книги из ГПНТБ / Гречихин Л.И. Колебания и волны [учеб. пособие]
.pdfНЛП
т х f k ,v = 0.
Разделив на массу m, получим:
к
tn
Обозначим
к
rn 'о-
Тогда
(2)
(3)
X шо .V= 0. |
(4) |
Это есть линейное дифференциальное уравнение с по стоянными коэффициентами. Его решением является функция вида
х — А0cos (w0 / -J- <р0) |
(5) |
где
/ Т
(6)
—круговая частота, с которой колеблется тело массой т под действием упругой силы, характеризующейся коэф фициентом упругости к.
Так как упругие силы пропорциональны смещению только при малых смещениях, то механические колеба ния близки к гармоническим только при малых ампли тудах.
2. Покажем теперь, что электромагнитные колебания, возникающие в идеальном колебательном контуре LC (рис. 5), являются гармоническими. Пусть в начальный момент времени на обкладках конденсатора находится заряд ±q, а между пластинами конденсатора — элекг-
10
рическое поле (рис. 5,а). Замкнем конденсатор па ин дуктивность. Контур начнет разряжаться, и его электри ческое поле будет уменьшаться. При этом в контуре воз никнет ток разряда конденсатора, отчего в катушке ин дуктивности появится магнитное поле. Через некоторое время, равное четверти периода колебаний, конденсатор разрядится полностью н электрическое поле исчезнет (рис. 5,6). Магнитное поле при этом достигнет максиму ма, а следовательно, энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля. В дальнейшем магнитное поле будет исчезать, так как пет токов, его поддерживающих. Это исчезающее поле вызовет экстра ток самоиндукции, который в соответствии с правилом Ленца будет стремиться поддерживать ток разряда кон
денсатора. Поэтому конденсатор будет перезаряжаться и между его пластинами появится электрическое поле про
тивоположного направления (рис. 5,д). Через время t=
rej
магнитное поле исчезнет вовсе, а электрическое ноле до-
t * 0
стигнет максимума и энергия магнитного поля вновь превратится в энергию электрического поля. Затем кон
11
денсатор вновь будет разряжаться и в контуре возник
нет ток, направленный противоположно току в предыду- 3
щей стадии процесса. Через время /= — Т конденсатор
вновь полностью разрядится и энергия электрического поля опять превратится в энергию магнитного поля (рпс. 5,с). По прошествии полного периода Т электриче ское состояние конденсатора будет таким же, как п в начале колебании.
Итак, в процессе колебания заряда в контуре энергия электрического поля превращается в энергию магнитно го поля. Запишем закон сохранения энергии:
2 С |
2 |
Взяв первую производную по времени, получим:
С ' dt |
|
dt |
’ |
|
пли |
|
|
|
|
я . dq |
= |
L |
dq |
dl |
с ' dt |
dt ' |
dt' |
||
гак как 1 — ~п• dt
иметь:
П О
аэ
TUB
dq
на dt ' окончательно будем
q_ = L d- q
сdt-
Вэтом равенстве qjc — напряжение на обкладках конденсатора, а справа — ЭДС самоиндукции. Для ЭДС самоиндукции надо учесть знак (согласно правилу Лен ца). В этом случае получим:
12
l £ 1 + |
± |
= Q, |
(7) |
dt- |
С |
|
|
или |
|
|
|
(j ф - - - |
q = 0. |
(8) |
|
Сравнивая формулу (7) |
с |
формулой (2) |
пли (8) с |
(3), замечаем, что они имеют одинаковый вид. Это озна чает, что индуктивность L в электрической системе ана-
|
1 |
анало |
логична массе т в механической, а величина |
||
гична коэффициенту упругости к. |
|
|
Заменяя — |
па <■>;*, полечим: |
|
L С |
0 |
|
|
■I -f wo q = 0 • |
|
Решение такого |
дифференциального уравнения |
имеет |
вид |
|
|
|
q <7„ cos К t ф <?„), |
(9) |
где |
|
|
/ |
Г |
|
(.!)0 |
(Ю) |
|
LC |
||
|
Учитывая связь периода колебаний с частотой, нахо дим период собственных колебаний в колебательном контуре LC:
7’0= 2 - 1 LC. |
(11) |
Формула (11) называется формулой Томсона.
Следует заметить, что в контуре кроме заряда совер шает гармонические колебания ток:
13
1 = (/= — w0 q0 Sin («>o t + ®„)= — /„ sin (w01 -!- «Po) =
— I0cos ‘•>0 t + <Pn+ |
(12) |
n напряжение па конденсаторе
U = ~ |
q0cos (i»„ t -j- tp0)= U0cos (w01-f <?<>)■ |
(13)
Из анализа выражений (0), (12), (13) можно заклю чить. что максимальному заряду па обкладках q= qc со ответствует максимальное напряжение Г = П 0. Когда же конденсатор разряжен (</= 0, Г = 0 ) , в контуре течет мак симальный ТОК / = /().
