книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

реляционной энергии, связанная с взаимодействием электронов

сантипараллельными спинами, как бы теряется.

Вмодели Вигнера плотность электронов настолько мала, что амплитуда нулевых колебаний электронной решетки значи­ тельно меньше ее периода. В работе Карра [11] исследовался спектр колебаний такой решетки. Было найдено, что в пределе

больших длин волн спектр колебаний содержит две поперечных

то в случае достаточно низких температур термодинамика вигнеровского кристалла может быть подсчитана как термодина­ мика системы, состоящей из 3N независимых осцилляторов, каждый из которых соответствует нормальному колебанию.

где суммирование проводится по всем 3.V нормальным колеба­ ниям, которые нумеруются индексом а. Член Л/ео представляет собой энергию взаимодействия всех электронов кристалла в по­

метра г.,), от температуры же при заданном объеме ео не за­ висит.

При малых температурах в сумме по а играют роль лишь члены с малыми частотами: h(oa ~ р -1. Эти колебания и пред­ ставляют собой звуковые волны. Длинноволновые колебания можно рассматривать квазиклассически. Тогда число собствен­

250

Вследствие быстрой сходимости интеграла при больших ;3 интегрировать можно в пределах от 0 до оо. Второй член этого выражения отличается от формулы для свободной энергии чер­ ного излучения лишь заменой скорости света с на скорость электронного звука се. Такая аналогия вполне естественна, по­ скольку частота колебаний подчинена тоже линейному закону дисперсии, как и для фотонов, а число поляризаций (число Еетвей поперечных колебаний) в обоих случаях одинаково. Входящий в формулу (22.13) интеграл вычислен в любом учеб­ нике по статистической механике (см., например, [6]). В ре­ зультате

45(йсе)зр4

Следовательно, энтропия определяется выражением

Таким образом, как и в случае обычных кристаллов, при до­ статочно низких температурах теплоемкость кристалла Вигнера должна быть пропорциональна Т3. Однако оказывается, что полная теплоемкость вигнеровского кристалла не определяется на самом деле выражением (22.14); оно является при низких температурах лишь добавкой к основному члену, который и определим сейчас.

В работе Карра [11] спектр колебаний найден без учета поперечных электромагнитных полей, возникающих при этих колебаниях. Учет полей существенно меняет спектр в области малых частот. Чтобы доказать это, можно записать уравнения для смещения электрона из положения равновесия | совместно с уравнением Максвелла для электрического поля Е. В области малых частот эти уравнения можно записать в гидродинамиче­ ском приближении [4]:

где с — скорость света; п — плотность электронов. Отсюда на­ ходим для плоской волны ехр(— 'unt + ikx) дисперсионные соот­ ношения для частот колебаний

где ыр — плазменная частота (со 2 =4лпе2/ т ) .

251

Учитывая, что с^>се, можно найти две ветви дисперсионного уравнения (22.16):

ю2 = с2с ^ 4/со2 + /г2с2. I

При /г<Сюр/с спектр существенно отличается от звукового. Первая ветвь соответствует распространению поперечных све­ товых волн с частотой, большей плазменной. Вторая же ветвь при малых k описывает низкочастотные колебания, энергия которых заключается в основном в упругой энергии в магнит­ ном поле. Только при k^sxup/c эти колебания сводятся к зву­ ковым.

Изменения закона дисперсии колебаний при малых к не­ избежно должны привести к изменению термодинамики элек­ тронного кристалла Вигнера. Подсчитаем ту часть свободной энергии AF, которая обусловлена колебаниями с законом дис­ персии a = ccek2/(i)p [5]. Для этого определим число «нормальных колебаний»

Сделаем замену переменной х=Йсо|3, тогда

где Г(х) и 5(х)— соответственно гамма-функция и функция Римана. При х=5/2

Г(5/2) = (3/4) К я, 5(5/2) ~ 1,341.

252

неровского кристалла, обусловленная рассмотренным механиз­ мом возбуждений, при достаточно низких температурах про­ порциональна T3/z и превышает вклад в теплоемкость, опреде­ ляемый формулой (22.14).

Интересным фактом, вытекающим из дисперсионных соот­ ношений (22.17), является то, что кристалл Вигнера оказывается прозрачным для электромагнитных волн низкой частоты оз<о)р, поскольку можно показать, что в этой области частот диэлек­ трическая постоянная е>0 [4].

