книги из ГПНТБ / Клюев, А. С. Автоматическое регулирование

Для обеспечения заданного запаса устойчивости по фазе у (см. рис. 5-8) необходимо, чтобы АФХ разомкну­ той системы W(ja) проходила через точку D2 пересече­ ния луча OD2, проведенного из начала координат под углом у к вещественной отрицательной полуоси, с ок­ ружностью единичного радиуса, имеющей центр в на­ чале координат. Этому условию удовлетворяет характе­ ристика Wi(jсо) на рис. 5-8.

Если при заданном запасе устойчивости по фазе у характеристика W(ja>) пересекает луч OD2 левее точки Dz, то при появлении в системе возмущения по фазе, равного у, и неизменном модуле |1^(/со)| характеристи­ ка будет охватывать точку В (—1, /0) и, следовательно, система будет неустойчивой.

Если W(jt0 ) пересечет луч OD2 правее точки D2, то при появлении в системе такого же возмущения харак­ теристика W(jсо) пройдет правее точки В( —1, /0) и в этом случае система сохранит некоторый запас устой­ чивости. Такова характеристика W2(ju>) на рис. 5-8.

Таким образом, точка D2 (—cosy, —/s in у) полно­ стью характеризует запас устойчивости системы по фазе.

Система будет иметь требуемый запас устойчивости

по фазе у при W (/со) =D20. Так как .

DzO = (—cos у—/ sin у),

то условие необходимого запаса устойчивости по фазе запишется как

Если требуется, чтобы система имела необходимые запасы устойчивости по модулю с и фазе у при условии, что возмущающие воздействия на систему по модулю и фазе не совпадают по времени, то система должна удовлетворять условиям (5-11) и (5-13).

Если система удовлетворяет условиям (5-11) и (5-13), но возмущающие воздействия по модулю и фазе появляются в ней одновременно, то эти условия недо­ статочны для обеспечения заданных запасов устойчи­ вости ее по модулю и фазе. В этом случае появление возмущения по фазе у можно представить

250

па рис. 5-8 как поворот луча OD2 вместе с точкой пере­ сечения его с характеристикой W(ja>) на угол у по часовой стрелке, т. е. до совмещения его с отрицательной полуосью. Чтобы при этом обеспечить также и заданный запас устойчивости по модулю с, необходимо, чтобы точ­ ка пересечения характеристики W (jсо) с лучом ODz сов­ местилась с точкой D1 .

Следовательно, для одновременного обеспечения за­ данных запасов устойчивости по модулю и фазе необхо­ димо, чтобы характеристика W(ja) прошла через точку пересечения луча OD2 с окружностью радиуса і?=1—с, центр которой совпадает с началом координат (точка D3[— (1—с)cosy, —/(1—с)sin у] на рис. 5-8).

Условие обеспечения необходимых запасов устойчи­ вости по модулю с и фазе у при одновременно возни­ кающих воздействиях по модулю и фазе запишется так:

W(ju>y=D30.

Так как

D30 = — (1—с) (cos у+ / sin у),

то окончательно получим:

в) Выделение в плоскости параметров настройки регулятора области с заданными запасами устойчивости по модулю и фазе

При настройке АСР с целью обеспечения требуемых качественных показателей элементами настройки, как правило, являются параметры регуляторов. В связи с этим определим пределы возможных настроек регуля­ торов, обеспечивающих одновременно требуемые запасы устойчивости системы по модулю, и фазе.

Согласно (2-73) для разомкнутой системы

Амплитудно-фазовые характеристики объекта и регу­ лятора через их вещественную и мнимую части запишут­ ся как

251

Если параметры настройки регулятора ѵ и г) входят линейно соответственно в действительную и мнимую ча­ сти характеристики Wp(jio), а именно:

Нр(со) =ѵРр(ш) и Т/р(со) =iiQp(co),

то АФХ регулятора может быть представлена в виде

ИМ/ш)=ѵ/?Р(и)+/ті<Зр(со). (5-17)

Подставив выражения (5-16) и (5-17) в формулу (5-15), получим:

W(ja) =[ѵП00(со)/?р(м)—ііІ/об(ю)(?р(со)]+

Подставив это значение W(ju>) в формулу (5-11) и приравняв нулю отдельно действительную и мнимую ча­ сти, получим:

1—с + V Поб(ев) Rp(ш) —г)Ѵоб (со) Qp(со) = 0;

Л П0б(со)Рр(со) +ѵУоб(со)7?р(со) =0.

Решая эту систему уравнений, находим границу об­ ласти с необходимым запасом устойчивости по модулю в плоскости параметров настройки регулятора:

Подставив значение W(joi) в формулу (5-12) и при­ равняв нулю действительную и мнимую части, получим:

cos Y+V t/об (со) Rp (со) —л Ѵоб (со) Qp (со) =0;

sinу+ѵУоб(со)^р(со) -H£7O6(W)QP (G)) =0.

Решая эту систему уравнений, находим границу об-, ласти с необходимым запасом устойчивости по фазе в плоскости параметров настройки регулятора:

[^обН + ^об HlQp И

252

При заданных запасах устойчивости по модулю с и фазе у качество системы определяется расположением

Подставляя ее значение в (5-15), имеем:

Щ /ю )= М 7 оВ(/ш).

Из этого выражения следует, что при применении для целен регулирования П-регулятора АФХ разомкнутой си­ стемы получается путем умножения каждого вектора АФХ объекта на коэффициент усиления регулятора без изменения его фазы. В связи с этим для обеспечения за­ паса устойчивости по модулю, равного с, найдем значе­ ние коэффициента усиления регулятора из уравнения

WUoa)=kp.cOAz = O D l.

