Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Стонг, Р. Заметки по теории кобордизмов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

19.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3826 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Рассмотрим произведение Ch X Dn+1, которое является осна щенным многообразием с границей, образованной объединением

многообразий			Wi — [(сШі (j дВ2) X Dn+1]			и	W 2 — [(—i)kChX
X	(Fi	U V2)l	в д о л ь и х	общих	границ	(—	(дВ{ (J dB2) X
X	(Fj	U F2) и (— l ) fe {дВх		[J d B о)	X (F ! U	F2). Удалив трубчатые

(г!)кСхЦ

окрестности подмногообразий дВ^ X и дВ2 X Ѵ2 в Ch X £>,1+1 и склеив оставшееся вдоль границ этих трубчатых окрестностей (см. рис. 6), получаем многообразие X, две компоненты границы которого имеют вид

( - 1 ) ' > y n + ft= ( 9 B l x H	) U ( - l ) ' î C X V : ! /	C- O1B)!l r X ' V ^ - l f ô i n x V i ( с к л е и в а н и е в / )
1	/ ( — 1 ) "	1 в В і Х Ѵ і = ( - 1 ) в 0 В 2 Х Ѵ 2 ( с к л е и в а н и е
И

в д о л ь о е )

(-i)fty? +ft= (aB2xH)U(-i)Ac x K 1/ (- 1)ï ôf 2XVlsC- 1)!!_' №2xyi	~	ІЕавие D с> _
/ ( —і г 1 0 В г Х У г = ( - 1 )В'!і9х Ѵ і	( с к л е и в а н и е в д о лdьb ) .

Так как оснащение многообразия С X D индуцирует согласован ные оснащения на склеиваемых частях, то на многообразии X

существует оснащение и д (—l),lX = F”+fe [J Vz+h, причем оче видно, что многообразие Ѵп+к = F”+/t изоморфно как оснащенное

многообразие многообразию Ѵ2+Іі.

Таким образом построено оснащенное многообразие Fn+h,

класс кобордизмов которого имеет порядок 2 в группе [Заметим, что многообразие Vn+h зависит от выбора многообразий Chи Dn+1, но любой такой выбор приводит к одному классу кобор дизмов.]

Так	как [М] =	2 [В], то	существует	оснащенное	многообра
зие Ск, границей		которого	является	несвязное	объединение
дВі [J дВ2, так что многообразие
м	U ( - Bi) и ( ~ в 2) U С/д (~В,) =			дв и д ( - В 2) = дВ2,

является границей 5 [/-многообразия Wh+1. [Это налагает условия на С, и поэтому предположим, что в предыдущей конструкции С

выбрано именно таким.] Далее, многообразие д (PF,t+1 х УД содержит подмногообразие (—іД) X Уі [J (—В 2) х Уь тогда как многообразие д ((—1)“5 X D) получено из объединения многооб разий В X (Уі U У2) и (—l)hdB X D склеиванием вдоль их общей границы, поэтому можно получить .^-многообразие из объеди нения многообразий (—1)h В X D и ТУ X Уь отождествляя (—Bj) X Уі с 5 X Уг. Граница построенного таким способом

многообразия имеет две компоненты, одна	из которых М X Уі,
а другая получена из С X Уі U (—1)h dB	X D отождествлением

дВі X Уі с —dB X Уі и дВ2 X Уі с —dB X У2 и поэтому являет

ся	как раз многообразием У,1+й. Таким образом, при данном выбо
ре	С получаем, что [У	= [Mh] [У"] в	ц
	Д о к а з а т е л ь с т в о	п р е д л о ж е н и я . Пусть М 8 —

многообразие, описанное в лемме 1, и У1 — представитель класса порядка 2 в группе Qjr, который отображается в элемент Ѳ£ Qfb. Предположим, по индукции, что [ys^+i] £ Q|rft+1 имеет порядок 2

и представляет класс кобордизмов [ЛГ8]й-0 в Qgfc+i- Применяя лемму 2 к многообразиям У8,і+1 и М 8, получаем оснащенное мно

гообразие y8h+B порядка 2 в группе Qgft+9 , представляющее класс

[М8] [y8ft+1] =	[М8],і+1-0 в й\|;Ѵ+9 - Это завершает шаг	индукции
и тем самым дает доказательство предложения, щ
Используя предложение, можно полностью вычислить образ
группы S.2^ в	s u , который описывается следующей	теоремой:

