книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

Д о к а з а т е л ь с т в о . Гомоморфизм

Н* (В Spin0; Z2)->-B* (В Spin; Z2)

гомоморфизма. Непосредственный подсчет размерностей дает

спектр, используемый в реализации отображения Tf для спектра Т В Spin. Имеет место диаграмма

ТВ Spin —-?-+■ Т В Spin0

Tf I j Tf

В О ----- -----^ BU

где h — произведение указанных выше отображений h и отобра­ жений отмеченной точки в точку сомножителей В U (An (I),. . ., оо), в которых последовательность I содержит 1. Эта диаграмма, конечно, не является коммутативной, однако имеет место следую­ щая

H (Н* ( ; Z 2); Q0 ) переводит эту диаграмму в коммутативную диаграмму групп.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно рассмотреть каждое сла­

=4piU, где класс <@l делится на класс (pi, который отображается

внуль группы H* (В Spin;Z2). Отображение h для этого сомно­ жителя является отображением в точку, так что класс Іі*{хіп^г)) также равен нулю.

2)Последовательность / не содержит единиц, и число п{1)

“г Sq3Sq1aI)U. Далее, в группе II* (TB Spin0; Z2) для каждого

■addridzSq1 -'\-d2Sq3, такого, что (V* — 0, элемент a{Sq3SqlaIU)Ç,

ÇkerÇo принадлежит идеалу, порожденному нечетномерными классами и>; (так как Sq1a1 принадлежит этому идеалу). Таким образом, элемент a {Sq3Sql ocjt/) является нулем в группе

Я {Я * {ТВ Spin0; Z2); Qo), и, следовательно, гомоморфизмы (Tf)*h* и {Ti)*{Tf)* индуцируют один и тот же гомоморфизм в (}0-гомо- логиях. ■

Это доказывает, что гомоморфизм {Tf)* индуцирует изомор­

+ Sq2Qо, то можно положить а 2й = %{Sq2h). Далее, %{Sql) U = = я* (Ѵі) U, где Ѵі — класс By. Таким образом, в случае необхо­ димости можно положить ц2й = u2h, что совпадает с выбором соот­ ветствующих образующих при нервом вычислении группы Я (Я* {В Spinc; Z2); Qo).

Интересно и важно отметить, что в предыдущих вычислениях не использовался специальный выбор представителя класса a 2ft.

H {{x{d2M 2Sq3))*- RQ*) = g?Æ[g?|i>ll,

где Е обозначает внешнюю алгебру над Z2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно вспомогательной лемме 2, {RQiY (Ы = U-г- Так как (х (,d 2/ d 2Sq1 + J 2Sq3))* = Z2 [g;, g®, g,, ...], то ker (RQi)* = Z2 [gj, g®, g®, .. .] и im(i?Çj)* совпадает с идеалом,

ние в указанном виде. Обозначим через Р множество целых чисел, которые можно представить в таком виде.

Таким образом, группа Н (dz/JtzSg1 -\~-dzSq3; Çj) изоморфна Z2 в каждой размерности р из множества Р и является нулевой в остальных размерностях. Тогда существует класс ßp Ç {ЛДЛ^^Я1+

цией по і = deg Ѳ. В случае і = 0 утверждение леммы тривиально.

0 = Ѳ(а . Ь) = Ѳ(а)-Ь + 2 Ѳ ' ( д)'Ѳ"(Ь) + в - Ѳ(Ь) =

=(Ѳ (а )+ 2 [х (0 ')Ѳ ' (а)]).Ь + а.0(Ь) =

=ІХ(Ѳ) в]Ы-а-0(Ь).И

с уже проведенным вычислением (Д-гомологий и показывает, что гомоморфизм (Т/)* индуцирует изоморфизм групп (^-гомологий как в случае пространства ТВ Spinc, так н в случае пространства ТЕ Spin. Следовательно, лемма 2 доказана.*

Л о м м а 3. Пусть М — связная коалгебра над Z, с коединицей 1 Е М о, являющаяся левым модулем над Лъ, таким, что диаго­ нальное отображение М Л г ® М есть гомоморфизм Jh^-Mody- лей. Пустъ /: N -*■ М — отображение И ^-модулей, индуцирующее изоморфизм групп Qо- и Qi-гомологий, и пустъ либо

Тогда f является мономорфизмом, а сокет / является свободным

Л„-модулем.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть л: М -*■ МІЛ%М — канони­ ческая проекция. Обозначим через Т подгруппу в /^пространст­

ве М , изоморфно отображающуюся при л в дополнительное сла­

ется изоморфизмом, так как обе группы нулевые. Предположим

коэффициент при аа в выражении для аа не равен 0).

элементов уп, xn+z. Применяя операцию Sq1к этому равенству, получаем e{SqHn) = 0, и тогда, как в случае d), tn —0.

g) е — мономорфизм на группе SqbSqx ® Тп.