система будет иметь запас устойчивости по модулю, рав­ ный с.

При kp>kp.c кривая W (jсо) будет охватывать точку Di и пересечет вещественную ось на расстоянии отточки В (—1, /0), меньшем чем с; следовательно, в таком слу­ чае система будет иметь запас устойчивости по модулю меньше заданного.

Коэффициент усиления регулятора при необходимом

Коэффициент усйления, обеспечивающий одновремен­ но необходимые запасы устойчивости по модулю с и фазе у, определяется по формуле

254

Если запас устойчивости по модулю рав’ен нулю, то характеристика W (jсо) пройдет через точку В (—1, у0). Система будет па границе устойчивости. Критический коэффициент усиления регулятора при этом будет равен:

Коэффициент усиления регулятора, обеспечивающий требуемый запас устойчивости с по модулю, связан с критическим коэффициентом усиления, при котором система находится на границе устойчивости, очевидной зависимостью, вытекающей из формул (5-26) и (5-29):

Из формул (5-27) и (5-28) вытекает, что

Іг[,с І = ([ ~ с) крг

Подставив в это выражение величину (1—с) из урав­ нения (5-30), получим:

Система с Н-регулятором. Согласно зависимостям (2-60) и (3-46) АФХ И-регулятора имеет вид:

. is

(5-32)

Подставив это значение Wv (jсо) в выражение (5-15), получим:

. Т5

Таким образом, при подключении к объекту И-регу­ лятора АФХ разомкнутой системы получается путем умножения каждого вектора АФХ объекта на отноше­ ние коэффициента усиления регулятора к соответствую­ щей частоте и поворота его на 90° по часовой стрелке.

Найдем отсюда значение коэффициента усиления И-регулятора (рис. 5-11), обеспечивающее требуемый за­ пас устойчивости по модулю:

255

откуда

При этом коэффициенте усиления и іювернутой на 90° по часовой стрелке характеристике Wo5(jco) харак­ теристика замкнутой системы \Ѵ(/со) пройдет через точку

D1 и система будет иметь запас устойчивости по модулю,

Если запас устойчивости по модулю равен нулю и си­ стема находится на границе устойчивости, то из (5-34) найдем критическое значение коэффициента усиления:

256

Сравнивая АФХ П-регулятора, И-регулятора и ПИ-регулятора [формулы (5-25), (5-30) и (5-38)], видим, что ПИ-регулятор в динамическом отношении эквива­ лентен П-регулятору с коэффициентом усиления kp и И-регулятору с коэффициентом усиления &р/Гц, соеди­ ненным параллельно.

Подставив И7р(/со) из выражения (5-38) в формулу (5-15), получим:

или, если учесть зависимость (5-32),

w (/со) = kpw 06 (/со) + т иѴ ^ о б (/со) е~‘ т .

Следовательно, каждый вектор АФХ разомкнутой системы, например вектор, построенный для частоты со*, может быть получен из АФХ объекта (рис. 5-12) как сумма двух взаимно перпендикулярных векторов:

ОВк= kpOAk и BhDh= 7 ншв OAfcе 2 . Модуль вектора OB при данной частоте определяется

коэффициентом усиления kv, а модуль вектора BhDh по­

мимо kp, также и постоянной времени Тж.

Для обеспечения заданного запаса устойчивости с по модулю при различных соотношениях коэффициента усиления регулятора kv и постоянной времени Гц необ­ ходимо (рис. 5-13), чтобы АФХ разомкнутой системы проходила через точку Ді[(с—1), /0]. Следовательно,

щих требуемый запас устойчивости с по модулю, вектор

BhDh (рис. 5-12) должен упираться в точку Di (рис. 5-13). Тогда запас устойчивости будет обеспечен при частоте сщ. Это же условие должно быть соблюдено для всех векторов характеристики WOÖUUK), т. е. для всех частот шл.

Все векторы, определяемые только параметром кѵ, образуют с векторами, определяемыми, кроме того, еще

■/

%ь(М

Рис. 5-13. К определению областей с не­ обходимым запасом устойчивости в плоско­ сти параметров настройки ПИ-регулятора по АФХ объекта.

и параметром Тт углы 90°, опирающиеся на отрезок ODі, этот отрезок является диаметром окружности (рис.5-13), на которой лежат вершины упомянутых прямых углов.

Значения параметров настройки регулятора kv и Тл, обеспечивающие требуемый запас устойчивости по моду­ лю с, определяются из уравнения

258

откуда вытекает, что

чений частоты, получим в плоскости параметров настрой­ ки ПИ-регулятора границу kv.0= f(Tu.c) области, в кото­ рой запас устойчивости по модулю будет не меньше за­ данной величины с.

Так как точка Dz определяет запас устойчивости по фазе, то, построив окружность на отрезке СШ2 аналогич­ но тому, как это делалось для отрезка ODi, получим зна­ чения параметров настройки регулятора, обеспечиваю­ щие требуемый запас устойчивости замкнутой системы

По этим значениям /грт и Тщ, подсчитанным для ряда

частот, можно построить в плоскости этих параметров границу области, в которой запас устойчивости по фазе будет не меньше заданного значения у.

Так как точка D3 определяет одновременно заданные запасы устойчивости по модулю и фазе, то, построив по­ добно предыдущему окружность на отрезке OD3, как на диаметре, получим:

По этим выражениям для ряда частот определяются точки, по которым в плоскости этих параметров строится граница области, в которой одновременно обеспечива­ ются запасй устойчивости по модулю и фазе не ниже заданных с и у.