книги из ГПНТБ / Комиссаров, Э. С. Техника вычислений и механизации вычислительных работ учебник для кооперативных техникумов

ков прибавляют цифру единиц и к полученному числу

приписывают произведение цифр единиц.

можно выполнить следующим способом: от одного из сомно­ жителей отнять дополнение второго и к разности, умно­

выполняется так: к одному из сомножителей прибавить

избыток второго и к сумме, умноженной соответственно на

менять, когда один из сомножителей больше круглого чис­ ла, а другой меньше этого же круглого числа на такое же

число единиц.

Пример. 53 • 47 = (50 + 3) ∙(50 — 3) = 502 — З2 =

= 2500 — 9 =2491.

§ 5. Упрощенные приемы деления

Деление на 10, 100, 1000 и т. д. Чтобы разделить на чис­

ла, изображенные единицей с последующими нулями, нуж­

но в делимом перенести запятую влево на столько знаков,

сколько нулей в делителе.

Примеры. 578,6 : 100 = 5,786; 36 : 10 = 3,6.

Деление на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Чтобы разделить на числа, изображенные единицей с предшествующими нулями,

20

нужно в делимом перенести запятую вправо на столько

знаков, сколько нулей в делителе, считая и нуль целых.

каждое из которых легко делится на данное число. Способ

основан на правиле деления суммы или разности на число:

(а ± Ь) : с = а : с ± b : с.

Примеры. 396 : 18 (360 + 36) : 18 = 360 : 18 +

Если делимое можно представить в виде суммы или раз­ ности двух чисел, из которых каждое число легко делится на делитель, то делят каждый член этой суммы или разности на делитель и полученные частные соответственно склады­ вают или вычитают.

Разложение делителя на произведение двух или несколь­ ких сомножителей. Способ основан на правиле: чтобы разделить число на произведение нескольких чисел, можно данное число разделить на первый сомножитель, получен­ ное частное разделить на второй сомножитель и т. д.

поэтому деление на данные числа можно заменить делением

Отсюда вытекают правила.

Чтобы разделить число на 5, достаточно разделить его на 10 и результат умножить на 2.

21

Примеры. 843 : 5 = 84,3 ∙ 2=168,6; 12 р. 30 к. :5 = = 1 р. 23 к. ∙2 = 2 р. 46 к.

Чтобы число разделить на 50, достаточно разделить его на 100 и результат умножить на 2.

Примеры. 2847 : 50 =28,47-2= 56,94; 129 р. 50 к.:

то деление на эти числа можно выполнить по следующим

правилам.

Чтобы число разделить на 125, достаточно его разделить на 1000 и результат умножить на 8.

82

Пример. 942 : 125 = 0,942 ∙8 = 0,942∙2∙2∙2 =

= 1,884-2-2 = 3,768 ∙2 = 7,536.

Умножение на 8 заменили тремя последовательными

умножениями на 2.

Чтобы число разделить на 12,5, достаточно разделить его на 100 и результат умножить на 8.

Пример. 48 : 12,5 = 0,48 -8 = 3,84.

Чтобы число разделить на 1,25, достаточно разделить

его на 10 и результат умножить на 8.

Пример. 263 : 1,25 = 26,3 -8 = 210,4.

Чтобы число разделить на 0,125, достаточно умножить его на 8.

Пример. 72 : 0,125 = 72 ∙8 = 576.

Деление на однозначные и двузначные числа без записи промежуточных результатов. Пример. 1281 : 7 = 183.

Действуем так: 12 делим на 7, пишем в частном единицу и умножаем ее на 7, из 12 вычитаем 7, в остатке 5, мыслен­ но сносим следующую цифру и 58 делим на 7, получим 8, к остатку 2 сносим следующую цифру 1, получаем 21, де­ лим 21 на 7, получаем последнюю цифру частного 3.

