книги из ГПНТБ / Комиссаров, Э. С. Техника вычислений и механизации вычислительных работ учебник для кооперативных техникумов

Глава II

УПРОЩЕННЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

§ 1. Понятие об упрощенных вычислениях

Существует много приемов упрощенных вычислений.

Все эти приемы можно объединить в две группы: общие и

специальные. Общие приемы основаны на законах арифме­

тических действий и вытекают из десятичного состава

числа. Они могут быть применены к любым числам. Специальные приемы применяются к определенным числам

и действиям. Суть упрощенных приемов заключается в том,

что данные действия или данные числа заменяем другими,

более простыми и менее трудоемкими. В отличие от пись­

менных, которые обычно начинаются с единиц низшего

разряда, устные и сокращенные вычисления, как правило,

начинаются с единиц высшего разряда. В то время, как приемы письменных вычислений однообразны и шаблонны,

устные и сокращенные вычисления отличаются большим

разнообразием.

Следует отметить, что приемы и способы сокращенных

вычислений нужно широко применять не только в устных и письменных вычислениях, но и при работе на счетных

машинах.

При упрощенных вычислениях часто используется круг­

лое число. Поэтому, прежде чем перейти к рассмотрению

приемов сокращенных вычислений, напомним, что круглы­

ми числами называются числа, оканчивающиеся одним или несколькими нулями. Например: 60; 100; 800; 1430; 7000.

Любые числа можно представить в виде суммы или разнос­ ти двух других чисел, из которых первое число будет круг­ лым. Например: 43 = 40 + 3; 57 =60 — 3; 98 = 100 — 2; 307 = 300 + 7 или 310 — 3. Разность между круглым

іо

ницы, то такое дополнение называется арифметическим.

Например, для числа 84 ближайшая высшая разрядная

быстро найти арифметическое дополнение данного числа,

нужно каждую цифру числа, кроме последней, дополнить

до 9, а последнюю — до 10. Например для числа 74 386:

дополняя цифру 7 до 9, получаем 2, цифру 4 до 9, получаем

5, цифру 3 до 9, получаем 6, цифру 8 до 9, получаем 1, а

последнюю цифру 6 дополняем до 10 и получим 4. Арифме­ тическим дополнением числа 74 386 будет 25 614.

Рассмотрим основные приемы сокращенных вычисле­ ний.

§ 2. Упрощенные приемы сложения

Сложение с представлением одного из слагаемых в виде суммы двух чисел, из которых одно дополняет первое слагае­ мое до круглого числа.

Примеры: 37 + 8 = 37 + (3 + 5) = 37 + 3 +5 =

= (37 + 3) + 5 = 40 + 5 = 45; 836 + 278 = 836 + 164+

+114 = 1000 + 114 = 1114.

Поразрядное сложение. Оно может быть выполнено дву­

мя способами. При первом способе ко всему первому сла­ гаемому поразрядно прибавляем второе слагаемое.

Пример. 435 + 352 = 435 + 300 + 50 + 2 = 735+

+ 50 + 2 = 785 + 2 = 787.

При втором способе оба слагаемых представляем в

виде суммы счетных единиц их разрядов. Пользуясь соче­

тательным и переместительным свойствами суммы, склады­ ваем одноименные разряды, начиная с высших.

Пр и м е р. 537 + 849 = 500 + 30 + 7 + 800 + 40 +

+9 = (500 + 800) + (30 + 40) + (7 + 9) = 1300 + 70+

+16 = 1386.

Первый способ порязрядного сложения применяется

при вычислениях на счетах, второй — чаще в устных вы­

числениях.

H

Сложение с помощью круглых чисел. Этот способ приме­

няется, когда хотя бы одно из слагаемых является числом,

близким к круглому, и основан на свойстве суммы: если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на несколько

единиц, то сумма соответственно увеличится или умень­ шится на столько же единиц.

Пример. 326 4- 97 = 423. Здесь второе слагаемое близко к 100. К первому слагаемому прибавляем 100 и

от полученной суммы 426 вычитаем дополнение 3.

Если несколько слагаемых близки к круглым числам,

их заменяют круглыми числами, складывают и от суммы

жение начинаем с нахождения суммы дополнений 6+13 +

÷ 3 =22, затем к 248 прибавляем круглые числа и от суммы вычитаем 22.

Способ круглого числа применяется и в другом вариан­ те, когда дополнение вычитается не из суммы, а из других

слагаемых. Основан он на свойстве: сумма не изменится,

если одно из слагаемых увеличить (уменьшить), а другое

уменьшить (увеличить) на столько же единиц. Пример. 648 + 275. Второе слагаемое дополняем

до круглого числа, прибавив к нему 25, а чтобы сумма не

основан на переместительном и сочетательном законах сложения и применяется при сложении нескольких чисел, когда некоторые слагаемые дают в сумме круглые

числа.

Пример. 18 + 37 + 15 + 32 + 53 = (18 ÷ 32) ÷

+ (37 + 53) + 15 = 50 + 90 + 15 = 155.

