книги из ГПНТБ / Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие]
.pdfРазделим на амплитуду Л и приведем подобные члены:
( c o q — ш2) cos (ш t—1>) -f- 2 [3idcos
cos Ю1.
Обозначим
2 |
3 |
Лд, |
A,. |
Wq— Ш |
Тогда получим:
Ax cos (w t — ф) + Ла cos W/--0 4- — ] = A acos wt. 2 /
Правую часть можно рассматривать как уравнение некоторого гармонического колебания, получившегося от
сложения двух гармонических колебании, определяемых членами левой части этого равенства. Для сложения ко лебаний воспользуемся методом векторных диаграмм.
Проведем ось ОХ и отложим под углами, соответст вую] 'ими начальным фазам всех трех колебании, векто
ры Ль А2 , Лз их амплитуд таким образом, чтобы
А3 = А 1+ А 2 (рис. 11). Так как Лз= А ] -\-Al, то, подставив вместо Ль Ло и Л3 их значения, получим:
Й
-XL = (У)2 _ ш!)а 4 - 4 132 ш3.
Из этого равенства находим значение амплитуды вынуж денных колебании:
Л = |
------------ . |
(37) |
|
/(wg — wу |
4- 4 ,32 w2 |
30
Приведенная векторная диаграмма позволяет определить сдвиг фаз между смещением и выпуждающеп си-
лой:
1еФ |
Аг |
(38) |
|
А |
|||
|
|
Рис. 11
К полученным результатам можно прийти, пользуясь тригономет рическими преобразованиями. Покажем это.
Возьмем первую и вторую производные по времени от смещения
х — — А шsin (ш / —ф),
Л' = — А С)2 cos (ш / — ф) .
Подставим их в дифференциальное уравнение (35):
—А ш2 cos (ш t—Ф) -- 2 р А (о sin (ш t — ф) + «о A cos (w t — Ф) = /„ cos w t,
или
A cos (w Ф) (id2 — со2)—2 $ A I D sin (u)t— ф) = /0 COS I D l.
Раскроем c o s ( « / — ф) н sin (w l — ф). Получим:
31
А(со2 — со2) (cos со t COS Ф+ sin CDt sin 6)
—2 P w A (sin У) t COS cb—COS CD l Sin Ф) =/0 COS CDt.
Приведем подобные члены:
[Л (со’ — со2) cos Ф+ 2 рсо A sin •!»] cos cdt 4-
-|- [ А (со2 — со2) sin •!>— 2 3uj A COS Ф] sin со t = /0 cos СОt ■
Чтобы выполнялось ото равенство, необходимо равенство коэф фициентов при cos ы I и Sinai/ справа и слева. Следовательно,
А (со2 |
— со2) cos 0 + 2 Зсо A sin Ф==/о , |
(39) |
А (со2 — ш2) sin Ф—2 Зсо A cos Ф= 0. |
(40) |
Последнее равенство дает значение начальной фазы ф:
2 3 со tg V= (О2—со2
Возведем в квадрат п сложим равенства (39), (40). Получим:
А2(«об - со2)2 + 4 З2 со2 Л2 = f l ,
откуда находим значение амплитуды вынужденных колебании:
1/(со2 - СО2)2 + 4 З2 CJ)2 ■
Выражения (37) и (38) дают значения амплитуды п начальной фазы вынужденных колебании. Из них следу ет, что амплитуда и начальная фаза вынужденных коле баний зависят от соотношения между частотами си и сиоКолебание происходит не в фазе с силой: наибольше го смещения колеблющаяся точка достигает не в тот
момент, когда сила наибольшая. Если сопротивление сре ды равно нулю (Р= 0), то в этом случае колебания и сила имеют одинаковые фазы, во всех прочих случаях фаза б ^ О .
32
Наибольший интерес представляет зависимость амп литуды вынужденных колебаний от амплитуды и часто ты вынуждающей силы при постоянной частоте собствен ных колебаний. Рассмотрим это явление подробнее.
§ 8. ЯВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА
Выясним, при каком значении частоты вынуждающей силы амплитуда установившихся вынужденных колеба ний достигает максимального значения. Для этого иссле дуем знаменатель выражения (38).
