеет место так называемая нор- d X

мальная дисперсия), то н<и, то есть групповая скорость реальной волны (сигнала) меньше фазовой скорости от­ дельных монохроматических составляющих. Этот случай реализуется для гравитационных волн на поверхности жидкости.

3. Если ~ < 0 (аномальная дисперсия), то u>v, то d X

есть групповая скорость больше фазовой. Это имеет ме­ сто для капиллярных волн на поверхности жидкости.

75

§Hi. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН

Всреде может одновременно распространяться несколь­ ко систем волн от различных источников. Каждая вол­ на распространяется независимо, так, как если бы других соли нс было. В области, где происходит наложение (суперпозиция) волн друг на друга, имеет место вектор­

ное сложение отдельных смещении. В результате сложе­ ния наблюдается интерференция волн.

Явление интерференции волн заключается в усилении пли ослаблении амплитуды результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами складываю­ щихся колебаний с одинаковыми периодами. Интерфе­ ренция имеет место для всяких волн независимо от их природы.

Итак, если волны обладают одинаковой частотой, одинаковым направлением колебании и не меняющимся со временем сдвигом фаз, то в месте их наложения бу­ дет наблюдаться неизменная во времени и пространстве картина интерференции. С..мл же волны, обусловленные колебаниям!!, имеющими постоянную разность фаз, на­ зываются когерентными. Очевидно, что когерентными могут быть лишь полны с одинаковой частотой.

Рассмотрим случай, когда в пространстве распро­ страняются две волны. Примером может служить нало­ жение волн, исходящих от двух отверстий: N\ и ЛИ

(рис. 30).

Колебания доходят до точки С с некоторой разностью фаз. которая зависит от разности расстояний г\ и т2.

Запишем уравнение волн, дошедших до точки С:

5!-=Л, cos (lo/ —kr-y),

S2= A„ cos (ш t — krt) .

Разность фаз складываемых колебаний равна:

76

При сложении двух гармонических колебаний одина­ кового нанравлсп'ия с одинаковой частотой результиру­ ющая амплитуда имеет величину

Л1 — А\ ! Л2 -{- 2 /1L/42 cos Д у.

точку различными путями, разность фаз изменяется от точки к точке, а вместе с тем изменяется и значение амп­ литуды результирующего колебания. Амплитуда достига­ ет максимума, равного A\-j-A», в точках, где А со = 2пт, и минимума, равного/11—А% в точках, где А? =(2/н+1)л.

Если разность фаз i s в .каждой точке не изменяется со временем, то в пространстве получается неизменное распределение амплитуд результирующей волны с чере­

77

дующимися максимумами п .минимумами. При сложении двух воли среднее значение полной энергии результиру­ ющей волны пропорционально квадрату результирующей

амплитуды: Е — А2. Отсюда следует, что при интерферен­ ции среднее значение плотности потока энергии в резуль­ тирующей волне не равно сумме средних значений плот­ ностей потоков энергии, которую переносила бы каждая из интерферирующих воли в отдельности: в одних на­ правлениях оно больше, в других меньше. Вследствие интерференции происходит перераспределение потоков энергии в пространстве.

Если разность фаз хаотически изменяется со време­

нем, то cos Дер (/) = 0 и Лг = Л| -ф а 1. В этом случае не происходит перераспределения энергии в пространстве

пявление интерференции отсутствует.

§17. СТОЯЧ НЕ ВОЛНЫ

Олин из важных и часто встречающихся случаев интер­ ференции, когда интерферируют прямые и отраженные волны, распространяющиеся в противоположных направ­ лениях, приводит к образованию так называемых стоячих волн. Стоячим волнам свойственны все основные черты интерференции воли от двух источников.

Предположим, что две плоские волны с. одинаковы­ ми амплитудами п скоростями распространяются по оси X одна в положительном направлении, другая в отрица­ тельном (рис. 31). Тогда уравнение движения примет вид:

для положительного направления волны -

Si = A) COS (itit —k x ) ,

для отрицательного—

5.2 —Апcos (») ( -f к х ) .

Складывая эти колебания, будем иметь:

S = 5j + S2 = Л0 cos («И—kx) + A, cos (о!. + кх)~

78