книги из ГПНТБ / Преснухин, Л. Н. Цифровые вычислительные машины учебное пособие

причем для выполнения различных операций может потребоваться различное количество интервалов дискретности (тактов).

Цифровые автоматы, у которых выходные сигналы yt (f) опреде­ ляются входными сигналами xt (Г) и состоянием автомата в предшест­ вующий момент времени qt (t — 1), называют цифровыми автоматами

автоматами Мура. Так как состояние qt (/) в любом автомате одно­ значно определяется сигналами Х{ (t) и состоянием автомата </,• (t — 1), то автомат Мура можно рассматривать как частный случай автоматов Мили.

Функционирование автомата Мили можно описать функцией пере­ ходов F и функцией выходов <р:

<7 /( 0 = ^ Ы * - 1). м Ш У<У) = ф[ф (0. Xi\t)].

Аналогично описывается функция переходов F и функция выходов q> цифрового автомата Мура:

yt(t) = ф[?ь *]•

Задача структурного синтеза последовательностного цифрового автомата. Структурный синтез дает возможность определить струк­ туру автомата и связь между его устройствами. Следовательно, задача синтеза автомата есть определение структурной схемы (или модели) по заданной функциональной модели.

Задачу структурного синтеза запоминающего автомата можно свести к задаче структурного синтеза комбинационных схем при соответствующем выборе построения элементарных запоминающих элементов автомата. Обычно в качестве таких запоминающих эле­ ментов используют автоматы Мура, обладающие полными системами переходов и выходов. Полнота переходов обозначает, что для любой пары состояний этого автомата найдется входной сигнал, переводящий автомат из первого состояния во второе.

Полнота системы переходов означает, что каждому состоянию автомата соответствует система выходных сигналов, отличная от вы­ ходных сигналов какого-либо другого состояния.

Совокупность элементов, из которых можно синтезировать модель автомата, носит название элементного базиса (элементы базиса, как правило, являются простейшими дискретными автоматами). Элемент­ ный базис в совокупности с правилами соединений элементов образует базис синтеза.

Существенным критерием синтеза структуры автомата является его простота, описываемая, например, количеством элементов и связей между ними. Ввиду большей сложности синтеза последовательностных автоматов при синтезе большое внимание уделяется минимизации комбинационной части последних.

40

Основной алгоритм синтеза последовательностных автоматов сле­ дующий:

а) определяют или задают таблицы переходов и выходов авто­ мата;

б) минимизируют количество конечных внутренних состояний путем анализа и выявления их внутренних состояний, которым соот­ ветствуют одинаковые выходные состояния;

в) кодируют множество внутренних состояний Q = {qlt q2.......qn] присвоением определенного кодового слова каждому состоянию;

г) выбирают базис синтеза автомата; д) по таблицам переходов и выходных функций составляют струк­

турные схемы автомата; е) минимизируют полученную структурную схему.

Базис синтеза должен быть функционально полным и эффективным. Полным относительно некоторого класса автоматов называют базис, использование которого позволяет синтезировать любой автомат этого класса. Понятие эффективности базиса связано с надежностными, скоростными, экономическими и другими параметрами и может быть использовано для оценки различных базисных наборов элементов.

В базис входит два типа электронных элементов: логические и запоминающие. Запоминающими элементами служат некоторые эле­ ментарные последовательностные автоматы. Триггер есть запоминаю­ щий синхронный или асинхронный автомат с двумя внутренними устойчивыми состояниями, каждое из которых может быть изменено под действием внешних входных сигналов.

Теория автоматов — это абстрактная теория, оперирующая с аб­ страктными кодовыми сигналами, которые можно отнести к потен­ циальному или импульсному классу.

Потенциальным абстрактным сигналом называют такой сигнал,

который сохраняет постоянное значение в течение заданного времен­ ного такта и не определен в переходные моменты времени. Переходными моментами называют моменты перехода автомата из одного состояния в другие. Временным тактом называют интервал дискретности авто­ мата.

Импульсным абстрактным сигналом называют сигнал, временная функция которого отлична от нуля только в моменты времени вне переходного интервала времени. Использование импульсных сигна­ лов дает возможность выделить три основных типа схем: потенциаль­ ные, импульсные и импульсно-потенциальные.