Т е о р е м а. Гомоморфизм забывания F*: Q*r —>- Q fu является изоморфизмом в размерности нуль; в положительных размерностях образ его является нулевым, за исключением размерностей 8к + 1 и 8к + 2, где образ гомоморфизма F* равен группе Г2 с образую щими аф,1-Ѳе, е = 1 или 2.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, F0: QSß—>QoU = Z. Для

n > 0 группа £2^г является конечной, поэтому образ гомоморфиз ма Fn состоит из классов конечного порядка. Таким образом,

іш Fn =	0 для	п,	не равных 8к -\|- 1	или 8к +	2,	к ^ 0.	Если
п = 8к +	е, е =		1 или 2, и a Ç im Fn, то все /$ГО*-характеристи-
ческие числа		вида Sa (я), 7Z(со) > 0 ,		элемента	а	равны	нулю,

так как эти классы равны нулю для оснащенных многообразий, и поэтому а ф 0 тогда и только тогда, когда 1 [а] Ф 0. Таким образом, группа im Fn равна либо нулю, либо Z2.

Согласно предложению, [М8]к х Ѳ £іт/''8/ж , и так как 0ÇimEi, то [М8]йѲе£ іт У 8!г+Е. Тогда

1([М8]Й0Ё) = 1([М8]Й) =

= of ([M8]'l)(mod2) =

=(éP [М8])'! (mod 2) =

=1 (mod 2),

и, таким образом, группа im F8k+E не равна нулю и поэтому изо морфна группе Z3 с образующими [Ms]h-Ѳ8.

Так как Qf7 = Z ® Z с базой х\ и д (xixk) и так как умножение

на Ѳаннулирует образ гомоморфизма д, то [М8]-0 =							х‘{-0, и, таким
образом, [M8]fe-0E=		.г^,1-ѲЕ представляет собой ненулевой класс
группы im F8h+E. я
З а м е ч а н и е .		Фактически		для	любого	многообразия		М 8
с нечетным ^-числом имеет место формула						[M8]ft -0Е= х\к-0е.
Действительно,	из	равенства		5(а-1х4)-0 =		0	следует,	что
о? [д (z ^ )] = 0 (mod 2), поэтому				[М8]	= (2р +	1) х* + qd (х^х,).
Таким образом, [і¥8] 0 = .TJ -Ѳ.
Вернемся к	точной последовательности
o fr	F*	Qsu	n S U ,	f r		й	su
-^п+1 '			■“ 71+ 1		->Qhr— -
		71+1

Так как гомоморфизм F* уже вычислен, то среди вопросов, связан ных с этой последовательностью и доступных для исследования, остается только вопрос о характере следующего расширения для

группы Q®+’ifr:

0 —> Q rt+i/іш А* £2п+іп —Ö- ^ ker F .- * 0.

Этот вопрос был решен Коннером и Флойдом [8]. Непосредственно из конструкции А'0*-орпентации следует,

что для £ [/-многообразия V с оснащенной границей она дает

элемент	U £ КО* (Ту). Д л я п (ш) > 0 все	АО*-характеристиче-
ские классы <5ш(л) принадлежат группе КО* (BSU , *), и поэто
му для	(SU, ^-многообразий определены	характеристические
числа в	АО*-теорші.

S U

Так как подгруппа элементов конечного порядка в группе £2п+і обнаруживается АО*-характеристическнмп числами и группа im F* обнаруживается числом 1 (л), то образ группы

Tors (ß»+i/im A J в обнаруживается АО*-числами, при нимающими значения в Z2. Это определяет расщепление в точной

последовательности подгрупп, связанных с группой Tors Qn+i- Для описания расширения, определяемого свободной частью

групп достаточно заметить следующее: из рассмотрения АО*-характеристических чисел немедленно вытекает, что (SU, fr)- многообразие V имеет те же самые числа Чжэня, что и замкнутое

S ([/-многообразие, тогда	и	только	тогда,	когда
(	Z,	если	dim У =		0 (mod 8),
[V, дѴ\ 6 { 2Zj		если	dim у	_	4 (mod g))

так как все другие соотношения между числами Чжэня, опре деляемые КО*-теорией, выполняются для многообразия (F, дѴ).

Можно определить гомоморфизм 3 ': £2п+’1Гг-ѵСі, полагая

3 ' [а] = 3 [а], если dim а ^ 4 (mod 8), и 3 ' (а) = у 3 (а), если

dim а = 4 (mod 8). Заметим, что однородные компоненты харак теристического класса 3 делятся на q в размерностях, не деля щихся на 4, поэтому гомоморфизм 3 ' является нулевым в этих

размерностях. Гомоморфизм 3 ' переводит Q«+i в Z и опреде ляет тем самым гомоморфизм

3 ': ker.F*->-QVZ.

