книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

Вернемся

теперь

к

доказательству

предложения. Пусть

t = (h,

i j > 1, n(I) =

l(mod 2). Допустим,

что

p<, ( f r) =

= 2p(?(a;). Тогда ^ j = 2a: + a,

где

a — элемент конечного

порядка,

и, следовательно,

a = öß.

Из

этого

следует, что wti = PziWi) ~

= p2(a) = Sg1ß.

Так

как

v2i = w2і

по

модулю разложимых эле­

ментов,

то можно записать

V 2 l = W Z i + / ( ^ 2 / 0 +

2 W j C j ,

j н е ч е т н о

Я<2г

где / — полином

от четномерных

классов

w2n, 2А :<2\

Тогда

vli = wli + f(w lh)+

S

Sq1 (wj-iwicl)-

j н е ч е т н о

3<21

Таким

образом, кольцо Z2 [w^h \ к Ф

1] мономорфно

отображается

в кольцо H (Н* (В Spin; Z2); Ç0), и поэтому ве может

выполняться

соотношение «;|J = 5g1ß. Следовательно,

р ^ ^ Д )^ 2р<г(а;) и элемент

л£(у) имеет фильтрацию 4п(І) — 2. ■

З а м е ч а н и е .

Последовательности

I,

содержащие

единицы,

не рассматриваются,

так

как

класс

приводится но модулю 2

Лемма .

Н (Н* (В Spin0; Z2); Q0) = 7L2 [w\., v2i | j не

является

степенью

числа 2,

і ^ І ] .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

H* (ßSpinc; Z2) = Z2[wzj, QüW2j,v2i\, где

QoV2i = 0.

Применяя теорему Кюннета к кольцу Z2 [w2j, Qüw2j] CE)

® і -2 [ѵ2і},

получаем доказательство утверждения. ■

С л е д с т в и е .

Все

элементы

конечного порядка

в группе

Н* (ВSpin0; Z) имеют порядок 2.

З а м е ч а н и е .

f2 = w

2

= P2

£Pi и кольцо Z2 [р2£рг] мономорфно

отображается

в кольцо H (H* (В Spinc; Z2); Q0).

Теперь можно доказать такую лемму:

Лемма . Пусть £ есть

п-мерное векторное расслоение над

клеточным комплексом X

и

U Ç KGn (ТВ) — его ориентация. Эле­

мент aÇjKG* (X)

имеет

фильтрацию к тогда и только тогда,

когда элемент я* (a) U —Фи (а) имеет фильтрацию п-\-к.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как ограничение расслоения £

на клетки комплекса X

является

тривиальным расслоением, то

З а м е ч а н и е . Вводя спектр

ВО

(к, . . ., оо), у которого

(ВО (к, . . ., оо))8п= В 0 (8п + к,

. . .,

оо) и промежуточные про­

ется в следующей теореме:

Те о р е ма . Гомоморфизмы

(Tf)*:

(

ф

(Jl-2IJi2Scf) Х/,п(І)-2) Ѳ

n(I) нечетно

®( ®

(Si/dizScj1-f- d:2Sq2) ^іщі))

B* (TB Spin ; Z2) ,

n(J) четно

где I — последовательности c ij > 1, и

(Tf)*: Ф

+ Jt2Sq3) *4„(D “*■H* (T B SPinC; Z8)

суть

мономорфизмы,

коядра которых

являются

свободными

Л 2-модулями.В частности, существуют классы z; ÇЙ * ( Т

В S p i n ; Z 2)

u z-6Я* (ТВ S p i n 0 ;

Z2),

определяющие отображения g в произ­

ведения спектров К ( Z 2),

так что отображения

Tf X g: Т В S p i n

-э-

П

ВО (An (I) — 2, . . . ,

оо) X

п ( І ) н е ч е т н о

X

П

ВО (4/Z (Л ,

. . . ,

оо) X

(z 2, deg Z;)

n ( I )

ч е т н о

i

U

T f X

g: T B Spinc ->-[]Bl7(4?z(/),

. . . ,

оо) X П K ( l 2, degz-)

I

І

имепт чдра,

в

точности изоморфные левым Л2-модулям

JzSq1 ф Л - ß c f

и Л

zSq1 0 Л 2Sq2 соответственно.

