книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

построенные выше классы

ориентации.

П р е д л о ж е н и е .

Пустъ %— некоторое Spin

{или

Spin0)-pacoioeKne над пространством X и U (!) Ç КО* (71!)

(или

Пустъ Фд : Н * (ТѢ; (Q. ) —>- Н * (X;

C l) — гомоморфизм,

обратный

к изоморфизму Тома,

определенному стандартной ориентацией

в когомологиях, связанной с SO-структурой

расслоения

Тогда

a) Фд

(ch (ф£7 (!))) = Â (—£)

для Spin-расслоения !, где ф —

обычный

гомоморфизм

комплексйфикации КО* — К* ;

B) Фя

(ch (U (!))) = есіІеѴ2 . ^ 4

(—£)

рля

Spinс-расслоения !,

где С) (t)

Ç Н'г {Х\ Z) — целочисленный класс когомологий, сущест­

вующий

ввиду Брілс-структуры, приведение которого по модулю 2

есть класс и\ (!).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ввиду стабильности и естественности

классов

ориентации

классы

Фд-1(ch (ф£7 (!)))

и

Фд1 (ch U (!))

являются образами элементов из H* (В Spin;

Cl) и Н* {В Spin0; Q,}

соответственно.

Вложениям групп f/Ä->- Spinfh и SU k

Spin2^ соответствуют

отображения

классифицирующих

пространств

U BZ7-ѵ В Spin0

и и: BSU

В Spin.

[Заметим,

что

естественное

отображение

В SU

ВSO поднимается до отображения

в

В Spin,

так как

пространство

В SU является

3-связным; отображение

t'\ BU ->-

Для S £7-расслоения

£ имеет место формула Фд1 (ch ф£/ (£)) =

= З1(—£), точно такая

же, как и для комплексного расслоения.

левую

гомотопическую

группу.

Тогда

то

гомоморфизм

/*:

a)

если

к =

0,

1,

2,

4 (mod 8),

Нг (К (лк (ВО), к);

Zo) —*- Н г (ВО (к,

. . ., оо);

Z2)

является

эпи­

морфизмом

для

і <

2к,

и

в

этих ■ размерностях

группы

Н * (ВО (к,

. .

оо); Z2) изоморфны

группам

1)

(cA2/.d2Sq1 + c42Sq2)f*(ih),

/с =

0 (mod 8),

2)

( d 2/ J 2Sq2) /* (ift),

к s

1 (mod8),

3)

( J z / d z S q 3) } * ( і и ) ,

к Ï B

2 (mod8),

4)

(J:2/J;2Sq1A-cé2Sqi)f*(ih),

/с =

4 (mod 8);

g*:

b) если

к —

четное

число,

то

гомоморфизм

H 1(К (nh (BU), к);

Z2)

H 1(BU (k,

. . ., oo);

Z2)

является эпи-

морфизмом

для

і <

2к,

и

в

этих

размерностях

группа

H* (ВU (к,

. . .,оо);

Z2)

изоморфна

группе

(AdJk-ßq2 +

положим, что утверждение Р (/)

верно, и попытаемся вывести

из него утверждение P (j + 1).

Рассмотрим расслоения

ВО (к-f-1, ...,

оо) —*ВО(к, ..., оо ) —>К (nh(BO), к),

BU ( & + 1 , . . . ,

o o )-^B U (к, . . . , оо) —>К (яь (BU), к).

Спектральные последовательности

этих расслоений дают точные

последовательности

. . . - * я ; д о + 1 , . . . , о о ) ) Л

я і+1(X (nk (X), к)) -> Я і+1 (X (fe,... , ОО)) _> ... ,

...~ * H U { X (k + 1

,

оо) ) Л

—

Я 2Ь+1 (X (Ял(X), к))

Я 2,!+1 (Х(к,

ОО)),

в которых т: Я 1(X (& + 1. . .

оо))

Я і+1 (X (я*

(X), /с)) явля­

ется гомоморфизмом

трансгрессии.