Гомоморфизм 3 ': Qsk+з = kerF8h+3->-Q./Z является в точности инвариантом Адамса е^. Предыдущие результаты об инварианте

3 дают следующее утверждение:

Образ гомоморфизма 3 ': fi^-i-»-Q ./Z состоит из всех целых

1	аи — знаменатель дроби	В	в несократи
кратных числу — , где	аи — знаменатель дроби		в несократи
мом виде.

Связь с комплексными кобордизмамп

Возвращаясь к связи с кольцом fi*, рассмотрим точную последовательность

••• —»■&nU—		9 и	и, su	n su	— > . . .	,
••• —»■&nU—		9 и	fi	f i n - 1	— > . . .	,
в которой гомоморфизм F* уже полностью					вычислен.		Точно
так же, как и	в случае	(О, <S(^-последовательности,				эту	после-
							S	U	-
довательность можно отождествить с последовательностью fi*									-
бордизмов корасслоения
	CP(l)-+CP(oo)-+CP(oo)JCP{î)
и, следовательно, представить в виде				(i, 0)
ïSH	F* 0 п	(0.d)	- 2 Ѳ f	(i, 0)	,sи
fi.		f i n	- 2 Ѳ f	i n - 4	fi;n—1'

Отсюда следует описание структуры группы fi^ ’su. Интерес ной частью этой последовательности является последовательность

n SÜ Fsn+2 о O'	n, sn	D S U	F fn + 1	„ у
“ Sn+2----- >“ 8 n + 2	>fi8 n + 2	“ “ 8 n +	1-------- >	^ 8 п + 1
		z!f(n)l		0

в которой образ гомоморфизма FSn+2 представляет собой прямое слагаемое, образованное классами кобордизмов, у которых все числа Чжэня, делящиеся на си равны нулю.

Так как Qgn+a = ßfn Ѳ & ы-2 , то расширение должно быть полностью нетривиальным. Классы кобордизмов из группы Qfn+j имеют вид Ѳ-[М8п], и характеристические числа

£(«'.в')(вр)S [М*п] =<Ѵ,и0 (я) (Ѳ• [M8”])Çz2


для	o ' Ç я (п) полностью			обнаруживают эти классы.			Далее,
класс	0 Ç Qj		является образом класса		[.D2] £ Q2’	, представ
ленного диском D2 с обычным оснащением на границе. [Диск
D2a CP(1)			можно представить в виде		расслоения на		диски
расслоения Xнад СР(0) с касательным расслоением т (D2), инду
цированным			расслоением	X над CP(1),	имеющим	стандартную
тривиализацию над S1, которая совпадает с обычным оснащением
на S1. Для расслоения Xнад CP(1) класс S (А,) имеет вид 1 +								/са.
Так как		S (т) = S {If = S {Х)~2= 1 —2Ы и S’ [CP(1)] =						—1,
то к =		1/2 и, следовательно, S {[D2]) =			1/2.]
Так		как	характеристический класс		5(М<, М') (е^)	имеет нену

левые компоненты только в размерностях, кратных 4, и так как

характеристический			класс	S /j+2			делится на сь			то можно опре
делить	числа /ци-.а') (е^) S’ [V]					как инварианты				{Sk + 2)-мерных
{U, 5£/)-многообразий и
■V,«.') (V) & № X					=	*Ѵ . о.') (<Ѵ) & [М'8'1] S’ [D2] =
					= у £ (0/і0О( е ^ [ 7 ¥ 8*],
так что	числа /Дш', <у) (е^) ^				отображают группу					Q.sù+ 2 на под-
группу нечетного		индекса		в	группе			I y Z )	, в то время как
группу	Qsn+ 2 они отображают					в	подгруппу нечетного индекса
в Z'*(n4	Таким	образом,			при		помощи набора			многообразий
{D2X М8п} также			можно		доказать			полную	нетривиальность

расширения.

Коннер и Флойд [8] заметили, что, используя теорию кобор дизмов, можно получить следующий результат Адамса:

Те о р е м а . Гомоморфизм

:Qnr —V (Q./Z

является тривиальным, если п =	8к + 5, и образ его равен Z2 =
= z j - \|- } /z { l} , если п = 8к +	1.