Группировать можно не только слагаемые, но и отдель­

ные разрядные числа слагаемых.

Пример. 38 + 56 + 42 + 74 = (30 + 70 + 50 +

+40) + (8 + 2 + 6 + 4) = 190 + 20 = 210.

Приведенными приемами пользуются обычно в устных

вычислениях. Ими можно пользоваться и при сокращенном письменном сложении.

Например, при сложении столбиком полезно пользо­ ваться поразрядным способом, производя отдельную

12

запись суммы цифр одного и того же разряда с последую­ щим сложением полученных сумм.

Пример.

8348

7564 H- 1827 3569 4283

H- 23 23 26 31

25591

Или, начиная с единиц низшего разряда:

31

26

23

23

25591

§ 3. Упрощенные приемы вычитания

Вычитание с представлением вычитаемого в виде суммы

нескольких слагаемых. Этот способ основан на правиле:

чтобы из числа вычесть сумму, можно из этого числа вы­ честь последовательно каждое слагаемое.

Пример. 72 — 8 = 64. Представим 8 в виде суммы 2 6 и из 72 вычтем сначала 2, а затем 6: 72 — 2 — 6 = = 70 — 6 = 64; 236 — 43 = 236 — (36 + 7) = 236 - 36 -

— 7 = 200 — 7 = 193.

Поразрядное вычитание. Способ заключается в том, что из уменьшаемого последовательно вычитаются разрядные единицы вычитаемого, начиная с единиц высшего разряда, и основан на правиле вычитания суммы из числа.

13

на правиле: если вычитаемое увеличить на несколько еди­ ниц, то разность уменьшится на столько же единиц, и при­

меняется в случаях, когда вычитаемое близко к круглому

числу.

Пример. 853 — 94. Дополняем вычитаемое до круг­

лого числа и от 853 вычитаем 100; полученная разность 753 является уменьшенной на 6 единиц. Следовательно, раз­

ность искомых чисел будет на 6 единиц больше: 753 + 6 =

— 759. Итак, если вычитаемое близко к круглому числу

и меньше его, вычитают круглое число и к разности прибав­

ляют дополнение.

Способ круглых чисел можно использовать и в другом

варианте, основываясь на свойстве: если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц,

то разность не изменится.

Пример. 735 — 386. К уменьшаемому и вычитае­ мому прибавим по 14, и вычитание данных чисел заменяем вычитанием других: 749 — 400 = 349. Итак, если вычитае­ мое близко к круглому числу, к вычитаемому и уменьшае­

мому прибавляем дополнение до круглого числа и произво­ дим вычитание круглого числа. .

Замена вычитания сложением. Способ основан на опре­

делении действия вычитания.

Пример. 148 — 56. Нужно найти число, которое в

сумме с числом 56 даст 148. Подбираем его по частям: сна­ чала к 56 прибавляем 4, дополняя его до ближайшего круг­ лого числа 60, затем 60 дополняем до 100, прибавляя еще

вых организациях, например при определении сдачи.

Допустим, товар.стоит 8 р. 65 к., а в уплату дано 25 руб. Размер сдачи находим вычитанием 25 руб. — 8 р. 65 к.,

заменяя его сложением. Дополняем 8 р. 65 к. сначала до

14

9 руб. —это будет 35 коп., затем до 10 руб., еще 1 руб. и,

наконец, дополняем до 25 руб., это 15 руб. Тем самым вы­ читание мы заменили сложением: 35 коп. ÷ 1 руб. +

+15 руб. = 16 р. 35 к.

Замена вычитания вложением арифметического допол­

числа вычесть разность, можно к данному числу прибавить вычитаемое и отнять уменьшаемое.

заменить сложением арифметического дополнения с после­

дующим вычитанием соответствующей дополнению разряд­

ной единицы.

Приведенные приемы используются и при письменном вычитании:

Пример.

93578

24736

68842

Уменьшаемое рассматриваем как сумму, вычитаемое и искомую разность — как слагаемые, тогда вычитание сво­

дится к сложению, т. е. находим число, которое нужно прибавить к вычитаемому, чтобы получилось уменьшаемое.

Действие начинаем с единиц низшего разряда. Чтобы полу­ чить 8, нужно к 6 прибавить 2. Цифра 2 будет цифрой еди­

ниц разности. Аналогично найдем цифру десятков разнос­

ти: чтобы получить 7, к 3 нужно прибавить 4. Цифра 4 будет цифрой десятков разности. Цифра сотен вычитаемого

(7) больше соответствующей цифры уменьшаемого (5), по­ этому к сотням вычитаемого прибавляем такое число, чтобы получилось наименьшее число, оканчивающееся на 5. Та­ ким числом будет 8, так как 7 + 8 = 15. Пишем цифру 8

под сотнями, а получившуюся цифру десятков (1) прибав­

ляем к цифре тысяч вычитаемого (не забудем, что вычитае­ мое рассматривается, как одно из слагаемых): 4+1 =5.