ьЬ

на b можно заменить умножением на число, обратное дели­

телю -ɪ- • Число, обратное делителю, находим в таблицах b

Брадиса, Барлоу и др. При использовании вычислительных машин обратное число находят непосредственным делением единицы на данное число. Деление на числа с основой 5, 25, 125 можно произвести и при помощи числа, обратного

делителю. Так, для числа 5 обратным числом будетɪ = 0,2.

5

Поэтому, вместо деления на 5, можно сделать умно­

жение на 0,2, т. е. умножить данное число на 2 и произве­

дение разделить на 10. Замена деления умножением на чис­

ло, обратное делителю, широко применяется в практиче­

ских вычислениях с использованием вычислительных ма­ шин, когда нужно различные числа делить на одно и то же число.

23

§ 6. Проверка арифметических действий

Чтобы быть уверенным в правильности результатов,

необходимо каждое арифметическое действие проверять.

Нельзя считать вычисление законченным, если не сделано

проверки. Каждое арифметическое действие может быть проверено тем же действием или обратным ему. Сложение и умножение можно проверить путем изменения порядка этих действий, так как для них справедлив переместитель­ ный закон. Чтобы проверить вычитание вычитанием, нуж­ но от уменьшаемого отнять разность; если действие выпол­

нено правильно, должно получиться вычитаемое. Деление

проверяется делением делимого на частное, должен полу­ читься делитель.

Проверка действий действиями, обратными данным.

Сложение можно проверить вычитанием: если из суммы вы­

честь одно из слагаемых, должно получиться другое сла­ гаемое.

Вычитание проверяется сложением: если сложить вычи­ таемое и разность, должно получиться уменьшаемое.

Умножение можно проверить делением произведения на один из сомножителей, должен получиться второй со­

множитель. Деление проверяется умножением делителя на

частное, должно получиться делимое.

Кроме этих общих приемов проверки арифметических

действий можно выполнить проверку действий C помощью

чисел 9 и 11, при этом используются так называемые конт­ рольные числа.

Проверка арифметических действий о помощью числа 9.

Покажем, как находить контрольное число для произ­

дет контрольным числом для 63831. Таким образом,

чтобы найти контрольное число, нужно сложить цифры данного числа, цифры полученной суммы снова сложить

24

числа выбрасываем цифры 6 и 3, а также 8 и 1, так как они в сумме составляют 9, остается число 3, которое и яв­

ляется контрольным числом для данного числа. Проверка сложения. Контрольное число

суммы контрольных чисел слагаемых должно равняться контрольному числу суммы слагаемых.

Пример.

Проверку делаем по этапам.

1. Находим контрольное число для каждого слагаемого:

2, 8, 1, 8, 4.

2.Находим сумму контрольных чисел слагаемых 2 +

+8 + 1 + 8 + 4 =23; при этом можно опустить слагае­

мые, равные 9 или в сумме дающие 9. В данном случае опускаем 8 + 1 и складываем 2 + 8 + 4 =14.

3.Находим контрольное число суммы контрольных чисел: 1 + 4=5.

4.Находим контрольное число полученной суммы сла­

гаемых, т. е. числа 13 982,9 (при этом две цифры 9 и сумму

(1 + 8) не принимаем во внимание, получаем 3 + 2 =5.

Контрольные числа равны, сложение сделано верно.

Проверка вычитания. Так как уменьшаемое равно сумме вычитаемого (вычитаемых) и разности, то кон­

трольное число уменьшаемого должно равняться контроль­

ному числу суммы контрольных чисел вычитаемого (вычи­

таемых) и разности.

Проверка умножения. Контрольное число произведения контрольных чисел сомножителей должно равняться контрольному числу произведения.

Пример. 58,37 • 124,8 = 7284,576.

1.Находим контрольное число для первого сомножи­

теля: 5 + 8 + 3 + 7 =23; 2 + 3 =5.

2.Находим контрольное число для второго сомножи­

теля: 2 + 4 = 6 (цифрьі 1 и 8 опускаем).