Поскольку гомотопический результат об оснащенных кобордизмах доказывается здесь методами только теории кобордизмов, мы воспроизведем доказательство Коннера и Флойда.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М — оснащенное (8к + 5)-

мерное многообразие. Так как Qsh+ 5 = 0, то М = дѴ, где У — некоторое б1//-многообразие. Тогда инвариант е^(М) равен при

веденному mod Z числу <5° [У, М] = S’sk+e (V, М], но характери


стический	класс éPsh+o делится на		щ и щ (У, М) = 0,	так	как
У является 5 //-многообразием. Таким образом, число				еР[Ѵ,М]
является	целым и	(М) = 0 6 Q./Z.
Пусть	М — оснащенное (8к +		1)-мерное многообразие.		Так
как 2 [М] = 0 в группе О-ш+і =			то 2М = дѴ, где		У —
некоторое ////-многообразие. Тогда инвариант 2е^ [М]				(2 [М])

равен приведенному mod Z числу с¥\Ѵ, дѴ], которое, как и выше, равно нулю. Таким образом, е^. [М] кратно числу 1/2.

Далее, пусть y 8h+1 — оснащенное многообразие, построенное в предыдущем параграфе, кобордантное [І1/8]ІІ-Ѳ в группе Qfji+ь

и пусть dW = У U (—(М 8)h X S 1).	Обозначим через W многооб
разие, полученное из несвязного	объединения многообразий W

и (М8)к X D2 отождествлением вдоль (M8)h X S				1. Тогда многооб
разие	W является	//-многообразием	с границей		У, поэтому
еС	= & W , У] (mod Z). Так как		является инвариантом
(U, 5//)-кобордизма		в размерности	8к + 2,	то	éF\W, У] =

=[(M8)k X D2] = (1/2){èf{M8)}h — 1/2. Следовательно, обра

зом гомоморфизма е^: Qg/H-i Q/Z является подгруппа Z2 =

= Z{l/2}/Z{l} с= ап. Я

Связь с неориентированными кобордпзмамн

Гомоморфизм забывания F*: Q*0-»-9Î* был вычислен П. Андер соном [1], Стоигом [3], [6] и Коннером и Ландвебером [1]. Одно из возможных описаний гомоморфизма F# дается в следующей теореме:


Т е о р е м а .			Можно выбрать		образующие x t	кольца 9Д;,
dim Xi = i,		i Ф 2s — 1, такие,		что:
1)	91* =	Z2 [аД;
2)	/У* (И, 2) =		Z2 [xh, x^j I к	не	является степенью двух]-,
3)	существует дифференцирование dp W i (01, 2)					t (IR, 2),

для которого д\ = 0, дщй1і = х2h-i, если к не равно степени двух, др?гі = 0, и образ кольца Q#0 в 91* аддитивно порожден образом

гомоморфизма	и полиномами над Z2 от классов х \t (t — любое
целое число)-,

4) образ	кольца	й*	в 91* порожден квадратами элементов
кольца 91*, т. е. изоморфен кольцу Z2 [аф];
5) образ кольца 7/'Д (С, 2)				в 9і* порожден квадратами элемен
тов кольца	7/** (Dl, 2);
■>	кольца	su	в 91* аддитивно порожден		квадратами
6) образ		й*
элементов из группы im ді и				полиномами над Z2 от классов x\k
(к не является степенью двух) и от классов x^j.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В качестве классов xt, которые удов
летворяют	свойствам 1)—5),			выберем классы х и	построенные
в гл. VIII. Проверим для этих классов утверждение 6). Рассмот
рим 7/'% (С, 2)-многообразие				М, и пусть [М\ — [М'\2 в		кольце
91, где М ' принадлежит кольцу 2Г (И, 2). Формулы					для	вычис

ления чисел Чжэня многообразия дМ точно такие же, как для вычисления чисел ПІтифеля — Уитни многообразия dLM ', поэто

му	[дМ\ — [біМ']2 в кольце				91*.	Следовательно, группа		im д
отображается			на	группу, порожденную			квадратами классов
из группы im dj.				ker д аддитивно		порождается группой		im д
	Далее, группа			ker д аддитивно		порождается группой		im д
и полиномами			от	классов
	с4	=	Ф (ІСР (I)]2) =		9 [CP (I)]2 -		8 [СР (2)]
и
Овп	Ф (z4n)	z4n—2 Ф (Z2Z4n) =
				= z4nT'2 [F4] Z4'î,_2-- 22Z4n34„_2---4 [F4j z'/^o.