Найдем производную от подкоренного выражения и приравняем ее нулю:
—2 (nig — ш2) 2 о>-f- 8 132 ш=0 ,
« [2 ? 2- « - 0 ] = 0 .
Так как ш Ф 0, то
2 З2 — (ш2 — ш2)= 0.
Отсюда найдем частоту со, при которой амплитуда вы нужденных колебаний достигает своего максимального значения (так называемую резонансную частоту):
w = и,р е з = V |
2 " F • |
<4 1 > |
Явление резкого возрастания |
амплитуды |
установив |
шихся вынужденных колебаний, наступающее при приб лижении частоты вынуждающей силы со к частоте соб ственных колебаний системы соо, называется резонансом. Если система обладает несколькими возможными собст венными частотами, то резонанс будет наступать при приближении частоты вынуждающей силы к каждой из этих частот.
Наиболее простой характер задача о резонансе имеет в двух случаях:
3. Зак. 1077 33
П если внешнее воздействие пе изменяет свойств ко лебательной системы, в которой возникает резонанс;
2)еслн амплитуда, частота н фаза вынуждающей си лы не зависят от состоянии колебательной системы.
Выполнение этих условий необходимо для того, чтобы задаче о резонансе можно было рассматривать как за дачу о вынужденных колебаниях в данной колебательной системе. В противном случае эго была бы задача о вза имодействии этой колебательной системы п системы, со знающей внешнее воздействие.
Резонансная амплитуда достигает значения
^рез |
______ __ |
|
h ____ |
|
|||
К [ w S - ( w S — |
2 |
,3*)]* + |
4 |
3 2 ( < " 0 - 2 ? 2 ) |
|||
|
|||||||
|
2 3 I |
'ш2 — |
р |
|
(42) |
||
|
|
|
|||||
Если сопротивление |
среды |
равно |
нулю (р = 0), то |
||||
максимум амплитуды получается |
при |
<'>pU3 —l,,n. то есть |
когда частота вынуждающей силы ы равна частоте соб ственных колебаний i»o. В этом случае амплитуда вы нужденных колебаний становится бесконечно большой.
При отличном от нуля значении |3 амплитуда никогда пе достигает бесконечности и максимум ее получается при значениях шро.„ меньших е>0. Чем меньше коэффи циент затухания р, тем более остро выражен максимум амплитуды. Практически коэффициент затухания 3 =-0 , и бесконечно больших амплитуд при резонансе не наблю дается.
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от относительной частоты вынуждающей силы при разных р показана на рис. 12.
Фаза вынужденных колебании при резонансе опреде ляется следующим соотношением:
|g |
0 = |
------- . |
г |
1 |
о |
|
|
й |
34
Из формулы (37) следует, что сдвиг фаз изменяется с частотой так, как показано на рис. 13. Для низких ча стот (»>->-0) колебания смешения происходят в фазе с сплои (б—>-0). При резонансе (ю = о»о) колебания смеще ния отстают по фазе от силы на 90°. При очень высоких частотах (н> -> оо) колебания смешения и сила находятся в противофазе (б - -
Происхождение резонансного усиления колебаний можно уяснить себе, обратив внимание на соотношение между фазами вынуждающей силы FBЫ1, и скорости v. При о ^ между ними существует определенный сдвиг фаз. Поэтому в течение некоторой доли каждого периода сила Fnыи направлена противоположно скорости. При резонансе же фазы силы и скорости совпадают, так что
сила действует в направлении движения, постоянно « подтал кивая» тело.
Количественной характеристикой резонансных свойств колебательной системы является добротность. Она пока зывает, во сколько раз амплитуда установившихся вы нужденных колебаний при резонансе превышает ампли
35
туду вынужденных колебании вдали от резонанса, то есть в топ области частот, где амплитуда вынужденных колебаний не зависит от частоты:
д = d p , где Л0 ^0
Рис. 13
Добротность является мерой «ширины» резонанса. Она пропорциональна отношению полного запаса энер гии Ек колебаний при резонансе к потерям энергии за период Еп\
Q = 2 ~ Е .