Найдем скорость и ускореппе материальной точки, совершающей гармоническое колебание. Для этого возь мем первую и вторую производные от смещения по вре мени:
v = x = — А0u>0 sin (е>0 / + ?o) = ^o(l,ocos |
+ ?о + |
) , |
(14)
а = v = — А0«>о cos («>„ / Н•'■?„) = — шо х =
= i40(u2cos((»0^ + ?0 + " ) . |
(15) |
Из этих формул видно, что скорость п ускорение яв ляются периодическими функциями времени и изменя ются с той же частотой соо, что и смещение. Скорость
опережает смещение на , а ускорение и смещение на
ходятся всегда в противофазе. Ускорение пропорцио
нально смещению х и направлено к положению равнове сия. При прохождении колеблющейся точкой положе-
14
ния равновесия скорость достигает максимального по абсолютной величине значения:
I ^макс I = ш0 Аь
а ускорение равно нулю.
При крайних отклонениях ускорение приобретает максимальное по абсолютной величине значение:
I ^макс | — w0 -^о •
Амплитуда колебания и начальная фаза определяют ся из начальных данных. Предположим, что в начальный момент времени (/ = 0) известны скорость материальной точки ко и ее смешение .\'0. При этих условиях имеем:
( А'о = Л COS rn i
U ’o = - |
(”n sin rn • |
Возведем в квадрат и сложим почленно эти выражения:
Отсюда
(16)
Начальная фаза может быть найдена из этих же вы ражений путем деления второго равенства на первое:
v0= — «о tg ?0 5
хо
или
tg То = — |
_ V o _ |
(17) |
|
Ш0 х 0 |
|||
|
15
Следовательно, материальная точка массой т, нахо дясь под действием одной и той же упругой силы, может совершать колебания равной амплитуды и с разными начальными фазами в зависимости от начальных усло вий, в то время как частота колебаний всегда остается одной и топ же п определяется формулой (6).
Наиболее характерной чертой гармонических колеба ний является то, что скорость, ускорение п все высшие производные смещения изменяются также гармонически. В общем случае необходимым условием существования гармонических колебаний является неизменность тех параметров системы, которые определяют частоту колеба ний. Это имеет место лишь в линейных системах. В не
линейных системах гармонические колебания не осуще ствляются. Однако если колебания отличаются от гармо нических тем, что их амплитуда убывает со временем (затухающие колебания) пли в течение некоторого про межутка времени возрастает (самовозбуждающпеся ко лебания) и эти изменения происходят достаточно мед ленно, так что за один период колебания амплитуда их не успевает сколько-нибудь заметно измениться, то эти колебания можно считать по форме близкими к гармо ническим. Такие же колебания получаются в случае мо дуляции колебаний, если период модуляции достаточно велик гто сравнению с периодом модулированных гармо нических колебаний.
§ 3. ЭНЕРГИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Всякая колеблющаяся система обладает механической энергией. Пусть тело массой т совершает гармониче ские колебания под действием упругой силы /'’ = —кх. В момент времени t оно будет обладать потенциальной и кинетической энергией. Потенциальная энергия Я тела, смещенного на расстояние х от положения равновесия,
16
измеряется топ работой, которую произведет возвраща ющая сила, перемещая тело в положение равновесия:
X |
X |
|
Fdx = |
— кх dx = - k л-3. |
(18) |
2
оо
Кинетическая энергия тела равна:
К = |
т v2 |
(19) |
|
|
2 |
Подставив значения смещения и скорости и сложив потенциальную и кинетическую энергии, получим вели чину полной энергии колеблющегося тела:
Так как
то
Следовательно, полная механическая энергия тела, совершающего гармонические колебания, пропорцио нальна квадрату амплитуды колебания.
Кинетическая и потенциальная энергии при свобод ных незатухающих гармонических колебаниях изменя ются периодически, но период изменения энергии в два
раза меньше периода собственных колебании (рис. 6), так как Л и К пропорциональны квадратам косинуса и синуса фазы колебаний. Полная энергия Е не зависит от времени и остается постоянной величиной, что следует из закона сохранения энергии.
*1
Во многих приложениях, связанных с рассмотрением колебательного процесса, удобен геометрический способ
представления колебаний с помощью вращающегося вектора амплитуды. Этот способ состоит в следующем. Проведем прямую, которую будем называть опорной пли осью х, и выберем на ней произвольную точку О (рис. 7). Из этой точки под углом ср0, равным начальной фазе ко лебания, отложим в некотором масштабе вектор, равный амплитуде А0. Из рисунка видно, что проекция вектора А0 на ось х даст начальное смещение колеблющейся точки: х0 = А0cos о0.
Будем вращать вектор амплитуды с угловой скоро стью соо против часовой стрелки. Тогда через время t
угол наклона вектора амплитуды к |
оси х будет фо + со^, |
а проекция его па ось х определится |
как |
X = А0COS ('f0 + W0 t) .
Следовательно, гармоническое колебание можно представить как движение проекции конца вектора амп литуды па некоторую ось при вращении этого вектора с угловой скоростью ОЭо-
X
Рис. 7
§ 5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассмотренные колебания происходят без потерь энер гии, п энергия извне к ним не подводится. Реальные ме ханические колебательные системы являются диссипа тивными, так как энергия системы с течением времени уменьшается за счет преобразования ее в другие (пемеханпческие) формы. Потеря энергии колебаний в меха нических колебательных системах вызывается трением и излучением упругих волн в окружающую среду, в элек трических колебательных системах — наличием активно го сопротивления проводников, рассеянием энергии в диэлектриках и ферромагнетиках при их переменной по ляризации (потери на гистерезис) и излучением электро магнитной энергии в окружающее пространство. Чем
19