книги из ГПНТБ / Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие]

примера рассмотрим затухающее колебание (рис. 24,и). Спектр такого колебания определяется интегралом Фурье и показан на рис. 24,6.

Рис. 22

В теории колебаний доказывается, чго произведение длительности сигнала т на ширину его спектра Лы есть величина постоянная:

Это значит, что, чем короче но длительности сигнал, тем большую ширину занимает его частотный спектр, и, и£|-

50

оборот, чем уже частотный спектр сигнала (говорят, из­ лечению более моиохроматпчпо), тем больше его дли­ тельность, го есть большая монохроматичность требует большей длительности.

оптике 10-5—К)- '1. В отдельных случаях (излучение кван­ товых генераторов-лазеров, а также у-пзлученпе атом­ ных ядер в специальных условиях — так называемый эффект Мссебауэра) ширина спектральных линии умень­ шается па 7—9 порядков.

§ 12. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний имеет место при колебаниях электронного луча в осциллографе,

51

при наложении лучен поляризованного света п в ряде других случаев.

1. Рассмотрим сложение двух взаимно перпендику­ лярных колебаний одинаковой частоты:

\ х = cos (ю/ -|- f , ) , 1 y = Ao cos (to i -|- ®2) .

Для определения вида траектории необходимо из обо­ их уравнений исключить время I. Представим их в виде

X

— = COS 4)1 cos СЕ! —Sin rnt sin ©, ,

At

— = COS w t COS f a — sin Шt sin <p2.

ЛЛ

Полученные уравнения возведем в квадрат п сложим:

Уравнение (50) представляет собой уравнение эллип­ са, характеристика которого определяется значением раз­ ности фаз f a—<pj.

52

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) Пусть начальные фазы колебании одинаковы

13 этом случае траектория представляет собой прямую, проходящую через начало координат, тангенс угла на­ клона которой равен:

tgtp =

б) Пусть 'f2 —"fj = ". 13 этом случае уравнение (50) будет иметь вид

"аТа !

£о

= 0,

А,

53

то есть представляет собой уравнение эллипса, при,веден­ ного к осям А' п У, с полуосями .4| п .4о (рис. 25,в). При

Р и с . 2 5

этом точка движется по часовой стрелке. Это можно по­ казать, если записать уравнения складываемых колеба­ ний в следующем виде:

Л' = Л, cos (id / -f- <f),

54

В некоторый момент времени аргумент обоих колеба­ ний равен нулю. Точка находится в положении С (рис. 25,«). В следующий момент времени аргумент воз­ растает. При этом X будет положительным, а У — отри­ цательным. Точка начнет двигаться по часовой стрелке.

3

— -траектория остается прежней,

изменится лишь направление движения точки по эллипсу на обратное (рис. 25,г).

колебание происходит в общем случае по эллипсу, зпд которого п направление его обхода определяются разно­ стью фаз складываемых колебаний.

2. Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных колебаний с различными частотами. В этом случае полу­ чаются более сложные кривые. При этом, если отноше­

вид результирующих кривых зависит от отношения ча­ стот н сдвига начальных фаз. На рис. 26 показан вид этих кривых, называемых фигурами Лчссажу.

Кривые, изображенные па рис. 26,о, б, получены при сложении перпендикулярных колебаний с отношением частот 1 : 2 и с различными начальными фазами. На рпс. 26,в, г изображены кривые, полученные при сложе­ нии взаимно перпендикулярных колебаний с отношением частот 1:3 п 3 : 4.

Соотношение частот в фигурах Лнссажу определяет­ ся числом касаний фигурами сторон прямоугольника, в который они вписываются.

55

Если отношение частот складываемых взаимно пер­ пендикулярных колебании не близко к отношению целых чисел, то результирующая кривая не является замкну­ той.

Р и с . 2 6

Фигуры Лпесажу можно получить в механических колебаниях, наблюдая за колебаниями торца упругого стержня, зажатого в одной точке. В случае электриче­ ских колебаний их можно наблюдать па экране кагод­

ного осциллографа, к двум парам отклоняющих пластин которого подведены переменные напряжения.

Вопросы для повторения

1. Ч т о н а з ы в а е т с я к о л е б а т е л ь н ы м д в и ж е н и е м ? К а к и е в и д ы к о ­ л е б а н и и в а м и з в е с т н ы ?

2. В ч е м о т л и ч и е л и н е й н ы х к о л е б а т е л ь н ы х с и с т е м о т н е л и н е й н ы х ?

К а к и м и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и у р а в н е н и я м и о н и о п и с ы в а ю т с я ?

56

3. К а к о е к о л е б а т е л ь н о е д в и ж е н и е н а з ы в а е т с я г а р м о н и ч е с к и м ?

Н а р и с у й т е е г о г р а ф и к и у к а ж и т е п а р а м е т р ы г а р м о н и ч е с к о г о к о л е б а ­ н и я .

7. К а к с т р о я т с я в е к т о р н ы е д и а г р а м м ы ? Н а в е к т о р н о й д и а г р а м м е и з о б р а з и т е с м е щ е н и е , с к о р о с т ь и у с к о р е н и е т о ч к и , с о в е р ш а ю щ е й

г а р м о н и ч е с к о е к о л е б а н и е .