оо)) =

=

По индуктивному предположению Я* (X (к + 1, . .

(А 2Ші)-Хі

в

размерностях,

меньших

2 (Я

1)

и к +

1 -j- /,

где

I; ( Я 1(X

(fc + 1,

. .

оо)) — ненулевой

класс

наименьшей

положительной

размерности

и

— соответствующий

идеал.

Трансгрессия

т является гомоморфизмом ^-модулей, и поэтому

О

Лгійі Л

Я* (X (яА(X), Л))

А г!&к

О,

где xxt =

<(l)-ift, так

как тогда из точности последовательности

соответствующей последовательности.

Л е м м а.

Гомоморфизм

т: Я 2І+2 (BU (21 + 1, . . .,

оо)) ->-

—VЯ 2^ 3 (X (Z, 21))

переводит хгМ

в Sq31 2(.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

образующим

группы

Я 21+3 (X (Z, 21)) =

Z2 является £д3ігг, то достаточно показать,

что та2г+2 =7^ 0. Согласно периодичности,

Q2l~*BU (2£ +

1, . . .

. . ., оо) = BU (5, . . ., оо), поэтому в свою очередь достаточно

показать, что та6 =

Sq3i,t в расслоении BU (5, . . ., оо)

BSU =

= BU (4, . . .,

оо)

X (Z, 4), так как гомоморфизм в когомоло­

ненулевым

элементом

группы Я 7 (BSU), но, как известно,

Я 7 (BSU) =

0, поэтому

xxß = Sq31 4. ■

[Допустим от противного, что я'* (Sg2Sgh5) =

0;

тогда

гомо­

морфизм т: Я ? (BSp (6, . .

оо))

Я 8 (К ( Z 2, 5))

=

Z 2 ф

Z 2

яв­

ляется изоморфизмом, так

как

я'* (Sq2Sq1і5) =

я'*

(Sq3ib) = 0.

Следовательно, отображение BSp (6, . . ., оо)

К ( Z 2, 6),

реа­

когомологий, и поэтому я 7

(BSp) -ф 0. Мы пришли к противоре­

чию, так как по теореме

Ботта я7 (BSp) = 0.]

У т в е р ж д е н и е .

Sq2r . . . S q ^ i = f 2 i-i+1

+ (разложи­

мые элементы).

[Для доказательства

рассмотрим отображение

а: ВО -*■ BSp,

= (Sq

«г-2

■■. Sq1w2)i = (ил,г-і+1 -j- разложимые элементы)4, что дает

разложимость класса Sqz . . . S q ^ l — ^ 2 г_1+і •]

оо)). Для дальней­

Теперь можно вычислить Я* (BSp (6, . . ,s

H *(BSp(5,

... , оо)) = Жа[5д7я5| / =

= (0),(1),(2\..., 4), (2\ - --, 2, 1)]

и

Я* (К (Z2,

5)) = Z2 [<SgrL5 I / — допустимые

последовательности,

е(7)<5],

Sq3Sq1x8, Sq5x6, Sq4Sq2x0, SqeSq1xe, SqiSq2Sq1xe],

Рассмотрим

теперь

расслоение

BSp (8, ... , оо)—-—^

—y BS p (6,

... ,

7l"

oo)----- >K(I_2,6). TâK как образующим группы

H a(BSp(6,

. ..,

oo)) ^ Z2 является Sq2xe и так как f* (Sq2xe) = О,

то хх8ф 0 . Таким образом,

хх8 = Sqhe и,

следовательно, с = 1.

Теперь можно вычислить группы Hq (BSp (8, . . ., оо)) в ма­

Рассмотрим

теперь расслоение

BSp (12, . . . ,

•jw

oo)-----

Я'"

Так

как образующим

группы

-+-BSp(8, . . . , o o ) ----- >K{Z, 8).