Так как z' = [CP (1)] отображается в нуль кольца 91*, то образ группы кет д в 9І* аддитивно порожден квадратами классов из im ді и полиномами над Z2 от классов zfn. Но класс z4„ отобра жается в .тіц, если п не является степенью числа 2, н в Хп, если п является степенью числа 2. Кроме того, классы с8п содержат

^^-многообразия, так как ker 9 = im (й*и ->• Й*) в размерно

стях, делящихся	на 8, поэтому образы кольца Й*° и группы ker д
в 9Ï* совпадают	и описываются, как в утверждении 6). в

Образ кольца й*17 в 91* , следуя Коннеру и Ландвеберу [1], можно описать и другим способом; а именно, имеет место

Т е о р е м а . Образ кольца й*и в 91* состоит из классов не ориентированных кобордизмов [М]2, где М — ориентированное многообразие, у которого все числа Понтрягина, делящиеся на ÿ,, являются четными.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А* с: 91* — кольцо классов кобордизмов, порожденное ориентированными многообразиями,

у которых все числа Понтрягина, делящиеся на £Рі, являются четными.

Так как все числа Понтрягина равняются нулю на элементах

группы im ді с: im{Q®° Я!:*}, то im ді er А^. Кроме того, элементы z[n являются классами кобордизмов комплексных мно гообразий, у которых все числа Чжэня, делящиеся на cf, равны нулю. Но в (mod 2)-когомологиях класс щ приводится к классу ш2, а — к классу w\, и так как числа Понтрягина выражаются через числа Чжэня или числа Штифеля — Уитни (когда они

приведены	mod 2),	то z\n £ А *. Таким образом, кольцо, порож
денное квадратами		классов из	содержит образ кольца
Пусть	Z?* сг А.м — подкольцо,		аддитивно порожденное груп
пой im ді	и полиномами от zîn. Тогда образ кольца ß®17 в 9Î* есть
в точности кольцо,		порожденное	квадратами классов из В *.
Рассмотрим теперь кольцо			(ker djim ді) = (im ß*0/im ді),

двойственным которому является кольцо чисел Понтрягина, при веденных mod 2. Тогда двойственным к A J im ôj является про странство чисел Понтрягина mod 2, не содержащих gh в ка честве множителя, поэтому ^4*/іт ді имеет размерность, равную

размерности	кольца Z2 [£р; \| і > 1 ]. Так как (B J im <9і) =
= Z2 \z‘iin I n ^ 2], то В* =		А ч, что и завершает доказательство, в
Теорема	характеризует	образ кольца ßu в 9Î как кольцо»

порожденное классами кобордизмов, у которых все числа Штифе ля — Уитни, делящиеся на нечетномерные классы wt или на w2,

равны нулю, и у которых все числа Штифеля — Уитни вида w\w\m равны нулю. [Такими являются квадраты (числа, содержащие

нечетномериые классы wt,		равны нулю) классов кобордизмов
с Wi =	0 (следовательно,	ориентированных), у которых числа
wfw2 ш=	f i f CÙ(mod 2) равны нулю.J
Связь с ориентированными кобордизмами
Так	как 2-примарные результаты о связи кольца ß*b с ß®°

уже изучены, то можно перейти к рассмотрению композиции гомоморфизмов

/: Qsu I* Qso Л ßf/T ors.

Записывая универсальный класс Поитрягина 4p£H*(BS0; iQ,) в виде ["J ( 1 жз), dimx^ = 2, определим классы Sa(e^) как сим метрические функции S0, от переменных ехі + е\ хі —2 и класс А —как произведение функций 2 sinh (zjl2) . Рассмотрим гомомор-

1 7 - 0 1 0 2 4

физм
р: Я* (BSO-, Q.) —> Q. [а,-]: х —>■2 S® (ер) Л [х]-аа
и положим Bsn° = {x e H n{BSO-, Q-) \| р (a;) Ç Z. [а;]}		и Я®°=ф5®°.
		71
З а м е ч а й и е. Если х б Я„° и со б я (п/4), то Sa (вр) Â [а.] =
= Sa (ср) [a;] g Z,	так что х является образом	целочисленного
класса гомологий.	Так как р (х) б Z [1/2] [а,],	то х фактически

