книги из ГПНТБ / Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие]

больше в сумме все потери, тем быстрее происходит за­ тухание колебаний, то есть уменьшение их амплитуды.

Рассмотрим случай, когда тело совершает прямоли­ нейное колебание в вязкой среде под действием упругой силы. Сила сопротивления среды зависит от скорости движения, и в случае малых скоростей ее можно считать пропорциональной скорости. По направлению сила со­ противления всегда противоположна скорости:

где г — коэффициент сопротивления.

Сила, вызывающая ускорение, равна сумме сил упру­ гости и сопротивления:

Поэтому второй закон Ньютона будет иметь вид

та —— кх — г и,

пли

тх + г х + k х = О-

Разделим на массу тела т п обозначим:

т

где р называется коэффициентом затухания. Получим:

Заменим переменные, обозначив

(23)

Тогда

20

x = e~Mz ~ 2 B e ~ ?tz + ^ e ~ !,tz.

Подставим эти значения в уравнение (22):

Решение этого дифференциального уравнения нам из­ вестно:

будет больше, чем для таких же свободных колебаний в отсутствие трения.

Подставив выражение (24) в (23), получим уравне­ ние затухающего колебания в виде

уменьшается со временем по экспоненте.

Графически зависимость смещения от времени пред­ ставлена на рис. 8.

Пз закона затухания колебании следует, что колеба­ ния прекратятся полностью лишь через бесконечно боль­ шой промежуток времени. На самом деле колебания прекратятся через конечный промежуток времени, так

21

как при амплитуде, величина которой порядка атомных размеров, колебание макроскопической системы как це­ лого невозможно.

Рис. 8

В заключение покажем, что в реальном колебатель ном контуре с сопротивлением Н (рис. 9) возникают за

тукающие электромагнитные колебания.

При наличии в конту­ /V ре активного сопротивле­ ния R энергия электриче­ ского поля будет перехо­

дить в энергию магнитно­ го поля н частично рас­ ходоваться на ленц-джоу- лево тепло:

Возьмем производную от правой п левой частей получен­ ного равенства по времени I,. Производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу рав­

22

на подынтегральной функции. Учитывая это, будем иметь:

Правая часть равенства представляет собой падение на­ пряжения на конденсаторе, тогда как второе слагаемое левой части равенства — падение напряжения на сопро­ тивлении, а первое слагаемое — ЭДС самоиндукции.

Получили уравнение, аналогичное (22). Это означает, что в контуре с сопротивлением R имеют место затухающие электромагнитные колебания.

23

Так как роль коэффициента затухания (5 играет велп-

туре будет равна:

§6. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ДЕКРЕМЕНТ ЗАТУХАНИЯ

ИДОБРОТНОСТЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Для количественной характеристики затухании, наряду с коэффициентом затухания, вводится декремент затуха­ ния, логарифмический декремент затухания и доброт­ ность.

характеризует быстроту убывания амплитуды колебании. Действительно, обозначив время уменьшения амплитуды колебаний в е раз через т, легко получить значение 3;

Коэффициент затухания (5 есть величина, обратная времени уменьшения амплитуды в е раз. Время т носит название времени релаксации.

Сравним амплитуды двух колебаний, следующих од­ но за другим, то есть разделенных по времени одним пе­ риодом:

А = Л0е~А ,

Л2= Д 0е_13В + Т) .

24

Разделив А\ на Л2, получим величину, называемую

декрементом затухания:

Ав‘л

Декремент затухания есть величина постоянная, и, следовательно, амплитуда колебании за каждый период уменьшается в одинаковое число раз:

А . Л2 = Л2 : Л3 = . , . = Л„: Лnj -i .

Логарифм декремента носит название логарифмиче­ ского декремента затухания и выражается:

Д„

Что же характеризует собой логарифмический декре­ мент затухания?

раз и система совершила N колебании. Тогда

N ~ Т ~ ЪТ ~ Д ’

то есть

Это означает, что логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, после совер­ шения которых амплитуда уменьшилась в е раз.

Если коэффициент затухания (5 характеризует убыль амплитуды колебаний за единицу времени, то логарифми­ ческий декремент затухания Д характеризует убыль амп­ литуды за период.

25

Вместо логарифмического декремента затухания ча-

. А

его применяют пропорциональную ему величину а — - ,

называемую затуханием.