H12 (BSp(8, .. . ,

o o ))^Z 2 является Sqix8 и так как im* (Sqix8) = 0,

то ххі2ф 0 . Таким образом, xxl2 = Sq6i8 и, следовательно,

е — і. и

Для завершения доказательства предложения осталось только

доказать следующую лемму:

Лемма. Последовательности

S a з

S a 3

■А2/А 2,Sql --->A A A 2S(£----> AAAzSq1

S q '

•A2 ----- >AAAyS q1

S q 2

S q b

Sg3

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

A 2czJè’

2—-подалгебра алгебры

Хопфа, порожденная операциями

Sq1 и Sq3. В

Ж содержится

8 элементов

1, Sq\ Sq*, Sq2Sq1, Sq^Sq'Sq*,

Sq3Sq\

Sq3

Sq*Sq\ Sq*SqK

Рассмотрим последовательности

Sfl3

§o3

Jl'2IJk2Sqx------*■Jt'JJl'zSq1----->Л'2ІЛ'2Sq1

и

Ж ■S<1 ■>Ж /Ж ^З1

S q 2

S q b - \ - S q l S q l

Ж <—— d'JJ- 'ßq1

^'-модулем и коалгеброй,

коумножение в которой есть гомомор­

физм

правых Ж-модулей.

Так как гомоморфизм ѵ: Ж

X

1- X является мономорфизмом, то по теореме Милнора — Мура

имеет

место изоморфизм

правых Ж~м°ДУлей Ж — & ® /2^ 2 -

С л е д с т в и е .

Пустъ \

есть п-мерное векторное расслоение

над X. Если существует класс ориентации

U (£) £ К п (Т|)

{или

U (I)

£ КОп (ТЕ)),

то

для некоторого

числа

т

стабильное

рас­

слоение

I ф т -1,

где 1 — одномерное

тривиальное расслоение,

допускает Spin0 (или

Spin)-структуру.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть п'

— такое

число,

что

п +

+ п'

— 87с. Положим

І' = Е 0 п' Л. Тогда

расслоение

имеет

класс

ориентации

U (Q ® і £ KG8h ((П )

Д S 11') = К&*

(Т\')

{G =

U или О). Пусть /: Г£'

ВG — представитель этого класса

ориентации. Так

как

пространство

является (87с — ^-связ­

ным,

то

существуют

поднятие /: Т^'

BG {8к, . . ., оо) отобра­

жения

/ и вложение

S8k =

Т (слой)

ТЪ,' ->- BG (87с, . . .,

с»),

представляющее образующий

группы

я 8/і (BG).

Класс

/* (х8!і)

является когомологическим классом ориентации U' £ H8'1(У |'; Z),

и поэтому расслоение

ориентируемо.

= О,

Если G — О, то Sq2U' = /* (Sqzx8h) = 0, поэтому w2 (£')

и, следовательно,

расслоение

допускает

Spin-структуру.

Пусть G = U; покажем, что существует целочисленный класс

V £ # 8h+2 (BU (87с,

. . ., оо)), приведение которого по модулю 2

BU (8к + 2, . .

o o )^ B U (87с, . .

оо) -► К (Z, Щ .

В когомологиях слоя существует элемент

£8/і+2 > который при

трансгрессии переходит в иеиулевой класс

порядка

2

группы

Н8к+3 {К (Е, 8к)\ Z).

Значит, группа H8k+2 (BU(8k,

. .. ,

оо); Е)

изоморфна

группе Z с

образующим

ѵ,

который

при

ограничении

на слой переходит в класс

2х8й+2 и

при­

веденный по

модулю 2 равен Sq2x8h. Таким образом, /* (ѵ) =

= л* (x)-U',

где X £ Я 2 (X;

Z) — класс,

приведение которого

туру.

в

З а м е ч а н и е . Класс

ориентации, определенный выбором

Spin0-

или Spin-структуры

в расслоении

может отличаться

вовании

у

векторных

расслоений

классов

ориентации в

KU-

и ZO-теориях.

О п р е д е л е н и е .

