книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

И

В = [Af4i]* + [C P (l)N ii^ M ii] -2 ([C P (i)f-[C P (2 )]) [ЛГ4і_а]я =

- 1 (8 [CP (l)]2 —8 [CP (2)]) [tf4,_2]s.

Из разложения очевидно, что А = В, где В задается как класс кобордпзмов комплексного многообразия, а А имеет все числа Чжэня, делящиеся на сь равными нулю. Так как [./Ѵ4І_2] являет­ ся нулем в ориентированных кобордизмах по модулю кручения, то В , очевидно, является классом у4І. щ

Из леммы Коннера и Ландвебера о том, что Ж?*-числа обна­

Так как образ кольца Q,fu в 0,° совпадает с кег д в размерностях вида 8к и совпадает с im д в размерностях вида 8к + 4, то, суммируя результаты этого параграфа, получаем следующую теорему:

ленных полиномов TL \уц] = B f0. Более того, группа im д отобра­ жается на 2B f0, кольцо кег д отображается на кольцо, порожден­ ное кольцами 2Bf° и Z [у4, у| { j і > 1], а кольцо отображает­ ся на кольцо, порожденное кольцами 2B f0 и Z [г/fj].

ГЛАВА XI

SPIN-КОБО РДИЗМЫ,

SPINc-KOBOPAH3Mbl

Среди теорий (В, /)-кобордизмов самые интересные примеры строятся на основе классических групп Ли. Наиболее трудными из успешно исследованных являются теории (В, /)-кобордпзмов, заданные группами Spin и Spin0. Группа Spin исторически воз­ никла при изучении групп Ли как односвязная накрывающая специальной ортогональной группы.

Чтобы оправдать изучение этих теорий, укажем здесь на дру­ гой подход к ним. Коротко говоря, классификационная задача теории Spin- и Эріпс-кобордизмов — это задача классификации кобордизмов многообразий, ориентируемых в КО*- и /Г*-теориях когомологий соответственно.

Первоисточниками по этому вопросу являются статья Атья, Ботта и Шапиро [1], в которой обсуждаются структурные группы, и статья Андерсона, Брауна и Петерсона [3], в которой вычислены теории кобордизмов.

Для начала вернемся к построению классов ориентаций в К- теории для комплексных расслоений. При построении классов ориентации векторное пространство A (C h) рассматривается как пространство представления унитарной группы Uk. Естественно возникает вопрос: можно ли найти еще большую группу, дейст­ вующую на пространствах С ,г и A (С Д одновременно, которая будет обладать всеми использованными при построении класса

где К = (Аь . . кр). Тогда T (eL) = 0, если L Ф I, и Т (е{) = = ej. Так как операции этого типа образуют базис пространства

З а м е ч а н и е . Утверждение с) может быть сформулировано также следующим образом: если ѵ и w ортогональны относительно вещественного скалярного умножения Re ( , ), то ф0фц, + фшфе =

=0.

Оп р е д е л е н и е . Пусть V — вещественное векторное про­ странство со скалярным умножением. Клиффордовой алгеброй

пространства V (обозначается Cliff (У)) называется пара (A, f), где А — вещественная алгебра с единицей и /: V А — линейное отображение, такое, что / (ѵ)2 = || и |[2 -1, причем для любой пары (В, g), обладающей этими свойствами, существует единственный

ственной с точностью до естественного изоморфизма. Если ѵи . . .

ф: Cliff (С'4) <S>(R,E -»-End (Л(СЙ)) определен и является гомоморфиз­

мом алгебр над С. Обе алгебры имеют размерность 22h над С, и поэтому достаточно показать, что ф является эпиморфизмом.

З а м е ч а н и е . Основным в этом результате является то, что он дает очень простой способ описания алгебры эндоморфизмов.

