книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

с указанным выше возбуждением системы. Нужно изменить каждый член теории возмущений для энергии основного состоя­ ния так, чтобы число занятых состояний в сфере Ферми умень­ шилось на единицу, а число незанятых соответственно возросло. К чему это приводит формально, можно продемонстрировать на примере вычисления W (2a), которое получается из соответствую­ щего выражения для Е (2аК Выражение (21.30) можно переписать

Рх< Рр

Умножив это выражение на число электронов N, получим вклад в полную энергию основного состояния системы. Можно за­ писать N = 2V(2n)~3-4n/3, где V — объем системы в единицах U3p j 3. При этом множитель 2 учитывает две возможных ориен­

тации спина. Заменим интеграл по pi суммой

тогда

рон с импульсом р и спином «вниз». Тогда соответствующее одночастичное состояние в сфере Ферми станет свободным, а из суммы в выражении (23.16) выпадет один член. С другой сто­ роны, к указанной сумме необходимо добавить один член, соот­ ветствующий появлению одночастичного состояния с импульсом p = P! + q вне сферы Ферми.

Эту же процедуру необходимо повторить с заменой инте­

р^<рр

I p2+ q I > pf

260

где множитель 2 есть произведение трех коэффициентов: 2 учи­

Гелл-Ман вычислил Wi для каждого из основных вкладов в энергию в теории Гелл-Мана и Бракнера. Вклад от обменной части энергии основного состояния вычисляется просто. Дейст­ вительно,

1

Wi

Это выражение логарифмически расходится при малых значе­ ниях q.

Анализ Гелл-Мана для членов высшего порядка, соответст­

Интеграл легко вычислить при малых га. В результате имеем

ношение теплоемкостей электронных газов Бракнера и Зоммерфельда:

261

Это выражение справедливо при достаточно высоких плотностях электронного газа, когда параметр rs< I . Добавка к единице в квадратных скобках характеризует поправку на взаимодейст­ вие в вырожденной электронной системе в приближении сла­ бой связи.

Парамагнитная восприимчивость. Для вычисления спиновой поляризуемости электронного газа используем формулы (20.16). Изменение кинетической и обменной энергии просто выражается через поляризационный параметр Р (см. § 20):

Обменная часть корреляционной энергии (в расчете на одну частицу), если пренебречь членами порядка га и более высоких порядков, £ обм.корр= 0,046 не зависит от плотности электронов и поэтому не меняется при поляризации спинов (в рассматри­ ваемом приближении). Таким образом, только необменная часть корреляционной энергии определяет поправки к спиновой вос­ приимчивости системы.

Необходимо ввести явную зависимость ферми-импульса от спина. Для этого функцию Q,,(u) в формуле (23.3) следует за­ менить полусуммой

Y \Ql (и) + Q i («)],

где

оо

•exp (iqtu).

Ik+qI >k *

(23.23)

В этом выражении k ^ — ферми-импульс электронов со спинами,

направленными «вверх». Он измерен в единицах невозмущен­ ного ферми-импульса, т. е. k ^ = ( \ + P ) 1/3. Формула для QJ (и)

записывается аналогично.

262

Для вычисления изменения корреляционной энергии вследст­ вие поляризации спинов в магнитном поле следует подставить в формулу (23.2) вместо Qq(u) выражение (23.23) и выполнить интегрирование по q и и. Это вычисление приводит в наннизшем порядке по Р к следующему результату:

ляя это число вместе с другими численными множителями в

Поскольку

Хл = яр е/а,

где р,.— магнитный момент электрона, отношение спиновой восприимчивости газа Бракнера к соответствующей величине для газа свободных электронов можно записать в виде:

Ъ/Ыкип = «кнн/а = [1 - 0 , 16бг,-0,0137г?1п/-, + 0,000509^1-'. (23.26)

Эту формулу, к сожалению, нельзя проверить экспериментально, поскольку она справедлива при и не имеет отношения к реальным значениям плотности электронного газа в металлах.