§ 23. ЭЛЕКТРОННЫЙ ГАЗ ВЫСОКОЙ ПЛОТНОСТИ. МЕТОД ГЕЛЛ-МАНА И БРАКНЕРА

Существенным шагом вперед в изучении системы взаимо­ действующих электронов явилась теория Гелл-Мана и Бракнера [3, 12]. Эта теория приводит к выражению для энергии основ­ ного состояния плотного электронного газа в виде ряда по ма­ лому параметру rs = [(4/3)ttaon]“1/:1, характеризующему среднее

расстояние между электронами, измеренное в единицах воров­ ского радиуса о0Параметр г$ мал при достаточно высокой плотности электронного газа, значительно превышающей реаль­ ную плотность электронов проводимости в металле. Поскольку параметр rs= r0(mc/h) (e2/h с), т. е. пропорционален е2, то раз­ ложение энергии системы по этому параметру представляет ряд теории возмущений по взаимодействию. Однако, как пока­ зано в § 21, уже во втором порядке теории возмущений по е2 возникает логарифмическая расходимость. Еще более сильная расходимость имеет место в следующих порядках теории воз­ мущений. Заслуга Гелл-Мана и Бракнера состоит в том, что им удалось просуммировать бесконечное число наиболее сущест­ венных членов ряда теории возмущений. Это выборочное сумми­ рование привело к конечному результату.

Проследим общую структуру ряда теории возмущений. Во втором порядке вклад в энергию системы дают прямые и об­ менные процессы виртуального возбуждения пар электрон — дырка. Расходимость в члене, соответствующем прямому про-

253

дессу, когда электрон возбуждается из сферы Ферми и девозбуждается в исходное состояние с одной и той же передачей импульса, возникает формально в результате накопления мно­ жителей k~2. С другой стороны, в члене, соответствующем обменному процессу, расходимости не возникает, поскольку там

на значении kmui = ka. Окончательный результат не должен зави­ сеть от k0.

При рассмотрении членов высших порядков опустим пока числовые множители и будем интересоваться только зависи­ мостью от гх и степенью расходимости различных членов. Рас­ смотрим сначала структуру очень простого класса диаграмм, в ко­ торых число участвующих частиц максимально велико, т. е. равно порядку диаграмм. Наиболее расходящийся член третьего порядка опять соответствует электронным переходам с одной и той же передачей импульса к (рис. 30, а). Этот член описывает

следующий процесс.

Рис. 30. Кольцевые диаграммы третьего и четвертого порядков по константе взаимодействия.

вращается в исходное состояние, где возбуждения отсутствуют. Этот член легко оценить при к->-0. По сравнению с [см. фор­

254

области фазового пространства вследствие принципа Паули. В результате вклад в энергию основного состояния от процесса, представленного диаграммой на рис. 30, а, содержит расходи­ мость второго порядка:

Если рассмотреть диаграмму третьего порядка обменного типа, то для соответствующего вклада в энергию основного состояния получим

Аналогично члены, включающие два обменных процесса рассея­ ния, дадут вклад

Eic) =* rsRy.

Рассмотрим члены четвертого порядка. Слагаемые, учи­ тывающие электронные переходы с одной и той же передачей импульса (эти члены изображаются кольцевыми диаграммами типа показанных на рис. 30,6), дают следующий вклад в энер­ гию основного состояния системы

Члены же, описывающие по одному обменному процессу, дают

процесса, — вклад порядка r~s и т. д.

Таким образом, структура ряда теории возмущений ста­ новится ясной. Наибольшей сингулярностью обладают члены, соответствующие прямым процессам с одинаковой передачей импульса к и изображаемые кольцевыми диаграммами. Следо­ вательно, суммирование этих диаграмм должно внести основной вклад в энергию основного состояния электронного газа. Если при малых значениях гя учесть вклад от кольцевых диаграмм полностью, а в остальных членах сохранить лишь сингулярные вклады, наиболее расходящиеся при малых к, то получим выра­ жение, определяющее корреляционную энергию системы в пре-

255

деле высокой плотности. В этом приближении общая структура разложения для корреляционной энергии по малому параметру гя может быть записана в виде

появляется в связи с учетом отрицательного знака энергети­ ческого знаменателя. Для определения постоянных Сп необхо­ димо просуммировать вклады от всех кольцевых диаграмм до заданного порядка. Гелл-Маном и Бракнером был построен довольно сложный метод суммирования кольцевых диаграмм, несколько отличный от графического метода Фейнмана. Не бу­ дем подробно останавливаться здесь на технике суммирования,

Интеграл no q в выражении (23.2) достаточно сложен для вы­ числения. Однако можно воспользоваться тем, что основной

вклад (помимо Eib) ) соответствует малым значениям q. Это непосредственно следует из формулы (23.1). При п > 3 все инте­ гралы быстро сходятся при q-^oo. Чтобы выделить основную зависимость от q, перепишем первый член (23.2) в виде

где F2(q) описывает вклад второго порядка в корреляционную энергию системы.