При переходе от абстрактных логических схем и сигналов к реаль­ ным логическим схемам и сигналам необходимо учитывать ограниче­ ния, накладываемые на работу схем реальными физическими усло­ виями: конечность фронтов сигналов, наличие внутренних ослаблений сигналов, разброс параметров и т. д. Кроме того, каждый реальный логический элемент обладает определенной нагрузочной способностью, не позволяющей присоединять к его выходу бесконечное и даже ко­ нечное число других элементов без изменения параметров сигналов (у реальных элементов ограничения наложены и на число элементов, объединяемых по входам).

41

Синтез автомата со сложными функциями и соответственно боль­ шим числом состояний представляет собой сложную задачу, поэтому практически пригоден только для элементов, узлов и отчасти опера­ ционных блоков.

Принципы работы и расчета реальных систем логических и запо­ минающих элементов приведены в гл. 2, а в гл. 3 рассмотрен синтез ряда узлов запоминающих и комбинационных автоматов.

Основы теории логического анализа и синтеза комбинационных цифровых автоматов. Для описания структуры и информационного функционирования цифровых двоичных комбинационных схем исполь­ зуют алгебру логики, составную часть математической логики. В основе алгебры логики лежит исчисление высказываний, относительно кото­ рых имеет смысл утверждать их истинность или ложность, при­ сваивая значение «1» истинным и значение «О» ложным высказыва­ ниям.

Каждому логическому выражению, отражающему простое или сложное высказывание, можно сопоставить структурную схему из двухпозиционных логических элементов и интерпретировать высказы­ вания в форме прохождения информационных сигналов со входа (входов) на выход (выходы) при замкнутых («1») или разомкнутых («О») контактных логических элементов.

Логическое проектирование узлов и операционных блоков ЦВМ и ВС, являющихся частным случаем электронных цифровых автоматов, состоит из анализа и синтеза.

Анализ логической схемы есть описание ее работы с помощью мате­ матического аппарата алгебры логики, т. е. позволяет найти общий конструктивный прием (алгоритм), позволяющий по любой корректно построенной цифровой комбинационной схеме получить выражение выходных переключательных функций.

Простейшими переключательными функциями являются: логиче­ ские сложение (дизъюнкция), умножение (конъюнкция) и отрица­ ние.

Логическое сложение = А + В есть такая переключательная функция, которая принимает значение «1», если хотя бы одна логи­ ческая переменная А или В равна «1». Логическое сложение обычно называют операцией «ИЛИ».

Логическое умножение F2 — А -В есть такая переключательная функция, которая равна «1» тогда и только тогда, когда А = В — 1. Логическое умножение обычно называют операцией «И».

Функции /д и Fa могут зависеть от любого количества переменных. Логическое отрицание F3 = А есть такая переключательная функ­ ция, которая равна «1», если А = 0 и наоборот. Логическое отрицание

обычно называют операцией «НЕ».

Приведем аксиомы алгебры логики, определяющие основные пра­ вила действия с двоичными переменными, принадлежащими определен­ ному заданному множеству.

42

Выше рассмотренные аксиомы могут быть проверены методом проб. Аксиомы позволяют доказать несколько следующих важных

теорем алгебры логики.

Правила действий с двоичными постоянными прямо, вытекают из

4 3

Теорема единственности дополнения: каждая переменная имеет одно и только одно дополнение.

Проведем доказательство этой теоремы от противного, т. е. не ссылаясь на использованные аксиомы, поскольку выше иллюстрация использования аксиом дана достаточно полно.

Пусть Л имеет два дополнения Аг и Л2. Тогда на основании аксиомы 5 можно записать:

Лх = 1 • А1= (Л Л2) • Л! = Л ■Лх -j- Л2 • Ах=

= 0 Л2 • Ai = А ■Л2 л* Л2 • Л1 = Л2 (Л -j- Л,) = Л2 • 1 = Л2.

Теорема двойного отрицания:

Л = а.

Теорема инверсии (правила Де-Моргана):

А + В = А - В ‘, А -В = А + В.

Доказательство теоремы инверсии проведем на основе таблицы, определяющей связь функций возбуждения и функций выходов авто­ мата, называемой функциональной таблицей переходов или таблицей истинности автомата.

В табл. 1.1 дан перебор всех входных функций и показано равен­ ство А + В — А -В, а в табл. 1.2 аналогичное доказательство при­

ведено для соотношения Л-В = Л + В. Доказательство теоремы инверсии можно провести и на основе ранее рассмотренных аксиом и теорем булевой алгебры логики.