Необходимо отметить, что исследование свойств электрон­ ного газа — всего лишь попытка модельного описания характе­ ристик реального вещества. Несовершенство этой модели про­ является, в частности, в том, что такой подход не в состоянии описать особенности поведения электронов, когда ионы обра­ зуют решетку. Если сильно сжатое вещество является жидким, то модель, построенная на использовании равномерно разма­ занного по объему положительного заряда, также не отражает многих характерных свойств жидкости.

263

Потенциальная энергия сильно сжатого вещества состоит из энергии взаимодействия ионов между собой, ионов с электро­ нами и электронов между собой, причем последняя часть скла­ дывается из энергии прямого взаимодействия и обменной энер­ гии. Энергия взаимодействия ионов равна

где последняя сумма берется по координатам всех ионов, за исключением одного, выбранного в качестве начала отсчета; Z — заряд иона. Энергия взаимодействия электронов и ионов имеет вид

которое нужно рассматривать как предел соответствующего выражения при ЛД>оо, К-»-оо, вычисленного для конечного объема. Для наиболее симметричных ионных структур энергия оказывается отрицательной. Это означает, что решетка из ионов обязательно образуется. Вместе с тем £<*> с обратным

знаком определяет энергию связи решетки.

Оценим, какие поправки вносит ионная решетка в энергию основного состояния системы по сравнению с решением ГеллМана и Бракнера. Для этого необходимо найти энергию взаимо­ действия электронов и ионов во втором порядке теории возму­ щений, т. е. оценить энергию электрон-ионной корреляции в том же приближении по плотности частиц, что и для электронного газа Бракнера [1, 2]. Выделим один электрон и запишем мат­ ричный элемент энергии взаимодействия этого электрона со всеми ионами:

Тогда энергия электрон-ионного взаимодействия, приходящаяся

264

на один ион, во втором порядке теории возмущений по взаимо­ действию может быть представлена в виде

| k | > 0

где суммирование проводится по всем векторам обратной ре­ шетки, а область интегрирования ограничена условиями

I Р— к/2 | < pF, | р + к/2 | > p F..

Нетрудно видеть, что выражение (23.32) сходится в отличие от соответствующего члена, описывающего электрон-электрон- ную корреляцию во втором порядке теории возмущений. По­ этому при рассмотрении электрон-ионной корреляции нет необ­ ходимости проводить выборочное суммирование бесконечного числа членов теории возмущений для получения правильного результата. Поскольку при rs-Cl корреляционные члены малы по сравнению с членами, описывающими кинетическую энергию (и обменную в электронной компоненте), то нет необходимости рассматривать и поправку третьего порядка при вычислении Eei.

Выражение (23.32) можно упростить, если рассмотреть конкретный случай кубической решетки (с ребром куба а).

Тогда можно проинтегрировать по р. Переходя к атомным еди­ ницам, получаем *:

v= 1 для простой, v= 2 для объемноцентрированной и v = 4 для гранецентрированной решетки. Для а^>1 выражение (23.33) приобретает совсем простой вид:

Энергия электрон-электронной корреляции в данном рассмот­ рении получается такой же, что и в модели Гелл-Мана и Брак-

В заключение параграфа сделаем следующее замечание. Периодическое поле ионов в кристаллической решетке можно учесть корректно, если невозмущенное основное состояние системы электронов (заполненную сферу Ферми) описывать

* Предлагается читателю записать это выражение в ридбергах и через параметр г5.

265

с помощью антисимметризованных одночастичных состояний, составленных не из плоских, а из блоховских волн:

Ф(г)рп = e'PV „(г),

где функция пР, п периодична с периодом решетки. При этом собственные состояния характеризуются двумя квантовыми чис­ лами: номером зоны п и волновым вектором р, лежащим в пер­ вой зоне Бриллюэна кристалла. Елоховские волны можно рас­ сматривать как смесь плоских волн, каждая из которых имеет волновой вектор (р + к), где к — вектор обратной решетки. Если волновые векторы лежат в первой зоне Бриллюэна, то волновой вектор (или импульс) остается «хорошим» квантовым числом, несмотря на наличие периодического потенциала. Основное со­ стояние системы электронов получается путем заполнения N нижних блоховских состояний. Если при этом остаются неза­ полненные зоны, то твердое тело является металлом. Отметим, что незаполненными могут оставаться несколько зон. Тогда ферми-поверхность состоит из нескольких листов, по одному па каждую незаполненную зону. При вычислении энергии основ­ ного состояния электронного газа с учетом взаимодействия не­ обходимо рассматривать возбуждение квазичастиц из основного состояния невзаимодействующих электронов, которое описы­ вается детерминантом Слэтера, составленным из одночастичных функций Блоха, учитывающих заданную симметрию решетки.