Для характеристики колебательных контуров употре­ бляют величину, называемую добротностью. Доброт­ ность Q есть величина,обратная затуханию d:

(32)

Q d A N'

Добротность тем больше, чем больше колебании со­ вершится в контуре, пока амплитуда не уменьшится в е раз, то есть чем дольше длятся колебания в контуре.

Рассчитаем добротность колебательного контура ис­

Тогда добротность колебательного контура будет равна:

(33)

то есть с увеличением сопротивления R контура доброт­ ность уменьшается и колебания затухают быстрее.

Величина добротности для разных колебательных си­ стем различна и составляет:

1)обычный колебательный контур —102;

2)камертоны —10'1;

3)пьезокварц —105;

4)полый резонатор для мнкрорадноволн —105;

5)электрон в атоме— 107.

26

Добротность характеризует резонансные свойства системы, поэтому к понятию добротности возвратимся еще раз при рассмотрении вынужденных колебаний.

В нелинейных системах отношение потерь энергии за период к полной энергии колебаний не остается посто­ янным, а меняется с уменьшением амплитуды колебаний. Поэтому последующие амплитуды не подчиняются за­ кону затухающих колебаний, то есть не образуют гео­ метрическую прогрессию. Простейшая нелинейная систе­ ма — это нелинейная механическая система, в которой величина силы трения не зависит от величины скорости, то есть сила трения постоянна. Такая сила трения воз­ никает в системах, движение которых связано со сколь­ жением. В этом случае амплитуда колебаний убывает по закону арифметической прогрессии. За период коле­ баний Т амплитуда убывает на постоянную величину 4я,

где а = .

Когда амплитуда колебаний достигнет значений, меньших а. упругая сила будет уже не в состоянии преодолеть силу трения и вызвать движение в обратном направлении. Система совершает некоторое число це­ лых полуколебаппй и останавливается в любой точке области, ограниченной значениями |.\:|<я, в так называ­ емой «полосе застоя» (рис. 10).

X

Рис, 10

27

§ 7. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Возникновение колебании связано млн с выводом систе­ мы из положения равновесия, или с наличием действия внешней силы. Рассмотренные гармонические и затуха­ ющие колебания возникают, когда система выводится из равновесия. Во втором случае, то есть при действии внешних сил, могут возникнуть самые разнообразные колебания. Наибольший интерес представляют вынуж­ денные колебания, которые возникают под действием внешней периодической силы, например: колебания меха­ нической конструкции под действием переменной нагруз­ ки, колебания мембраны под действием переменного маг­ нитного поля, колебания напряжения и тока в электриче­ ской цепи под действием переменной ЭДС и др.

Характер вынужденных колебаний определяется как характером внешней силы, так и свойствами самой си­ стемы. В начале действия периодической внешней силы характер вынужденных колебаний изменяется со време­ нем. Лишь по прошествии некоторого промежутка вре­ мени в системе устанавливаются периодические вынуж­ денные колебания с периодом, равным периоду измене­ ния внешней силы (установившиеся вынужденные коле­ бания).

В системах, которые не могут совершать собственных колебаний (апериодические системы), процесс установ­ ления отсутствует и практически сразу возникают уста­ новившиеся колебания. Установление колебаний в систе­ ме происходит тем быстрее, чем больше величина зату­ хания колебаний этой системы.

Рассмотрим установившиеся вынужденные колебания на примере механической системы. Пусть тело массой т удерживается в положении равновесия пружиной с ко­ эффициентом упругости к. При совершении колебаний на груз действует сила трепня, коэффициент трения ко­ торой г.

Подействуем на тело Периодической силой /'Фcos cot. Запишем второй закон Ньютона:

F = —к х — г v F 0 cos шt,

28

или

циальное уравнение, описывающее вынужденное колеба­ ние:

При отсутствии вынуждающей силы и силы трения система будет совершать собственные незатухающие ко­ лебания с частотой сооНайдем решение этого уравнения. Если прошло достаточно времени для установления ко­ лебаний, то естественно предположить, что установив­ шиеся вынужденные колебания будут иметь периодиче­ ский характер, постоянную амплитуду и частоту со вы­ нуждающей силы, то есть

Определим амплитуду и начальную фазу вынужден­ ных колебаний. Возьмем первую и вторую производные смещения по времени:

А шsin (иП — <\>)=А w cos (и)/ * + 1

X = — А со2 cos (u> t—ф) .

Подставим эти выражения в уравнение (35). Получим:

— A ws cos (ш I — б) ф 2 р А ш cos ( to / — ф -f- —J Ф

-ф u)qA cos (w t — 0) = /о cos w t.

29