44

Рассмотренные ранее логические выражения, а также законы инверсии распространяются на выражения с любым числом логических переключательных функций (элементов), например:

i= 1 i —1 i= 1 t = l

где 2 — знак, обозначающий сумму п переменных А х -э- Л„; П — знак, обозначающий произведение п переменных А х -н Л„.

Элементарными дизъюнкциями (конъюнкциями) называют дизъ­ юнкции (конъюкции) любого конечного подмножества аргументов (элементарных логических переключательных функций), содержащих прямые значения функций или их отрицания.

Элементарные дизъюнкции (соответственно конъюнкции) называют

конституентами нуля (соответственно конституентами единицы)

для данного множества аргументов булевых переменных, если они содержат в прямом или инверсном виде все переменные множества.

Любую переключательную функцию можно представить в виде дизъюнкции конъюнктивных членов или конъюнкции дизъюнктивных членов.

Переключательная функция представлена в дизъюнктивной совер­ шенной нормальной форме (ДСНФ), если все ее составляющие элемен­ тарные конъюкции являются конституентами единицы для данного множества переключательных аргументов.

Переключательная функция представлена в конъюнктивной совер­ шенной нормальной форме (КСНФ), если все ее составляющие эле­ ментарные дизъюнкции являются конституентами нуля для данного множества переключательных аргументов.

Любая булева переключательная функция имеет одну и только одну ДСНФ и КСНФ (теорема единственности).

Поскольку логические функции узлов и операционных блоков при синтезе цифровых вычислительных автоматов задают в виде таб­ лиц истинности, то необходим следующий алгоритм перехода от таб­ личного задания логической функции к записи этой функции в виде ДСНФ:

1) по таблице истинности определить те наборы прямых и инверс ных значений аргументов, при которых выходная функция обращается в «1»;

45

2)записать элементарные конъюнкции (конституенты единицы) выбранных наборов аргументов;

3)полученные" конституенты единицы соединить между собой знаками дизъюнкции.

Алгоритм получения КСНФ логической функции можно предста­ вить в виде:

1)по таблице истинности определить все наборы аргументов, при которых выходная функция обращается в нуль;

2)записать элементарные дизъюнкции (конституенты нуля) вы­ бранных наборов аргументов (но при записи выражений дизъюнкции проводить инверсию «1» состояний аргументов);

3)полученные выражения конституентов нуля соединить знаками конъюнкции.

Для получения одних и тех же логических функций автомата можно использовать математические логические выражения, описы­ вающие закон его функционирования. Поскольку практическая реали­ зация автоматов требует различных аппаратурных затрат, то возни­ кает задача минимизации логических переключательных функций. Предполагают, что из ДСНФ и КСНФ формы записи логического урав­

нения можно получить минимальные дизъюнктивную и конъюнктив­ ную формы, при записи которых логические выражения содержат минимальное количество знаков логических операций, а логические переменные со своими отрицаниями входят наименьшее число раз.

На этапе разработки принципиальных схем необходим анализ приемлемости полученных минимальных форм выбранному элемент­ ному базису и конструктивно-технологическим особенностям построе­ ния схем.

Минимальное представление логических функций включает в себя задачи выбора логического базиса переключательных функций и задачи наиболее экономного представления функций в этом базисе. В настоящее время существенные результаты по минимизации логи­ ческих функций получены только для базиса переключательных функций И; ИЛИ; НЕ.

Известно несколько методов минимизации логических переклю­ чательных функций в указанном базисе переключательных аргументов: алгебраических преобразований; неопределенных коэффициентов; ми­ нимизирующих карт; Квайна — Мак — Класски; диаграмм Вейтча

и др.

Метод алгебраических преобразований, использующий свойства ранее рассмотренных аксиом булевой алгебры, неоднократно приме­ нялся при рассмотрении вопросов алгебры логики и будет применен в гл. 2 и 3. Рассмотрение остальных методов выходит за рамки данной работы (см. литературу).

С ростом числа аргументов логических функций сложность задачи минимизации возрастает (практически даже с использованием средств вычислительной техники можно минимизировать функции с числом аргументов не более 35). Поэтому удобней находить не минимальную форму, а ее представление в виде более простых функций, каждая из которых зависит от меньшего количества переменных и легче поддается

46

минимизации. Такое представление носит название функциональной декомпозиции и имеет вид:

F (Аъ А~2 , • • • > Лг) — фт {фт- 1 (^;n-l)> • • • >Ф1 (^l)> >

где ф,- — зависят от меньшего числа аргументов т.