чим через

6 ( ^ *)2fc_i элемент, двойственный относительно бази­

са {Sq1},

где / — допустимые последовательности, элементу

В алгебре Стинрода Л 2 существует также «канонический анти­

автоморфизм» %, который задается следующим образом: %(1) =

1,

и

если А.Х =

X (g) 1 + У] xi

(gi x\ + 1 (g x,

то

%(x) = x

-f

S X ( x 'i) x "i•

І

+

В

частности,

2 X (Хдг_0

= О-

[Заметим, что

X (Qi) — Qu так

і=о

алгебр Хопфа

как X является изоморфизмом

п / / л ! л г\

« Л

(LQo)*+(LQO*» A t ® А '\

где

/ — допустимая последовательность

степени

2к— 1.

Тогда

{LSql)*Çt„)(SqI)=lk(SqlSqI)= a{2h-i"

1)? но Sq1Sqlx = а (2ь-і.....

и

Sq'lSqIx =

О,

за

исключением

случая

/ =

(2й-2,

. . . , 1)

и і = 2к~1. Я

если

так как должно

Таким образом, (LSq1)* (£h) = 0,

к ф і ,

выполняться равенство (2ft-1— 1 + 1) = 2h— 1,

и (LSq2Sq1)* (|й) =

= (LSq1)* (LSq2)* (£й) = 0,

если

к ф 2 ,

в

то

время

как

(ОД*(Ёі) = 1,

(W )*(Sa) = li,.

так

что

(LSq1)* (LSq2)* (l2) = 1.

Далее, (LSq3)* (t,h) = 0 для

всех к. Таким

образом,

(LQo)*&k) =

0,

если

к ф і ,

и

1,

если

к — 1,

( 0,

если

к Ф 2,

если

* = 2.

Так как гомоморфизмы (LQ0)* и (LQi)* являются дифферен­

цированиями,

то

очевидно, что

кольцо ker (LQ0)* f|

ker (LQi)*

изоморфно кольцу Z2 [Ê'i, Ê2 1 Ёзі

• •

Таким образом,

коалгебра

A j A ß q 1 + A ß q 3 = A 2l A 2Qo +

AzQi

является

двойственной

кольцу

полиномов

от

образующих

£*,

| 3, . . . .

По

двойственности,

коалгебра

A j A ß q 1 +

A 2Sq3 имеет сле­

дующие ненулевые примитивные элементы:

Sq2, SqiSq2 +

Sq2Sq*

и

Qt для

i >

2.

І = 1

S j—

-f- S j-2a2— . . . + ( — 1);_1‘^ісгм + ( — l)3 JOj = 0,

где j

^ n

и

crft есть k-я элементарная симметрическая функция

от

Таким

образом, Sj == (—І)І+1І<У} по модулю разложимых

элементов

(см. Ван-дер-Варден, т. I, § 26).]

= bSqx, но ввиду точности

последовательности d z

—

>d z — —*

-t-dz/doSq1 тогда a + cSq1 = d-Sq2 и, следовательно,

a = c-Sq1-ir

ud-Sq2t d 2Sql + J 2Sq%. ■

необходимо вычислить

вид модулей

Для дальнейших целей

Sijl+So2

dzSq2—*0

d z ® d z ----- d 2 dzldz^q1

и

So3

d z ----*■d 2 -►d ZId ZSq3 —>■0

и определяемые ими точные последовательности

0 (Х (dzIdzSq1 d d z S q “))*

(bSgl)*+(LSgü)* Л* m л*

L / P

g ЧІУ «/• «Î

и

d t ---------------- ►

0 -> (% (dz/dzSq3))* — Ad \

d*.

0,

если

к Ф 1,

(LSq1)*(h) = 1,

если

к = 1,

( О,

если

/с:

что (x (d 2/A 2Sq1-{-d 2Sq2))* гэ Z2 [£?, ь2Лз,

• • •]

А

и,

следова­

тельно, (x (d 2/ d 2Sq3))* А.