Говорят,

что

класс

х £ КО* (X )

(или

К* (X )) имеет фильтрацию ге, если для любого конечного комплек­

са Y

размерности маныпе

ге и любого

отображения /: Y

X

имеет место равенство /* (х)

= .

Если X — конечный клеточный комплекс, то класс х имеет

фильтрацию

ге

тогда и

только тогда, когда г* (х) = 0, где і:

Х п~г

X — вложение

(ге— 1)-мерного

остова

комплекса

X .

Кроме того, если /: X

BG — отображение, классифицирующее

класс

X ,

то X

имеет фильтрацию г е тогда

и только тогда, когда

отображение / поднимается до отображения

в BG (ге, . . .,

oà).

[Это

предполагает, что

х £ KG (X)

имеет

положительную филь­

трацию,

или,

более точно,

ограничение

класса

х на каждую

ние

/:

Y

X.

Пусть

g:

Y -v BGT(re,

. . ., oo), h: Y

BGS (m,

. . ., oo)

— такие отображения, что g* (yr — dimyr) =

= /*

(x),

h* (ys — dim ys) =

/*

(y).

k* ((y r — dim yT) ®

Элемент

/* (xy)

совпадает

с элементом

Пусть

р Ç BGr (п, . .

оо),

q Ç BGS (т, . .

оо) — отмеченные

точки.

Элемент

и = (уг — dim yr) ® (ys — dim ys)

тривиален

надпространством

BGr (п,

. . .,

оо) V

BGS (то,

. .

., оо)

=

=BGr (п, .. ., оо) X ql) PX B&S (т, • • •,

°°), так как (уг —dim уг)

=

= 0

над

р

и

(ys — dim ys) = 0

над

g.

Таким

образом,

и = 7* (у),

где

Â

Б(?г (я, . .

оо) X БА, (то, . . .,

оо)

У

=

=

Б(?г (н,

. .

оо)

Д 5<?s (то, . .

оо)

и и £ AG (F).

Пространство

F

является

(?г +

иг — 1)-связным

[H* (F; F )~ H * (B G r (n,

. .

оо); Б)

® FS*(BG ,{m ,

. . ., оо);

F)

ный по

формуле Ли (I) =

Xf (I — dim £), где и =

ДД ДР • Д ля

последовательности I

=

(ij,

. . .,

іГ) положим я^ (5)

= я]) ( £ ) . . .

. . .

(£). Тогда характеристический класс nrR (|)

имеет филь­

трацию

Т

[ 4гг (А,

если

п (I) =

0 (mod 2),

^("н(І)) =

j 4

„ ( / ) _ 2j

если

п (/) =

1 (mod 2),

где п (I)

— іі + . . .

+

іг, и характеристический класс яд (£) ® С

имеет фильтрацию

4п (/)

в кольце К (X ).

= £ргі (|) . . . <g>iT (£)

Если

характеристический класс

(£)

не равен нулю в группе

н 'іП{-І) (X; Cl)

и если при нечетном п (I)

класс <@>і (£) не делится на 2 в группе

рQA4n(/) (X; Z), TOO указан­

= p2 (gh (£)),

если

число n (I) нечетно, а поднятие

f: X

-»- BU (An (I),

. . .,

oo) можно выбрать таким, что /*

(ж/іП(і)) =

препятствий.

и

у Ç KG (У) — класс,

Пусть Y — некоторое пространство

имеющий фильтрацию п. Тогда если /:

Y

BG — отображение,

и

рассмотрим

поднятие

/:

У ВО (8к, . . .,

оо),

такое,

что

/* (у) = у,

где

у — универсальный класс.

Пусть

g:

S 8h —ь

ВО (8/г,

. . .,

со) — представитель образующего группы п8к(ВО);

тогда g* (xsh) =

i, g* (y)

=

I иg* (ch (y ® C)) = ch (g*y

<g> C) =

=

i, так что ch (y ® C)

=

x8k + (члены большей размерности).

Из результатов о Z2-i<oroMonorHHX пространства ВО (8к,

. . .,

оо)