8 . К а к и м д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е н и е м о п и с ы в а е т с я з а т у х а ю ­ щ е е к о л е б а н и е ?

9. И з о б р а з и т е з а т у х а ю щ е е к о л е б а н и е а н а л и т и ч е с к и и г р а ф и ч е с к и .

К). Ч т о н а з ы в а е т с я л о г а р и ф м и ч е с к и м д е к р е м е н т о м з а т у х а н и я и

д о б р о т н о с т ь ю к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м ы ? О т к а к и х в е л и ч и н о н и з а в и ­

с я т ?

11 . Р а с с м о т р и т е к о л е б а н и я с и с т е м ы п о д д е й с т в и е м п е р и о д и ч е с к о й в н е ш н е й с и л ы . К а к о й в и д и м е ю т э т и к о л е б а н и я ? К а к о в а и х ч а с т о т а ?

12. И с с л е д у й т е з а в и с и м о с т ь а м п л и т у д ы и ф а з ы в ы н у ж д е н н ы х к о ­ л е б а н и и о т ч а с т о т ы в ы н у ж д а ю щ е й с и л ы . И з о б р а з и т е э т у з а в и с и ­ м о с т ь г р а ф и ч е с к и .

13. Р а с с м о т р и т е с л о ж е н и е к о л е б а н и й , п р о и с х о д я щ и х в о д н о м н а ­ п р а в л е н и и с о д и н а к о в ы м и ч а с т о т а м и . К а к о й м о ж н о с д е л а т ь в ы в о д ?

1-1. Ч т о т а к о е б и е н и я ? К о г д а о н и в о з н и к а ю т и с к а к о й ч а с т о т о й п р о и с х о д я т ?

15. В ч е м з а к л ю ч а е т с я м е т о д с п е к т р а л ь н о г о р а з л о ж е н и я с л о ж н о ­ г о к о л е б а н и я ? П р и в е д и т е п р и м е р ы .

16. Р а с с м о т р и т е с л о ж е н и е в з а и м н о п е р п е н д и к у л я р н ы х к о л е б а н и й с о д и н а к о в ы м и ч а с т о т а м и .

17. К а к и е к р и в ы е в о з н и к а ю т п р и с л о ж е н и и в з а и м н о п е р п е н д и к у ­ л я р н ы х к о л е б а н и й с р а з л и ч н ы м и ч а с т о т а м и ?

Наибольший интерес в теме «Колебания» представля­ ют задачи, в которых рассматриваются вопросы кинема­ тики п динамики как гармонических, так и затухающих» вынужденных колебаний (примеры 1 и 2), а также сло­ жения колебаний (пример 3). Следует подчеркнуть, что виды законов, уравнений, описывающих колебания, со­ вершенно одинаковы п не зависят от конкретной приро­ ды изучаемых явлений (происходит ли колебание мате-

57

рпалыши точки, тела конечных размеров или рассматри­ ваются процессы колебании в колебательном контуре, в радиотехнической цепи).

П р и м е р I. С и л а т о к а н э л е к т р о м а г н и т н о м к о н т у р е RLQ м е н я е т ­ с я н о з а к о н у

/ -10 е~ал 1cos 8 - г! (/1).

О н р е д е л н т н а м п л и т у д н о е з н а ч е н и е т о к а п о с л е N == 10 п о л н ы х к о ­ л е б а н и й .

А м п л и т у д н о е з н а ч е н и е т о к а о п р е д е л я е т с я с о г л а с н о ф о р м у л е ( 2 7 ) :

At

J = I0e~'-1= I0e 1 ,

т а к к а к к о э ф ф и ц и е н т з а т у х а н и я |5 с н и з а н с л о г а р и ф м и ч е с к и м д е к р е ­

м е н т о м з а т у х а н и я Л с о о т н о ш е н и е м ( 3 0 ) .

О т н о ш е н и е — р а в н о ч и с л у п о л н ы х к о л е б а н и и /V. Т о г д а

f — I р - А N

1N —1ае

Н а ч а л ь н о е а м п л и т у д н о е з н а ч е н и е т о к а / 0, п е р и о д к о л е б а н и и Т

и к о э ф ф и ц и е н т з а т у х а н и я |5 м о г у т б ы т ь н а й д е н ы и з з а д а н н о г о в и д а з а т у х а ю щ и х к о л е б а н и й :

58

П р и м е р 2. П о д д е й с т в и е м в е с а Р э л е к т р о м о т о р а к о н с о л ь н а я б а л ­ к а , н а к о т о р о й о н у с т а н о в л е н , п р о г н у л а с ь н а Л/г = I мм. П р и к а к о м

ч и с л е о б о р о т о в я к о р я м о т о р а м о ж е т в о з н и к н у т ь о п а с н о с т ь р е з о н а н ­ с а ?

К о э ф ф п ц и е н т у п р у г о с т и б а л к и н а й д е м и з е е н а ч а л ь н о г о с м е щ е ­ н и я . П о з а к о н у Г у к а

F = /ел\ но F= P.

О т с ю д а

k - Л - Ц К .

хД h

ч т о б ы н а в ы х о д е д е т е к т о р а т е л е г р а ф н ы й с и г н а л и м е л з в у к о в у ю ч а ­ с т о т у 1 кГц?

59