является образом фундаментального класса ориентированного

многообразия, так что 5 ? °		с тЙ?° (13).
Так как р (х) б Z [1/2] [а,] для всех х б тй* , то Вп					является
в тй,г° подгрзшпой 2-прпмарного индекса.
Л е м м а. Если М — многообразие с «Р (С2)-структурою>, то
т [ЛЯ] 6 В*0, т. е. образ	группы		W 4 (С, 2)	в тй£° содержится
nso
в £* .
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Если	dim М Ф 0 (mod		4),	то
Sa (ер) Ä[M] = 0, а если	dim il/ =		0 (mod 4),	то
(ер) Â [М] =		(ер) Â 2		(М\ =

= Sa(e9)tf[M \Z-L,

так как любая ненулевая компонента характеристического класса (вр) А имеет размерность, делящуюся на 4, и является поли номом от классов Чжэня многообразия М , которые аннулируются

умножением на cjh. Значения характеристического числа целые, так как Sa(ep) [il/] равно числу в Я-теории. g|

Л е м м а.		Пустъ Р% а	W* (С, 2) <g>Z [1/2] —кольцо целочислен
ных полиномов Z [х2, х 2і —			(1/2) xtX2i-i\■ При					естественном гомо
морфизме	групп
		т: /Г* (С, 2) ® Z [1/2]			-> Bs° ® Z [1/2]
подколъцо Р* отображается в Я \|°					и т \|р+		является гомоморфиз
мом колец.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Так как Р^ а			ker д, то стандартное
и нестандартное умножения совпадают						на	Р%, и поэтому т ір*
является	гомоморфизмом			колец.	Так	как		х\ б 7//Д (С, 2), то
т (х\) б 2?\|°,		тогда как т (х2і — (1/2) х 1х2і_1)					= т (х2і), поскольку
т (х,) = 0,	и	т (х2і) б В%°,		поскольку		х2і б W \ (С, 2). а

П р е д л о ж е н и е . Кольцо B f0 является кольцом целочислен ных полиномов от классов ун , і ^ 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть	у,Л — т {х2і — (1/2) х1х2і_і),
i > 1 , и г/,, =	т (ж2). Тогда	5 (i) (^)	[г/4г] =	m2im2i^ , если i > 1 ,
iS(i) ($>) [ÿ4j =	—SS\i) (<$>) [CP (2)] =		- 8 - 3	и кольцо Qf° <g> Z[l/2]

порождается этими классами. Таким образом, тР* является в 5 f° подгруппой 2-примарного индекса.

Заметим также, что элемент р2 (ун ), равный р (г/4і) (mod 2),

имеет наибольший моном		для какого s,
a)	а г, если і Ф 2s ни	для какого s,
b)	(a2s-i)a, если i = 2s	для некоторого s > О,

c) 1, если і = 1,

как показано при вычислении ,ЙГ0*-чисел элементов zt. Таким образом, кольцо тР* имеет в Р§° нечетный индекс, откуда сле дует, что гомоморфизм т: Р* В%° является изоморфизмом. ■

Л е м м а . Для любой последовательности (tj, . . ., іТ) элемент 2//4іі • • • Уаг является образом SU -многообразия, а элементы у4


и	у\і (для	всех і) являются образами комплексных многообразий,
у	которых	все числа Чжэня, делящиеся на					Cj,	равны		нулю.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть		г/4, — класс			кобордизмов
57Д (С, 2)-многообразия М н .				Представим				[ikf4£]		в виде
(1/2) ([JV4i]		— [СР (1)]	[JV/j;- 2]),	где	N 2j является				S ^/-многообра
зием (N 2 — пустое многообразие).					(ilt	. . .,	іг)	имеем
	Для любой последовательности
д {[CP (1) X М іи X . . .			X M,iir[) = -i-ö{[Ar4ii X				. . . X N а,. X CP (1)]+
		+ (члены	[CP (1)‘ X П N а X П -^Ц-г])} =
			= 2г-1		[ ^ 4іі X . . .			X /V4і,-] ~Ь

+ (члены, делящиеся на [/Ѵ4;-_2]).

Как ориентированные многообразия члены с множителями iV4j-_2 кобордантны нулю,. поэтому элемент 2у4£і . . . г/4^ является клас

сом кобордизмов S //-многообразия д {CP (1) X М ц 1X . . . X М цг).

Рассмотрим следующие классы в кольце

® Q:

А = ([Nи X ЛГ4#] — [Mt X N a .2 X ІѴ4І_2]) =

= 4 { [ В Д - ( 9 [CP (l)]2— 8 [CP (2)]) [/V4!_2]2}

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3826 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