Если е (Q0QiSq2tn) = 0, то элемент e(Q0Sq2tn) является Qt- циклом, и поэтому e{Q0Sq2tn) = e(xn+3+Sq2yn+l+Qi(y'n+ t’n)). При­

тельно, изоморфизмом. Индукцией по п получаем тогда, что е является изоморфизАіом. g

Суммируя результаты лемм 1, 2 и 3, получаем доказательство основной теоремы Андерсона, Брауна и Петерсона, ц

Как и можно было надеяться, после такой большой работы задача вычисления кобордизлюв становится нетрудной.

Имеют Аіесто, конечно, изоморфизмы

Q®pm ^ Ііш лп+г {ТВ Spinr, оо)

Г->со

И

Qs/ m æ Нш пп+г (TBSpirir, оо).

Г—Уоо

Пр е д л о ж е н ы е. Группы Q®pin и Q®^inC являются конечно порожденными. Кроме того, отображения

л: В Spin - у-BSO

и

л': В Spin0 -+■ BSO X К (Z, 2)

являются нечетно-примарными гомотопическими эквивалентно­ стями и индуцируют нечетно-примарные гомотопические эквива­ лентности соответствующих пространств Тома. Таким образом, имеют место изоморфизмы

Qlpin® z [ { ] a ä Q f ® Z [ | ]

и

ßfpinC ®Z [ 4 ] s ß*° (K (Z, 2)) ® Z [ 4 ] -

В частности, подгруппы элементов конечного порядка в Q®pin и Q®pin являются 2-примарными.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Spin- и Зріпс-расслоения имеют естественную ориентацию в целочисленных когомологиях, то доказательство всех утверждений проводится стандартными методами с использованием изоморфизма Тома и того факта, что гомоморфизмы л* и л*' являются изоморфизмами в рациональ­ ных и Zp-когомологиях (р — нечетное число). |

Обратимся к исследованию 2-примарной структуры. Имеют место 2-примарные гомотопические эквивалентности

и что л 2 і {BU) Z, л 2і+і {BU) SË 0. Следовательно, имеет место

Т е о р е м а . Все элементы конечного порядка в группах й®рш

и 0 ? ’“ имеют порядок 2.

Основной структурной теоремой является следующая

Т е о р е м а . Два Spin-многообразия кобордантны тогда и толь­ ко тогда, когда они имеют одинаковые КО- и И2-когомологические характеристические числа.

Два Бріпс-многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые рациональные и Ж2-когомологические характеристические числа.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а Ç й®рш — элемент, все КО- 'S. 2 2-когомологические характеристические числа которого равны

нулю. Тогда {Tf X g)* (а) = 0 в группе л* (ВОх Д к (Z2, dim zt)). Так как гомоморфизм {Tf X g)* является изоморфизмом по моду­ лю нечетного кручения, то а имеет конечный нечетный порядок, а так как подгруппа элементов конечного порядка в группе й |р1п

являемся 2-примарной, то а = 0.

л

Пусть а £ QSpin — элемент, все рациональные и Ж2-когомо- логические характеристические числа которого равны нулю. Тогда а является элементом конечного порядка, и гомоморфизм в гомотопических группах, индуцированный отображением g:

Т В S p i n 0 -V ДК (Z2, dim z’f), переводит а в нуль. Так как гомо-

морфизм g* индуцирует изоморфизм конечных подгрупп, то а = = 0. ■

П р е д л о ж е ни е. Пустъ М и М' — два Spin-многообразия,

для некоторого g £ яД(?). Рассмотрим отображение р: Т В S p i n ->-

чению характеристического числа, определенного характеристи­ ческим классом р многообразия М — М '.

Далее, кольцо когомологий mod 2 пространства G является свободным Л 2-модулем (следовательно, свободным ^-модулем с нулевыми Çj-гомологиями, і = 0, 1), а кольцо рациональных когомологий его является нулевым, так как пространство G 2-примарно гомотопически эквивалентно произведению спектров К (Z2). Таким образом, в стабильной области размерностей п про­ странство Gn удовлетворяет всем условиям, использованным при вычислении фильтрации расслоений на В SO. Следовательно,

каждый класс из группы КО* {Gn) имеет фильтрацию не мень­ ше 2гг. Таким образом, р^і* [g] = 0, что доказывает предложе­ ние. ■

Для дальнейшего описания структуры группы Q|P‘n необхо­ димо более детально проанализировать гомотопические группы

пространства ВО X Ц К (Z2, dim zt). Из таблицы групп я* {ВО) можно сделать следующие заключения.

Для каждой последовательности J, не содержащей единиц, такой, что число п (/) четно, существует Spin-многообразие Mj размерности Ап (/), представляющее элемент бесконечного поряд­

ка в группе У которого число Яд|.Mj] нечетно (как мно­ житель при образующем группы КО* (pt)), а все другие КО-ха- рактеристические числа равны нулю (и все числа zt [M j] также равны нулю). Применяя гомоморфизм камплексификации и харак­

Для каждой последовательности / , где п (/) — нечетное число, не содержащей единиц, существуют Spin-многообразия Nj раз­ мерности Ап (/) — 2 и Mj размерности 4/г (/), такие, что iVj

имеет порядок 2, M j имеет бесконечный порядок и числа HR[./VJ ]