Алгебра Cliff (Сй) при этом описывается следующим образом:

П р е д л о ж е н и е . Отображение ф отождествляет алгебру Cliff (Сй) с вещественной подалгеброй алгебры End (Л (Сй)), обра­ зованной эндоморфизмами, коммутирующими с и.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как р, о ф0 = ф„ ° р (лемма 8

гл. IX), то эндоморфизмы из образа алгебры Cliff (Сй) коммути­ руют с р. Так как рі = —гр (лемма 3 гл. IX), то алгебра Cliff (Сл) совпадает с подалгеброй всех элементов из Cliff (Сй) ® С, образы которых являются эндоморфизмами, коммутирующими с р. I Теперь ясно, что большую часть построения ориентации в К-

теории можно осуществить, рассматривая группу Gc (или G), состоящую из элементов алгебры Cliff (Сй) ® С (или Cliff (С*4)), которые:

1) обратимы (т. е. являются автоморфизмами пространства

А(С'4));

2)удовлетворяют условию х*х — 1, где * — антилинейный

антиавтоморфизм алгебры Cliff (Сй) ® С, определенный сопря­ жением эндоморфизмов. Операция * является тогда, очевидно, антилинейным антиавтоморфизмом, который тождественно дейст­ вует на Сй с Cliff (Сй), так как (ф„)* = F% + F T = ф0. [Заме­ тим, что эндоморфизм ф (я) сохраняет скалярное произведение

Тогда для любого главного (?с-расслоеиия (или G-расслоеішя) можно образовать ассоциированное векторное расслоение со слоем A (Сй), разлагающееся на четное и нечетное слагаемые (п допускающее послойное отображение ц). Далее, необходимо

иметь векторное расслоение со слоем Сй или 01ЗІІ), каждый слой которого действует на А (Сл), так что определено отображение

ванное с главным С?с-расслоением (или G-расслоением) при помощи некоторого действия группы GC (или G) или их подгруппы на С1’.

Пусть g Е Gc; выясним, когда для вектора ѵ Е А2,1 можно найти вектор gu Е 512&, такой, что g ° ф„ — фй0 ° g. Так как g = ф (а;) для некоторого х Е Cliff ('Я2'1), то

ф И ° <Рѵ (У) = Фг» ° Ф (х) (У)

и, следовательно,

<pgv = ф {х) 0 фи 0 ф (^)_1 = ф (хих'х),

или

gv — X -и -а.’-1.

ствует на Сй, и для любого векторного расслоения, ассоциирован­ ного при помощи этого действия, может быть построена ориентация в А-теории.

Cliff (Ülh)), состоящая из обратимых элементов g, таких, что

1)gvg~l Е для всех и Е

2)g*g = 1, где » — аитилинейный антиавтоморфизм, продол­

жающий тождественное отображение пространства К1';

3) g — однородный элемент нулевой степени в Zg-градуировке. Проведенное выше исследование показывает, что Spinc-

иSpin-расслоения являются соответственно К*- и АО*-ориенти-

1)я — проекция расслоения со слоем СА. — Прим, перев.

руемыми. Шри ограничении на слой структурная группа расслое­ ния приводится к группам U или SU, для которых, как уже извест­ но, это построение дает образующие элементы соответствующих когомологий сфер.] Ориентация, очевидно, является мультипли­

кативной, так как Л (С ,г ф С г) ^ Л (С й) ® Л ( С г) и все конструк­ ции согласуются с этим разложением.

Чтобы связать наше определение с классическим, рассмотрим

группы SpinJr и Spinft с точки зрения теории групп.

Обозначим через Гд подгруппу обратимых элементов в алгебре-

Cliff (01й) (gi С (или Cliff (01й)), таких, что 1) хух~г £ 5lfe для всех у £ ІІЛ;

2)х*х = 1;

3)X является однородным элементом в Ж2-градуировке.

рованный базис пространства В1Й. Представим х в виде х — а -г

суждения с другими базисными элементами ej показывают, что х

томорфизм p (x) сохраняет норму и, следовательно, скалярное произведение. ■

Л е м м а 5. Гомоморфизм р: ІД —>- Ok является эпиморфизмом.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть v (ЕSk- [ er 01й — некоторый единичный вектор; дополним его до ортонормированиого базиса. еі = v, е2, . . ., ek. Тогда et 6 Г* и

Таким образом, автоморфизм р (ѵ) является отражением в гипер­ плоскости, ортогональной к ѵ. Так как группа О* порождается такими отражениями, то гомоморфизм р является эпиморфизмом. ■

Л е м м а 6. Гомоморфизм р: Г* —>■Oh отображает подгруппу элементов стеііени нуль в Ж2-градуировке на группу SOh.