Далее находим число, которое нужно прибавить к 5, чтобы получить наименьшее число, оканчивающееся на 3, это будет 8 (5 + 8 = 13). Цифру 8 пишем под тысячами. Цифру

15

десятков (1) прибавляем к цифре десятков тысяч вычитае­ мого: 2+1 — 3, и чтобы получить цифру десятков тысяч

уменьшаемого (9), нужно к 3 прибавить 6. Цифра 6 будет цифрой десятков тысяч разности, а вся разность составит

68 842.

§ 4. Упрощенные приемы умножения

Умножение на 10, 100, 1000 и т. д. Чтобы умножить

на эти числа, достаточно приписать к множимому соответ­ ственное количество нулей (1, 2, 3 и т. д.) или перенести запятую на такое же количество знаков вправо.

Примеры. 584 • 100 = 58 400; 7,34 • 10 — 73,4;

4,48 • 1000 = 4480.

Умножение на О,Г, 0,01-, 0,001 и т. д. Чтобы умножить

на эти числа, достаточно перенести запятую влево на 1,2, 3

и т. д. знаков.

при устном умножении двухили трехзначных чисел на однозначное число, он основан на распределительном свой­

стве умножения: чтобы умножить сумму (разность) на число,

можно умножить каждое слагаемое (уменьшаемое и вычи­

также основан на распределительном свойстве умножения.

ким образом, если множитель близок к круглому числу,

множимое умножают на круглое число и из полученного

результата вычитают произведение множимого на допол­ нение.

Способ разложения одного из сомножителей на кратные части. Этот способ также основан на распределительном свойстве умножения и применяется в том случае, если один из сомножителей изображен одинаковыми цифрами.

16

дет в 10 раз меньше — 960 и 96, полученные произведения складываются. Этот способ широко применяется не только в устных вычислениях, но и при вычислениях на контор­ ских счетах.

Умножение на 5; 50; 500; 0,5. Каждое из этих чисел мож­ но представить в виде дроби, числитель которой изобра­ жается единицей с нулями, а знаменатель равен 2. Дейст­

Пример. 3,48 «50 = 348 : 2 = 174.

Чтобы умножить число на 500, можно умножить его на

1000 и разделить на 2.

Пример. 83,5 -500 = 83 500 :2 =41 750.

Чтобы умножить число на 0,5, достаточно разделить его на 2.

Пример. 542-0,5 =542:2 =271.

Умножение на 25; 250; 2,5; 0,25. Каждое из этих чисел

можно представить в виде дроби, в числителе которой еди­

Отсюда .вытекают правила умножения на эти числа: чтобы

умножить число на 25, можно умножить его на 100 и ре­

зультат разделить на 4.

Пример. 47 -25 = 4700 : 4. = 1175.

17

из этих чисел в 2 раза больше остальной части числа. Дей­

Поэтому умножение на эти числа сводится к умноже­

нию на старший разряд и прибавлению к полученному

18

Чтобы число умножить на 15, нужно умножить его на 10 и к полученному произведению прибавить его половину.

П р и м е р. 36 • 15 = 360 + 360 : 2 = 360 + 180 = 540.

Аналогично, чтобы число умножить на 150, достаточ­ но его умножить на 100 и к полученному произведению

прибавить его половину.

Пример. 43150 = 4300+ ɪ- = 4300+ 2150 =

= 6450.

Умножение путем разложения одного из сомножителей на произведение двух или более сомножителей. При этом

используется правило умножения числа на произведение:

чтобы умножить число на произведение нескольких сом­ ножителей, достаточно это число умножить на первый сом­ ножитель, полученное произведение умножить на второй

сомножитель и т. д.

Пример. 132 -40. Представим 40 в виде произве­ дения (4-Ю), 132 умножаем сначала на 4 (или на 10), полу­ ченное произведение снова умножаем на 10 (на 4), получаем

последовательно 132-4 =528; 528-10 =5280.

Умножение путем изменения сомножителей. Способ

основан на правиле: если один из сомножителей увеличить

в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз,

то произведение не изменится.

Пример. 35-16. Умножим первый сомножитель на 2, а

второй на 2 разделим, получим 70-8 = 560.

Умножение двузначных чисел, не превышающих 20. Что­

бы перемножить такие числа, достаточно к первому числу

прибавить единицы второго, сумму умножить на 10 и к произведению прибавить произведение единиц данных чи­ сел.

наковые, а цифры единиц в сумме дают 10. Практически

умножение таких чисел делают так: цифру десятков умно­

жают на цифру, следующую по порядку за цифрой десят­

ков, и приписывают произведение единиц.

П р и м е р. 48 -42 = 2016; 4-5 = 20; 8 -2 = 16; 2016.

Умножение двух чисел, у которых цифры единиц одина­

ковые, а сумма цифр десятков равна 10. Умножение произ­

водится следующим образом: к произведению цифр десят­

19