Кольцо

d *

является

свободным

^-модулем с базисом ЦЦ,

где 0 < г< 3 ,

0 < / <

1,

причем

(LSq1)* (%\Ц) = Ц - %

и (LSq*)* {Ц%) = №+* + (

‘ )

так что

а

( L S < D * a

( L S q Z ) * a

( L S q * S q i ) * a

1

0

Û

0

ь

1

0

0

ш

0

1

0

г \

Ê ï

11

1

h

0

11

1

i i h

Ь2

i ï

0

H Î 2

0

i ï

+ І :

a

Ш г

1 1 1 ;

І І + Ы *

І2

Л е м м а 2. Гомоморфизм

(Tf)* индуцирует изоморфизмы

групп гомологий Н ( ; Qt), г =

0, 1.

пространствам операторы Qa и

индуцируют на d t правое дей­

ствие [(а£<7 г) (Я) = a (kSq1), где

а £ d%, Я 6 d 2h заданное как

RQi)*.

В с п о м о г а т е л ь н а я

л е м м а 1. (Л£д)* (Е/,) = £/< + £а- і -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

{RSqx)* (Ей) {SqJ) = Eh {Sq^q') =

==a(2 h- 1,.. i)> где SqISql =

2 <XjSqJ, но элемент а (2ь-і.......і)Х2* =

когда он равен х2

. Таким образом,

(RSq1)* (Еа) = 0, если

і > 1 ,

и (RSq1)* (Eh) (Sq1) = 0, если

только

І Ф ( 2Ä_1, .. ., 2).

Далее,

?ft_i {‘SQ1) — (LSq1)* (Ці_ і) = 0, если в последовательность

/

входит

нечетное число,

и элемент

(LSq21')* (^\_ Д равен

элементу

Таким образом, (RSq1)* (Eh) = і%_ѵ ■

(RQo)* (іа) =

В с п о м о г а т е л ь н а я

л е м м а 2.

Ij^j,

(Д(М*(Ы = ^ _ 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое равенство

следует из

того,

что (RQ0)*^(R Sq1)*. Так

как (RSq2)* (Eh) = 0, то (ДДД* (Eh) =

В с п о м о г а т е л ь н а я л е м м а 3.

Я ((% (A2/J2Sq1+ JzS q 3))*-,

RQÏ) = 2 2 [SJ],

H ((x (d 2 /^2 S q 4

J 2Sq2))*;

ÂÇ*) = Z2[iî],

Я ((XW

4 2Sq*))*- RQl) = Eî • Z2 [Eî ].

Д о к а з а т е л ь с т в о . (х(42ІdzSq1 + d 2Sq3) ) * = ^ 2 [Ц, ЩЛз> •••]

и (Я<?о)*(^) = (й<?о)*(Е|) = 0.

в то время как

(RQ0)* (Іь) = Щ_ ,

для fc>3. Таким образом, ker (RQ0)* = Z2 [ЕД ЕД

• • -Ь и группа

іт(Д<2о)* является'идеалом, порожденным кольцом Z2 [Е|, ЕД • ■

Рассмотрим кольцо (х (ЛгІЛг^Ч1 + <42Sq2))* = Z2 [Е?, ЕДІз, • • ■]•

Здесь кег (Я(?0)* == Z2 [EÎ, i j , Ёз ! •••] и

im (RQ0)*

является идеа­

лом, порожденным кольцом Z2 [ЕД Щ,

Имеем {% Ш Л £ф ))* = 1-г[Ъ\, Е|, Із, ■■■] {U Іі, Ц, |? +

la, Ш .

где (RQ0)* (1 ) = 0

, (RQo)* (Іі) = 1, (RQo)* (I?) = 0, (RQo)* (Ê? +

la) = 0,

(Л<?о)* (Іііг) = I?-f laТогда пусть

a = a + ßEi+ ï l ? + 6 (Ef+I2 ) +

+ еЕіЕгИмеем

(RQo)* (a) = (RQo)* a + [(RQ0)* ß] Ei +

[{RQo)* ѴІI? +

+

[{RQo)* ô] (Ц + 6 2 ) +

l(RQo)* e] (lila) + ß+ e (E? + la)-

Следовательно,

aÇker(jRÇo)* тогда и

только тогда,

когда

$ = (RQo)* а, {RQo)* ß = 0 , {RQo)* Y = 0

, (RQo)*ö = s,

(ЯД0)*е = 0 ,

НО

(RQo)* [c& -I- 0 Ш = {(RQoT «I Іі +

[(Д<?оГ à] ( Ш + а + ÔЩ + 12) =

— а + ß^i -f- 6

+ ^2 ) +

если а 6 ker (BÇ0)*. Таким образом, ker (RQ0)*/іт (RQ0)* —

= (ker (RQo)* Ц /іт (RQ0)* Ц) -Щ- ■

Итак, группа H ((Л21Лг^Чх Ф<Аг&Чъ)\ Qo) изоморфна группе Z2

в каждой четной размерности и

является нулевой в каждой

нечетной

размерности.