§ 24. ЭНЕРГИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ГАЗА В ПРИБЛИЖЕНИИ ХАОТИЧЕСКИХ ФАЗ (RPA)

Во второй главе при изложении метода коллективных коор­ динат введено приближение хаотических фаз для классической плазмы при конечной температуре. Не очень строгий, но физи­ чески понятный метод флуктуаций плотности полезен и при интерпретации свойств электронного газа. В частности, прибли­ жение RPA приводит к результату Еелл-Мана и Бракнера для энергии основного состояния плотного электронного газа. Это приближение основано на физически оправданном предположе­ нии: при определенных условиях (см. § 5) можно пренебречь суммой экспонент с хаотически изменяющимися фазами по сравнению с N. Так, когда в основные уравнения теории входит множитель пь-ц, в приближении хаотических фаз полагают

M k -q =-- 2 еХР [> (Я — k) * |1 ~ N 8 k , q- i

При этом вычисление энергии основного состояния системы и анализ свойств квазичастиц значительно упрощаются.

Прежде чем приступить к вычислению энергии основного

266

ческую функцию системы e(q, со), а затем вычислим эту функ­ цию в приближении хаотических фаз. Определим энергию взаимодействия в основном состоянии как среднее значение потенциальной энергии:

тор, который определяет спектр флуктуаций плотности электрон­ ного газа. Форм-фактор представляет собой наиболее интерес­ ную величину, получаемую из опытов по неупругому рассеянию электронов. Связь между мнимой частью диэлектрической функ­ ции и динамическим форм-фактором известна (она была полу­ чена Фапо):

Im 1 ■ = — - ^ - { S q И — Sq (— со)).

е (q, ш) hk-

Отметим, что S„ (<о)=0 при со<0, так как для системы в ос­ новном состоянии все частоты возбуждения положительны. Следовательно, энергию взаимодействия можно выразить через e(q, со):

От Евз можно перейти к энергии основного состояния с помощью следующего приема. Рассмотрим вариацию энергии основного состояния по отношению к константе связи а = е2, которая харак­ теризует интенсивность электрои-электронного взаимодействия. Тогда, дифференцируя энергию основного состояния

Поскольку волновые функции Ф'о предполагаются нормиро­ ванными на единицу, последний член в правой части этого выра­

267

о

где £о(0) — энергия основного состояния системы невзаимо­ действующих электронов:

e(q, (о, е2) при всех значениях волновых векторов, частот и кон­ стант связи, то известна и энергия основного состояния системы.

В качестве примера можно рассмотреть случай длинных

Первый член представляет собой нулевую энергию длинноволно­ вых плазмонов, второй — собственную энергию флуктуаций плотности, которые описываются плазмонами. Этот результат можно написать и сразу, если допустить, что в пределе длинных волн динамический форм-фактор определяется плазмонами. Тогда можно было бы считать, что вклад нулевых плазменных колебаний в энергию основного состояния состоит из двух рав­ ных частей — кинетической энергии Йсор/4 и потенциальной энер­ гии^ (Ор/4. ;

268

Сравним результат (24.7) с соответствующей величиной, полученной в приближении Хартри—Фока. Для этого восполь­

соответствующий вклад в энергию основного состояния полу­ чается равным

Таким образом, в пределе длинных волн динамические флук­ туации вносят существенный вклад в корреляционную энергию. Вместе с тем этот расчет показывает, что динамические корре­ ляции приводят к существенному уменьшению среднего квад­ рата флуктуаций плотности Sq по сравнению с его значением в приближении Хартри—Фока. Отметим, что при малых q ре­

в приближении Хартри—Фока и поделить результат на Л/, то получим корреляционную энергию, приходящуюся на один электрон:

269