25

3.Находим произведение контрольных чисел сомножи­ телей: 5-6 =30.

4.Находим контрольное число произведения контроль­

ных чисел: 3 + Q =3.

5. Находим контрольное число произведения данных

чисел: 8 ÷ 7 + 6 = 21 (цифры 7, 2, 4, 5 опускаем); 2 + 1 =

= 3. Контрольные числа равны, есть основание считать действие выполненным правильно.

Проверка деления. Так как делимое равно

произведению делителя на частное, то контрольное число

делимого должно равняться контрольному числу произве­

дения контрольных чисел делителя и частного.

Равенство контрольных чисел при проверке арифмети­

ческих действий является условием необходимым, но не

является достаточным. Это значит, что контрольные числа могут быть равны, а действие выполнено неправильно.

Произойти это может в случае, когда ошибочно перестав­

лены цифры числа, или если ошибка произведена путем уменьшения и одновременного увеличения различных цифр

числа на одинаковое количество единиц. ОДнако в практике

вычислений такие ошибки редки.

Проверка арифметических действий с помощью числа 11.

Контрольным числом при проверке действий C помощью

числа'11 будет разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных мес­

тах (считая справа налево). Если эта разность будет боль­

ше 11, то снова находим разность поэтому же правилу, и так до тех пор, пока разность будет меньше 11. Если раз­

ность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, будет отрицательной, то к разности прибавим 11 или число, кратное 11, пока не по­

Здесь так же, как и при проверке с помощью числа 9,

при нахождении сумм можно опускать цифры, сумма кото­

рых равна 11.

29

В приведенном примере можно опускать в сумме цифр, стоящих на нечетных местах, цифры 7 и 4, так как 7 + 4 =

тем же (—4 + 11 =7).

Правила проверки арифметических действий при по­ мощи числа 11 формулируются точно так же, как и при проверке с помощью числа 9.

Проверка с помощью числа 11 более надежна, чем с

помощью числа 9. Наиболее надежным способом проверки действий является сочетание этих способов, т. е. проверка сначала с помощью одного числа, а затем — с помощью другого.

Важное значение для проверки действий является кри­

тическая оценка полученного результата, когда мы, полу­

чив результат, задаем себе вопрос, а может ли получиться

такое число? Этим самым можно обнаружить грубую ошиб­ ку при вычислениях. Например, вычисляя на счетах стои­ мость 192 кг товара по 7 р. 45 к., учащийся записал 143 р. 40 к. Если бы он задал себе вопрос, а может ли получиться такой результат, и путем грубой прикидки рассуждал при­

мерно так: 200 кг по 7 руб. стоит. 1400 руб. и т. д., то срав­ нив свой результат с результатом грубой прикидки, он

сразу же обнаружил бы свою ошибку. Учащийся не обра­

тил внимания на отсутствие косточек на проволоке единиц.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ

1. В чем сущность упрощенных вычислений?

2.Что называется круглым числом? Дополнением до круглого чиола?

3.Что называется арифметическим дополнением? Как его найти?

4.Какие вы знаете способы сокращенного сложения и на чем они основаны?

5.Какие вы знаете способы сокращенного вычитания и на чем они основаны?

6.Какие вы знаете сокращенные способы умножения и на чем они основаны?

7.Какие вы знаете сокращенные способы деления и на чем они ос­ нованы?

8.Для чего нужна проверка арифметических действий? Какие вы знаете способы проверки действий?

9.Как найти контрольное число данного числа при проверке арифме­ тических действий с помощью числа 9 и 11?

27

10. Как проверяются арифметические действия с помощью числа

9 и 11?

И. Сложить (устно) способом разложения одного из слагаемых на сумму:

16.Вычислить, применяя прием разложения вычитаемого на елагаемые:

28

21. Вычислить, применяя поразрядный способ умножения:

22. Вычислить (устно), применяя сокращенные способы умножения:

25. Выполнить деление: