книги из ГПНТБ / Комиссаров, Э. С. Техника вычислений и механизации вычислительных работ учебник для кооперативных техникумов

возникает необходимость умножить приближенное число с большим количеством десятичных знаков на точный мно­ житель с заданной точностью произведения. Возникает

вопрос, сколько десятичных знаков нужно оставить в при­

ближенном числе, чтобы обеспечить заданную точность

произведения. Это зависит от заданной точности и числа

цифр в целой части точного множителя. Пусть нужно по­

лучить с точностью до 0,01 произведение следующих чисел:

2,17352637-8. Произведение можно рассматривать как сумму восьми одинаковых слагаемых. Так как произведе­

ние надо найти с точностью до 0,01, то погрешность его должна быть не больше 0,005. Эта погрешность есть резуль­

тат сложения восьми одинаковых погрешностей слагаемых.

слагаемого будет меньше 0,0006, в том числе данное число

если взять с тремя десятичными знаками, т. е. 2,174-8 = =17,392= 17,39. Умножение с сохранением всех знаков дает

17,38821096; округлив до 0,01, получаем 17,39. Результат

тот же, а экономия времени и сил очевидна.

Проверив так же расчет при заданной точности произ­ ведения 0,001 и т. д., когда количество цифр в целой части точного множителя равно 2,3 и т. д., придем к выводу, что при умножении приближенного числа на точное с заданной точностью произведения в приближенном числе следует

оставить столько десятичных знаков, сколько цифр в це­

заданной точностью произведения. Пусть нужно найти про­

изведение чисел 82,3746524-9,467314 с точностью до 0,01.

Приняв один из сомножителей за точное число, применим

правило умножения приближенного числа на точное с за­

данной точностью произведения. Будем считать второй

сомножитель точным числом, тогда в первом сомножителе следует оставить три десятичных знака (так как в целой части точного числа одна цифра и в заданной точности про­

изведения 0,01 два десятичных знака). Всего в округлен­

ном первом сомножителе будет пять цифр, столько же их оставим и во втором сомножителе. Произведение округля­

ем до 0,01. Получаем 82,375-9,4673 = 779,8688375 = = 779,87.

40

Можно рекомендовать сокращенный способ умножения приближенных чисел с заданной точностью произведения.

82,375-9,4673

82375-9=741375

8238-4= 32952

779,869=779,87

Рассуждаем так: в произведении цифра сотых должна быть верной. На количество сотых долей влияет цифра ты­ сячных. Если цифра тысячных будет меньше 5, цифра со­ тых остается без изменения, в противном случае цифру со­

тых увеличиваем на одну единицу. Очевидно, цифру деся­ титысячных и менее знать не обязательно. Поэтому будем

умножать цифры данных чисел, которые в произведении дают тысячные доли и выше. На первую цифру множителя

(9) нужно умножить все цифры множимого, так как еди­ ницы при умножении на тысячные доли в произведении дают тысячные доли. Умножаем 82375 • 9 = 741375; полу­

чим первое частное произведение, в котором последняя цифра 5 обозначает тысячные доли. Следующую цифру

множителя (4 десятых), очевидно, умножать на тысячные доли (5) множимого не следует, так как в произведении получаются десятитысячные, которые нам не нужны. По­ этому во множимом отбрасываем цифру тысячных, соблю­ дая правило округления и умножаем 8238 ∙4 =32952. Последняя цифра 2 этого произведения получилась от ум­

ножения 8 сотых на 4 десятых, следовательно, она имеет

значение тысячных долей, поэтому ее подписываем под

цифрой 5. Рассуждая аналогично, придем к выводу, что при умножении на следующую цифру множители (6 сотых)

нужно умножить только десятые и высшие разряды мно­

жимого. И так производим умножение на каждую следую­

щую цифру множителя, отбрасывая по одной цифре мно­

жимого.

Правило. При умножении двух приближенных чисел с большим числом десятичных знаков и с заданной точностью произведения нужно в одном из сомножителей оставить

столько десятичных знаков, сколько цифр в целой части второго сомножителя и еще столько, сколько десятичных

41

знаков в заданной точности произведения, а во втором оста­

вить столько значащих цифр, сколько их получилось в

округленном первом сомножителе.

Умножение и деление приближенных чисел с небольшим количеством значащих цифр. При умножении и делении приближенных чисел подсчет точности данных и результа­ тов действий ведется не по количеству десятичных знаков,

а по числу значащих (верных) цифр. При этом точность,

как указывалось выше, определяется числом значащих

цифр. Можно показать, что при умножении и делении при­

ближенных чисел, в результате будет не больше значащих цифр, чем их имеет менее точное данное.

Пример. Определить площадь торгового зала ма­

газина, если его длина 15,75 м, а ширина 9,25 м. Все циф­ ры данных чисел значащие. Площадь определяем умно­

жением 15,75-9,25 — 145,6875. В произведении семь цифр,

но только первые три будут значащими, остальные нужно отбросить. Искомая площадь 146 кв. м.

Если одно из чисел при умножении или делении содер­

жит больше значащих цифр, чем другое, то в более точном

числе берем на один знак больше, чем их в менее точном и в результате оставляем столько значащих цифр, сколько их в менее точном данном.

Пример. 83,535-2,7. Первый сомножитель округля­

ем до трех значащих цифр (83,5-2,7 = 225,45). Произведе­

ние округляем до двух значащих цифр 230. Соблюдая пра­

вило записи приближенных чисел, произведение должны

записать 0,23 тыс.

Пример. Найти частное приближенных чисел

56,2138 : 32,7 = 56,21 : 32,7 = 1,72. Делимое округлили

до 4-х значащих цифр, в частном оставили три значащие

цифры.

Деление многозначных чисел с заданной точностью ре­ зультата. Деление выполняем в следующем порядке.

1.Определяем количество всех знаков в частном (целых

идесятичных).

2.В делителе берем на одну цифру больше, чем их должно быть в частном.

3.В делимом берем столько цифр, чтобы можно было

получить первую цифру частного.

4.Деление производим обычным путем до получения требуемой цифры частного.

42

Пример. Найти с точностью до 0,1 частное от деления чисел: 6532575 : 138263,81. .

Решение. Сначала определяем порядок частного: 7 — 6 + 1 =2. C учетом заданной точности находим, что

вчастном будет всего 3 цифры. В делителе берем 4 знака,

вделимом возьмем тоже 4 знака и будем делить 6533 на 1383

до получения трех цифр в частном, не обращая внимания

на запятые, так как порядок частного определили раньше.

Ответ: 47,2.

Можно рекомендовать сокращенный способ деления,

который заключается в том, что для получения второй циф­

ры частного делим первый остаток на «укороченный» на

одну цифру делитель. Для получения следующей цифры частного делим новый остаток на делитель, еще «укорочен­

ный» на одну цифру.

Пр и м е р. Найти с точностью до 0,01 частное от деле­

ния чисел 3893,95378218 : 74,8367253.

лителе пять цифр (две цифры в целой части и два десятич­ ных знака), в делимом, чтобы получить первую цифру част­ ного, надо взять шесть цифр и деление производить, как

было сказано выше. На запятые не обращаем внимания,

так как порядок частного уже определен.

Последний остаток меньше половины последнего делителя, поэтому последнюю цифру частного оставляем без изме­

нения. C учетом порядка частное будет 52,03.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ и УПРАЖНЕНИЯ

1.В каких случаях получаются приближенные числа?

2.Сформулируйте правило округления чисел. В чем различие между

округлением целых чисел и округлением десятичных дробей?

3.Что называется абсолютной погрешностью приближенного числа, границей абсолютной погрешности?

45

Глава IV

ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

§1. Понятие о проценте

Впрактике вычислений используются так называемые абсолютные и относительные числа. Абсолютные числа

выражают значения величин без сравнения их с другими

величинами и обычно сопровождаются названиями опреде­ ленных единиц измерения. Например, фактический оборот

предприятия, необходимо сравнить одни числа с другими. Сравнение чисел можно осуществить путем нахождения раз­

ности чисел и путем нахождения их отношения.

Пример. Первый магазин перевыполнил план това­ рооборота за месяц на 4 тыс. руб., а второй на 4,8 тыс. руб.

Какой магазин работал лучше? На первый взгляд кажется,

что второй, так как у него перевыполнение плана больше

на 0,8 тыс. руб. (4,8 — 4).

Однако разностное сравнение ничего не говорит о качест­

ве работы магазинов, так как нужно еще знать, какую часть составляет перевыполнение от планового оборота каждого

магазина. Пусть плановый оборот первого магазина был

80 тыс. руб., а второго 120 тыс. руб. Тогда перевыполнение

зин работал лучше, '

45

Числа ɪ и -ɪ- являются относительными, они полу-

20 25

чились в результате сравнения двух чисел путем нахожде­

ния их отношения.

Отношением двух чисел называется частное от деления одного числа на другое, показывающее, какую часть вто­ рого числа составляет первое, если отношение меньше еди­ ницы, и во сколько раз первое число больше второго, если отношение больше единицы. Если отношение двух чисел

равно единице, то числа равны между собой.

Находить отношение двух чисел можно только тогда, когда они выражены в одинаковых единицах измерения. В то же время само отношение является безразмерной величиной, т. е. отвлеченным числом. При нахождении от­ ношения двух чисел всегда делят на то число, с которым

происходит сравнение. Это число называют базисным, или начальным. Определить, какое число является базисным,

можно исходя из условий конкретной задачи.

Чтобы относительные числа были удобны для сравне­

ния, их обычно выражают в виде десятичных дробей со зна­

менателем 100, реже со знаменателем 1000, т. е. в сотых или тысячных долях. Сотые доли называются процентами и обозначаются знаком %, тысячные доли называются про­ милле и обозначаются знаком 0∕00. В приведенных выше

или 5%, а второго четыре сотых, или 4%, от оборота каж­

дого магазина.

Проценты широко применяются в практике вычислений при анализе деятельности предприятий. В процентах вы­ ражают степень выполнения плана, рост производитель­

ности труда, снижение себестоимости, торговые скидки и накидки, нормы естественной убыли товаров, уровень из­

держек обращения и т. д.

Между процентами и относительными числами сущест­

вует зависимость: любое количество процентов можно вы­ разить в виде числа, и, наоборот, любое относительное

число можно выразить в виде процентов.

Чтобы проценты выразить в виде числа, достаточно ко­ личество процентов разделить на 100. Из определения вид­ но, что проценты есть не что иное, как особый способ за­

46

писи десятичных дробей со знаменателем 100, поэтому:

27% = ɪ = 0,27; 145% = 1,45; 0,08% =^ = 0,0008.

Чтобы число выразить в процентах, нужно умножить

его на 100. Так, 0,84 =84%; 2,56 =256%; 0,125 = 12,5%

ит. д.

Впроцентных вычислениях имеются три вида величин:

начальное число, процентная такса и процентная сумма.

Начальным числом называется число, принимаемое за 100%; или, что то же самое, число, от которого находится один или несколько процентов. Процентной таксой назы­

вается количество сотых долей, т. е. количество процентов.

Процентной суммой называется число, составляющее один или несколько процентов начального числа.

Далее начальное число будем обозначать буквой а,

процентную таксу буквой р, процентную сумму — Р.

Имеются три основных типа задач на процентные вычисле­

ния.

1.Нахождение процентной суммы от начального числа

по данной процентной таксе.

2.Нахождение начального числа по процентной сумме

ипроцентной таксе.

3.Нахождение процентной таксы (процентного отно­ шения) по процентной сумме и начальному числу.

центную таксу.

47

Пример 1. Найти 18% от 500 руб. Находим 1% от

Пример 2. План товарооборота магазин перевы­ полнил на 6,5%. Найти сумму перевыполнения, если пла­

новое задание составляло 40 000 руб.

6,5%—это процентная такса, 40 000 руб.—началь­ ное число. Сумма перевыполнения является процентной

суммой, которую находим по формуле (1.2)

Процентную сумму в некоторых случаях можно найти проще и быстрее, чем по формуле (1.2), заменяя процент­ ную таксу обыкновенной или десятичной дробью или пред­

ставляя данную процентную таксу в виде суммы или раз­

ности двух других такс, более удобных для вычислений.

При этом вычисления производятся устно.

Примеры. 1. 10% от начального числа находят пу­ тем деления его на 10, так как 10% = -ɪθ; 10% от 84 руб. —

=8,4 руб. = 8 р. 40 к.

2.5% находят как половину 10%, т. е. сначала находят

10% числа, полученный результат делят на 2. Найти 5%

от 6 руб.; сначала находим 10% от 6 руб., получим 60 коп.,

часть числа. Найти 20% от 16 р. 50 к. Находим 10% от

(16 р. 50 к. : 5 = 3 р. 30 к.).

4. 25% =-|—. поэтому для нахождения 25% достаточ­

но число разделить на 4.

5. 50% —это половина числа, следовательно, для на­

хождения 50% числа достаточно разделить его на 2.

ɜ

6. 75% = —, следовательно, для нахождения 75% от

48

з

числа достаточно найти — его, т. е. разделить на 4 и резуль­

тат умножить на 3 (75% от 120 = 120: 4 ∙3 = ЗО ∙3 = 90).

10. Найти 27,5% от 80. Представим 27,5% как сумму

25% + 2,5%. Найдем 25% от 80; 80 : 4 = 20; если на 25%

приходится 20, то на 2,5% придется в 10 раз меньше,

т. е. 2, поэтому 27,5% от 80 будет 20 + 2 = 22.

§ 3. Нахождение начального числа

Задача. Найти число, если 15% его составляют 45 м.

Решение. Здесь 15% — процентная такса. Из ус­ ловия задачи следует, что если найти 15% от неизвестного

числа, то получим 45 м. Следовательно, неизвестное число

является начальным числом, а 45 м — процентной суммой. В этой задаче надо найти начальное число по процентной сумме и процентной таксе. Рассуждаем так: 45 м — это

15% начального числа, тогда на 1% начального числа при­ дется в 15 раз меньше, т. е. 45 м : 15 = 3 м, а так как на­

чальное число составляет 100%, то оно будет в 100 раз

больше —3 4i∙100 = 300 м. Для проверки найдем 15% от 300 м ,(300 м : 100-15 =45 м, что соответствует условию задачи).

Чтобы найти начальное число по процентной сумме и процентной таксе, надо процентную сумму разделить на

процентную таксу (чтобы найти 1%) и умножить на 100.

Правило можно записать в виде формулы:

P

49