Если выделить вклады от двух первых членов в правой части (23.4) при малых q, то эти выражения при q-+оо малы,

256

так как их разность имеет порядок q~2. Поскольку при малых г, основной вклад в интеграл дает область малых q, то верхний предел в первом из интегралов выражения (23.4) можно заме­ нить на произвольное число, много большее rs. Этот предел положим равным единице. По этой же причине можно аппрокси­ мировать разность F—Fz в этом интеграле разностью значений, взятых в пределе малых q. Тогда

Выражение для F(q) при <7—»-0 можно получить, найдя пре­ дельные формулы при <7—>-0 для функции Qq{u). Из выражения

Тогда выражение для корреляционной энергии вместо (23.3)

где через 6 обозначены два последних члена в формуле (23.5). Интеграл в выражении (23.7) теперь легко вычислить. Сделаем

6= 0,0508 было оценено методом Пайнса. (Вычислялась корре­ ляционная энергия во втором порядке теории возмущений. При этом расходимость ликвидировалась путем ограничения q вели­ чиной k0, которая считалась пропорциональной г 'J2.) Оконча­ тельно получим следующий результат для корреляционной энергии электронного газа:

Следовательно, в приближении Гелл-Мана и Бракнера энергия основного состояния электронного газа (на один электрон) имеет вид

Л

Это выражение записано с точностью до отброшенных членов порядка rs и членов более высоких порядков по г.,.

Отметим, что отрицательный знак корреляционной энергии ясен из физических соображений. Действительно, корреляции, обусловленные зарядовым взаимодействием, из-за отталкивания электронов препятствуют их сближению. Это приводит к допол­ нительному уменьшению энергии системы. Появление логариф­ мического члена в разложении энергии кулоновской системы по плотности непосредственно связано с далы-юдействующим ха­ рактером кулоновских сил.

Выражение (23.10)'справедливо при гя<сН, что соответствует случаю слабой связи. Действительно, при этом кинетическая энергия в расчете на одну частицу превышает энергию взаимо­ действия. В этом смысле рассматриваемую систему электронов можно с полным правом называть электронным газом. Разре­ женный электронный газ, рассмотренный в предыдущем пара­ графе, представляет собой, наоборот, систему с сильной связью, которую лишь условно можно называть электронным газом. Между двумя указанными предельными случаями имеется боль­ шая область промежуточной связи. Именно к этой области от­ носятся плотности электронов в реальных металлах. Кинетиче­ ская и потенциальная энергии электронов оказываются здесь одного порядка, так что ни отношение потенциальной энергии к кинетической, ни обратное отношение не могут служить пара­ метрами разложения.

В этой области более справедливо, по-видимому, говорить об электронной жидкости, нежели об электронном газе. Пред­ ставление об области значений гл, где поведение электронов носит «жидкостной» характер, можно получить, сравнивая нуле­

258

поетям электронов проводимости в металлах, скорее всего сле­ дует считать электронной жидкостью.

Теплоемкость. Теплоемкость электронного газа при очень низкой температуре определяется плотностью уровней на по­ верхности Ферми, подсчитанной для невозбужденной системы. Ее значения при достаточно низких температурах (pej?)-1<^l обусловлены чрезвычайно малой плотностью возбужденных уровней по сравнению с плотностью невозбужденных состояний.

Если в качестве невозбужденного состояния рассмотреть заполненную сферу Ферми, то слабое возбуждение системы мож­

а также числом занятых состояний вне сферы Ферми с импуль­ сами к;. Ограничимся рассмотрением таких состояний газа, когда число возбужденных пар мало по сравнению с числом электронов N. При низких температурах только такие возбуж­ денные состояния существенны. Поскольку число возбужденных состояний мало, можно пренебречь их взаимодействием, т. е.

Последним членом в силу сказанного выше можно прене­ бречь. Тогда теплоемкость С на электрон при постоянном объеме системы пропорциональна плотности одночастичных со­

Тогда для теплоемкости свободного электронного газа получим известное выражение (см. § 20), которое удобно переписать в виде:

где Й — постоянная Больцмана; а= (4/9 я )1/2.

Теплоемкость электронного газа со слабым взаимодействием (г.,< 1) можно вычислить по формуле

С (Г, rs) - т ~ 'h2e~* k2T -2 [(dW(p)/dp)p=PF] - \ (23.14)

«ели удастся оценить величину, стоящую в квадратных скобках. Для этого нужно исследовать изменение каждого члена ряда Гелл-Мана и Бракнера для энергии основного состояния в связи

9* 259