Это определяет класс a.zn ^ ( d zJJ-zSqXj[-

<ß(?)-äi, такой, что

Qüazh = 0 и

%(a2h) принимает значение 1

на Щк.

Ясно,

что элемент

ѵ(а2ь)бЯ* (ТВ Spinc; Z2) принадлежит

и QoU2k = 0, поскольку Q0U = 0.

[Так как Q0U = Q\U = 0, то изо­

морфизм Тома индуцирует изоморфизм групп Çi-гомологий.]

У т в е р ж д е н и е . Если, к = 2s, то элемент uZh неразложим.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно записать %(а2и) = 2 o.jSqJ, где

J — допустимая последовательность

и

элемент ('5]cijSqJ) прини­

мает

значение 1

на

но

%fk ( 2

o-jSqJ) xih = (Jj djSqJ) (z2h)

и SqJx2k= 0, если J Ф(2к), так как

к является степенью числа 2.

Таким

образом,

%(о^и) = Sq2h+

S

uj.SqJ' == 5#2,!-j- (разложимые

элемент SqlU

— wt (2S+1A.) U равен нулю для і ф 2t+1 и Sq2S+lU ф

ф 0, так что

для этого расслоения a 2hU — w2hU. Так как все

ем расслоения 2S+1À, то класс иг^ неразложим. ■

u2$\j не

Таким

образом,

Я* (В Spin0; Z2) = Z2 [w^, QoWZj,

является

степенью

числа 2, s> -l], где ÇoU2s = 0, и,

следова­

тельно, Я (Я* {В Spin0; Z2); Qo) — Т-г \w\p и2«1- Далее>

класс

Z2 [^і]

мономорфно

отображается в

кольцо

Ço-гомологий

(класс

(p2s переходит

в (н2* + разложимые элементы)2), так что

кольцо

Я (Я* (В Spin0; Z2); Qo) является

свободным

Z2 [(?г]-моду-

Введем

частичное упорядочение в базисе {n*(ffUS)t^} группы

Я (Я* (ТВ

Spin0; Z2); Q0), считая, что я* (g>,us) U < я* (<(?i>us>) U,

У т в е р ж д е н и е .

(Tf)* (a2k <g> xlin{1)) =

я* (fpis) U 4-

(tPi'Us’) U, где dim Г >

dim I и S = (2S1, . . .,

2s") является

2 а'я* (<tpj)a"U с deg а ' > 0 , где каждое

слагаемое а'я* (§>7) a"U

имеет в разложении по базису группы

Н* (ТВ Spin0; Z 2) боль­

ший квадратный множитель. Таким образом, можно записать

2 а'я* (4?j) a U = 2 я* (^i»us»)• Ü + Q0VU.

члена

обязательно dim Г > dim 7.

Таким образом, достаточно рассмотреть только элемент a^kU,

а так как для степени

2/с каждое

слагаемое вида я* (tÿi'Us’) U

имеет

квадратный член

больший,

чем

у

слагаемого

я* (us) U,

то достаточно доказать,

что коэффициент

при я* (us) U не равен

нулю.

отображение v :J i2jJl:2Sqx-'r J:2Sq2->

Для этого заметим,

что

->-77* (ТВ Spin0; Z2) является

гомоморфизмом коалгебр,

индуци­

рующим гомоморфизм коалгебр Н ( ; Qo).

Двойственной к фор­

муле

умножения

является

формула

А(а2и) —

член (u2S1 ® ..

<&u2Sn)U, и,

следовательно, коэффициент

при

я* (us) U в V (а2!і) не

равен нулю. ■

Это доказывает,

что

гомоморфизм (Tf)* индуцирует изомор­

физм групп Н (

; Qo)

в

случае пространства ГБ Spin0. В случае

пространства ТВ Spin

можно

теперь несколько упростить

дока­

зательство.