Еп
Чем выше добротность колебательной системы, тем мед леннее в ней затухают колебания, тем острее резонанс ная кривая. Высокая добротность системы приводит к уменьшению времени установления стационарного режи ма вынужденных колебаний,
36
Явление резонанса играет огромную роль в радиотех нике и радиолокации. Это и настройка радиоприемников на прием топ пли иной радиостанции, и выделение нуж ного сигнала, отраженного от цели, от различного рода помех (для чего используются так называемые согласо ванные фильтры). С явлением резонанса необходимо считаться при конструировании машин, самолетов. Соб ственная их частота не должна совпадать с частотой воз можных внешних воздействий.
§9. ПОНЯТИЕ О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ
Возбудить колебания можно не только в результате дей ствия внешней силы, но и периодическим изменением одного из параметров колебательной системы.
Увеличение амплитуды колебаний системы вследст вие изменения какого-либо параметра системы называ ется параметрическим резонансом. Параметрические ко лебания наступают в случаях, когда отношения частот собственных колебаний к частоте колебаний одного из
параметров — |
оказываются |
„ |
|
п |
где п = |
олпзкимн |
к^- |
||||
= 1, 2, 3, ... В |
этом случае в системе возникают |
колеба- |
|||
|
„ ш |
3 |
д. |
„ |
|
нпя с частотой, равной |
-у и) и 'г. |
Параметриче- |
|||
v |
_ |
|
|
«>0 |
1 |
скпе колеоания напоолее интенсивны, когда |
— = —. |
||||
|
|
|
|
и) |
2 |
Классический пример возбуждения параметрических колебаний — опыт Мельде. Один из концов натянутой струны кренится к камертону (рис. 14). При колебани ях камертона периодически изменяется напряжение стру-
шп I
ны, п при — ^ — струпа начнет резонировать на колеоа-
нпя камертона, то есть начинает совершать поперечные колебания.
37
При обычном возбуждении струны резонанс наступа ет при m = wo. В этом отношении параметрические коле бания сходны с резонансом при обычном возбуждении колебаний. Поэтому параметрическое возбуждение коле бании часто называют параметрическим резонансом.
Другим примером параметрического колебания мо жет служить раскачивание качелей, когда периодически изменяются длина и момент инерции маятника.
Параметрический резонанс может происходить и в электрических системах. В колебательном контуре при периодическом изменении емкости пли индуктивности возникают параметрические колебания. Они были изуче ны Мандельштамом и Папалекси, которые предложили использовать этот принцип для создания генераторов пе ременного тока — параметрических генераторов.
В нелинейных системах периодическое изменение па раметра приводит к возникновению автопараметрпческнх колебаний. Это явление изучалось главным образом в ламповых генераторах с обратной связью, немного не доведенной до границы возникновения автоколебаний. Явление автопараметрнчеекого резонанса нашло практи ческое применение в качестве одного из методов деления частоты.
38
§ 10. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИИ, ПРОИСГ'.ОДлЕ.’.ЧХ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ
Часто тело участвует одновременно в двух пли несколь ких колебаниях. Например, различные звуковые волны, одновременно воспринимаемые нашим ухом, заставляю!’ барабанную перепонку принимать участие сразу в не скольких гармонических колебаниях. Электромагнитные волны, приходящие одновременно от ряда радиостанции, возбуждают в приемном контуре электрические колеба ния различных частот.
В качестве примера сложных колебаний, возникаю щих в электрических цепях, можно привести следующие'.
а) |
переменный ток/ = /0 cos и/, |
протекающий по цепи, |
||||
состоящей из |
сопротивления |
П |
и |
индуктивности L |
||
(рис. |
15,а). Здесь амплитуда |
напряжения |
U не равна |
|||
сумме амплитуд Ui и Ь\\ |
|
|
|
|
||
б) |
переменный ток, протекающий по цепи, состоящей |
|||||
из сопротивления R и емкости С (рис. |
15,6). В этом слу |
|||||
чае амплитуда |
напряжения |
U также |
не |
равна сумме |
||
амплитуд U1 и U2. |
|
|
|
|
Рис. 15
Сложное колебание имеет различный вид в зависимо сти от соотношения частот складываемых колебаний и разности их фаз. Выделим два случая сложения: 1) сла гаемые колебания имеют одинаковую частоту; 2) слагае мые колебания имеют различную частоту.
39