Примером функциональной декомпозиции может быть представле­ ние функции F (Л) в виде разложения по г-му аргументу:

Логические переключательные функции, позволяющие применять по отношению к себе принцип суперпозиции, разделяют на функции

противоположных наборах аргументов противоположные значения

(«0» и «1»):

F (Лх, Л3, ... , А„)— F(A1, Ло, .... Л„);

4) линейные, т. е. функции при представлении которых в виде полинома в последнем не окажется членов, имеющих степень более

< F (А[, А'2, ..., А п!).

Применение принципа суперпозиции внутри каждого рассмотрен­ ного класса функций не изменяет их свойств.

На основе выше указанных свойств булевых функций формируется теорема о функциональной полноте набора булевых функций: для того чтобы система булевых функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы эта система содержала хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу «0», хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу «1», хотя бы одну несамодвойственную функцию, хотя бы одну нели­ нейную функцию и хотя бы одну немонотонную функцию.

Многие из переключательных функций относятся одновременно к нескольким классам, поэтому в функционально полную их систему может входить число функций меньшее пяти. В табл. 1.3 обобщены признаки принадлежности переключательных функций и логических элементов, их воспроизводящих, к рассмотренным классам функций (принадлежность функции ,к данному классу отмечена знаком «4_»; последняя колонка таблицы указывает на те функции, которые должны быть добавлены к анализируемой функции для получения ее функ­ циональной полноты).

47

Пример 1. Определить логические выражения, необходимые для описания схемы, показанной на рис. 1.9; а.

Задавая переменные А, В, С, D на входах схемы, можно определить функцию F. Функция F зависит от 24 = 16 соче­

таний входных переменных; запишем ее в виде;

F — сс - f р - f у - f 8,

где функции а, (5, у и 6 можно опреде­ лить прямо по схеме. Действительно, функции 6 и а соответственно есть логи­ ческие произведения переменных С-D и А -С-D, функция Р есть дополнение логи­

ческой суммы (А + С + В), а функция у есть логическое произведение А и допол­ нение логического произведения C-D.

Таким образом,

F = A - C- D + A + Б + С - f

+ Л ( с 7 о ) + C - D = A - C - D +

+ А + С + В + А (СТО) + С ■D.

Пример 2. Можно ли для получения функции F = f-(A, В, С, D) построить

структурную схему, отличную от схемы, показанной на рис. 1.9, б и содержащую меньшее количество переключательных элементов?

Преобразуем функцию F, применив правило Де-Моргана для второго и третьего

членов функции;

F=A - C - D+A - B - C + A(C + D) + С • D = А (С -D + С + D) + А ■В ■С + С ■D.

48

Так как C-D + С + D = 1 (C-D + (С + D) = C-D + C-D) == 1, то функ­ ция F принимает вид:

f = a -\ + a -b -c + c -b = a a -a -b -c + c -d = a + a (b -c ) + c -d .

На основе теоремы упрощения можно записать, что

F = A + B - C + C-D.

Таким образом, получено более простое выражение переключательной функ­ ции F, которому соответствует схема, изображенная на рис. 1.9, б, здесь требуется

один логический элемент ИЛИ с тремя входами вместо четырех и на один инвертор и одну схему И меньше.

Метод кодирования двоичных и десятичных чисел в помехоустой­ чивый код «2 из 5» (табл. 1.4) находит применение для контроля пра­ вильности передачи в цепях связи (например, подсчетом единиц в ка-

ждом разряде). С позиций алгебры логики каждая выходная функция А, В, С, D, Е есть функция от четырех входных переменных а, Ь, с, d. Каждая из функций А, В, С, D, Е только четыре раза из десяти комбинаций принимает значение «1». Поэтому

А = abed -f abed + abed -f- abed; В — abed + a.bcd + abed + abed;

C = abed + abed -j- abed + abed;'

D — abed + abed -f a bed + abed',

E —abed -f- abed -f abed + abed.

Эти выражения можно упростить, применив ранее рассмотренные теоремы и аксиомы. В окончательном виде для функций кодирования чисел в коде «2 из 5» получают следующие выражения:

A = abcd -\- bed-f bed + bed;

В = abd + acd + ad',

C = be + cd + ad;

D = acd-\-bd-\-bc',

E = bcd-\-bcd-\-a.

49