Pin* s Pin* X 2 _UU

Spin* s* Spin* X j_Un

где- Z2 сI UI — скаляры нормы 1.

До к а з а т е л ь с т в о . Существование последовательностей

иих точность доказаны в предыдущих леммах. Рассмотрим вло­

ве леммы 6, группа Pin* состоит из всех элементов вида гху . . . х д, где Xj Ç S'1' 1 и ?■6 Ui, а группа Pin* состоит из всех элементов вида ±Хі . . . x q. Из такого представления элементов непосред­

ственно следует изомор'физм для группы Pin*. Чтобы получить

теперь изоморфизм для группы Spin*, достаточно взять в Pin* только элементы нулевой степени. ■

Для полноты исследования этих групп докажем

в пространстве Spinfe. Таким путем является, например, путь

пространство В Spin является двусвязным накрытием простран­ ства В SO. Таким образом, пространство В Spin можно отождест­ вить с пространством расслоения над В SO, индуцированного рас­ слоением путей над К (Z2, 2) при помощи отображения /: BSO

любого кольца R, содержащего Ѵ2, так как кольцо Н* (К (Z2, 1); R) в этом случае тривиально, и поэтому я* является изоморфизмом.

Вычисление кольца Н* (В Spin; Z2) намного сложнее и требует некоторой дополнительной подготовки.

Л е м м а 7. В кольце Н* (ВО; Z2) имеет место формула

Sq^'^Wn = iü2n_i + (разложимые элементы).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно формуле Адема,

S

Sgn-1£5n = Sg2n-1+ 2 caSq^-^Sq1, i=l

где s=[(n — 1)/2], поэтому в кольце Н *(ТВО ; Z2)

Члены с ; = 0 равны нулю, так как Sq2n~x~lu>i = О для 2п — 1 — і > Таким образом, Sqn~xSqnU = (нз2п_і + разложимые элементы) -U. Далее,

Sqn_1SqnU = Sqn~l (wnU) =

—*■Я* (В Spin; Z2) является эпиморфизмом, ядро которого есть идеал, порожденный как .Л2-модулъ классом и>2. Таким образом,

последовательность расслоения путей над К (Z2, 2) и через /* — индуцированный гомоморфизм этих спектральных последователь­ ностей. Так как Е* является Я* (BSO; Z^n^yvieM, то существу­ ет индуцированное отображение спектральных последовательно­ стей

Z2 [u?j I і ф 1, 2'- + 1; г > 0 ] ® Е'* Е*,

которое является изоморфизмом в членах Е 2 и, следовательно,, в членах Е°°. Таким образом, гомоморфизм

пространство расслоения, индуцированного при помощи отобра-

жения g расслоением путей над К (Z2, 2). Это дает диаграмму

собой расслоение, .ассоциированное с этой последовательностью. 2. Ориентированное расслоение допускает Spin-структуру тог­ да и только тогда, когда его второй класс Штифеля — Уитни равен нулю; оно допускает Эріп0-структуру тогда и только тогда, когда его второй класс Штифеля — Уитни является приведением

некоторого целочисленного класса.

Используя данное описание пространства В Spin0, легко вычис­ лить его когомологии. Так как кольцо H* (К (Z2, 2); В) является нулевым, если Ѵ2 £ R, то гомоморфизм я'*: H* {ÉSO X BU р Д)->-

— Н * (В Spin0; R) является изоморфизмом. В г 2-когомологиях g* является мономорфизмом, и, используя те же рассуждения со

ние, классифицирующее сумму канонических расслоений над этими пространствами, и к: В Spin X BU\ ->• К (Z, 2) — проек­

следует, что отображение/индуцируетизоморфизм гомотопических групп и поэтому является гомотопической эквивалентностью. [Предостережение. Умножение в пространстве В Spin0 не являет­