книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

(рис. 1.16,а). Здесь уместно сделать следующее замечание. Пе­ редаточной функции вида (1.41) соответствует также оператор, зада ваемый соотношением

аяУ{п1(*) +------1- «іУ 0 it) + а0у (t) = bQx (t) -1-----+ bmxW(t).

(1.4 4)

Этот оператор отличается от оператора (1.42) —(1.43) тем, что сначала осуществляется m-кратное дифференцирование входного сигнала x(t), а далее определяется решение дифференциального уравнения п-го -порядка с постоянными коэффициентами а0, а\,.., ап. Этот оператор определен лишь для входных сигналов, имею­ щих т производных, которые удовлетворяют в нулевой точке ус­ ловию х(0) =0, ... , л("‘-Ч(0)=0. Переходной функции этот опера­ тор не имеет, так как входной сигнал вида x(t) — l(t) не являет­ ся дифференцируемым. Для входных сигналов, дифференцируе­

а)

Р и с . 1.16. Переходные функции

Докажем (1.45). Применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям соотношений (1.42) — (1.43), с учетом того, что z (0) =0, . .. , *1 (0) = 0, получим

47

Далее, применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям соотношения (1-44), с учетом того, что *(0) =0 ..., _\;(m-l)(0) =0, получаем

Следует подчеркнуть, что физике процессов передачи сигналов линейными стационарными системами с передаточной функцией

W (р)= ^ ^ в основном соответствует оператор вида (1.43) —

А (р)

(1.44), Примером этого является оператор (1.27), описывающий

Отчетливого математического смысла выражения (1.46) не имеют и являются по существу символической записью опера­ торов вида (1.42) —(1.43) и (1.44). Однако такая запись приме­ няется в литературе, причем символ W(D) принято называть пе­ редаточной функцией системы в операторной форме.

Весовая функция g(t) линейной стационарной системы

Весовой функцией g(t) линейной стационарной системы на­ зывается ее реакция на входной сигнал, равный 8(£)-функции. Иногда весовую функцию также принято называть импульсной переходной функцией.

В силу данного определения изображение g(p) весовой функ­ ции g(t) линейной стационарной системы с передаточной функ­ цией W(p) будет равно:

48

В таком случае весовая функция является обратным преобра зованием Лапласа от передаточной функции системы

Если левую и правую части соотношения (1.48) разделить на р и взять от них обратные преобразования Лапласа, то получим

что переходная функция является интегралом от весовой функ­ ции.

Дифференцируя (1.49) по верхнему пределу, получаем, что весовая функция является производной от переходной функ­ ции

Весовая функция g(t), как уже было указано, может быть найдена как оригинал от передаточной функции g(t) =L~l[W(p)].

П р и м е р . Определить весовые функции g\(t) и g2(t) ей-

Trt

Графики этих функций изображены на рис. 1.17,а и б.

Кроме того, весовая функция может быть найдена как про­ изводная от переходной функции h(t), определенной методом ре­ шения дифференциального уравнения. Найдем этим методом

весовые функции gi(t) и gz(t) данных в последнем примере си­ стем. В соответствии с (1.40) имеем

Р и с . 1.17. Весовые функции

Отметим, что реакция g(t) всех реальных систем на 8-функ­ цию 8(£), подаваемую на вход в момент времени t=0, отлична от нуля лишь при значениях времени t, больших нуля,

Условие (1.51) принято называть условием физической реализу­ емости или физической осуществимости системы. Системы, имею­ щие весовую функцию g(t), не удовлетворяющие условию (1.51), физически не осуществимы, так как для них следствие (реакция) следует ранее, чем причина (входной сигнал).

В силу стационарности реакция линейной стационарной сис­ темы на входную функцию, равную 8-функции, поступающей на вход в момент времени t, будет равна весовой функции, смещенной на время -с, g (t —т).

50

Ясно, что для физически осуществимых систем эта функция должна удовлетворять соотношению g{t — т) = 0 при t «£т.

27

t

io

20

2. Определите переходные функции этих же систем и нарисуйте их графики

§ 1.6. РЕАКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ НА ВХОДНОЙ СИГНАЛ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА.

ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ

Пусть на вход линейной стационарной системы с передаточ­ ной функцией W(p') с момента времени t=0 поступает входной

ние у(р) выходного сигнала y(t) существует и связано с изобра­

Соотношение (1.53), называемое интегралом Дюамеля, задает связь между входным и выходным сигналами с помощью весовой функции g(t), которая выступает здесь в роли весовой функции интегрального оператора. Таким образом, оператор любой ли­ нейной стационарной системы может быть задан в виде интег­ рального оператора.

П р и м е р . Оператор линейной стационарной системы с ле-

к

редаточной функцией W (р)=——— - может быть задан как диф­

ференциальным уравнением

Ту(() + у ( 0 = hx{t) у (0) = 0,

гак и интегральным оператором

t

/ — X

е т x(t)dx.

о

Последнее соотношение вытекает из того, что

k - V

g { t ) = L -

Тр + 1 J

Следует заметить, что интеграл Дюамеля иногда представля­ ют в несколько иной форме, чем (1.53). Соотношение (1.52) мо­ жет быть представлено в виде:

Применяя к последнему выражению теорему о свертке и учи­

тывая, что L-1 і Щ /?)— = h [ i ) и L~l \ рх ( р) — х 0] = X (t)i

Последняя форма записи интеграла Дюамеля удобна в тех случаях, когда известна переходная функция h(t) системы. Функ­ ция h(t) может быть, например, непосредственно получена из эксперимента путем измерения реакции системы на единичный входной сигнал. Весовая функция g(t) непосредственно из экс­ перимента получена быть не может, так как о-функцию нельзя представить в виде реального сигнала любой физической приро­ ды.

В дальнейшем будем пользоваться лишь представлением интеграла Дюамеля в форме (1.53).

Рассмотрим теперь связь между входным и выходным сигна­ лами для случая, когда входной сигнал x(t) начинает поступать на вход системы в произвольный момент времени t0, не обяза­ тельно равный нулю

X (t) = 0 при t<C_ t0.

Если to>0, то условие х(і) =0 при /< 0 выполняется, и в силу формулы (1.53) имеем

52

Изменение нижнего предела интегрирования здесь следует из того, что на отрезке интегрирования [0, /0] функция х(х) =0. Ес­ ли ^о<[0, то функция х(1) не является оригиналом и не имеет изо­ бражения по Лапласу. Для того, чтобы обойти эту трудность, рассмотрим вспомогательную функцию x(t + t0), задержа;нную по отношению к входному сигналу на время (—10) (рис. 1.18). Функ­ ция x(t+t0), рассматриваемая как функция переменного t, удовлетворяет условию

x(t + tü) =0 при /!<0.

Рис. 1.18. К выводу формулы интегра­ ла Дюамеля

Выходной сигнал y\(t), являющийся реакцией на входной сигнал x(t+t0), в соответствии с (1.53). будет равен:

t

Уі(*) = J g [t — x)x (t + t0) dx.

0

В силу стационарности системы выходной сигнал y(t), соответ­ ствующий сигналу x(t), будет равен сигналу y t (t), взятому в момент времени .т = t — t0 (см. рис. 1.18).

і- Іо

y ( t ) = y i ( t — to) = f g (t - t0 - *)x (T + tQ)di-

6

Путем замены переменной интегрирования х -)-£0= т ' в интеграле

Итак, входной x(t) и выходной y(t) сигналы связаны соотноше­ нием (1.55), справедливым для произвольного момента времени to начала поступления входного сигнала. Это соотношение, обоб­ щающее формулу (1.53), также будем называть интегралом Дюамеля.

53

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. Весовая функция системы g ( t ) = 2 е~ 2^І (/). Найти значение выходного сигнала этой системы в момент времени t=2, если на вход системы подается

сигнал x(t) = 2е4'. При решении задачи передаточной функцией не пользо­ ваться.

тор этой системы и записать его в двух формах: в форме дифференциального уравнения и в интегральной форме.

§ 1.7. ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ ОДНОМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С НЕНУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ

УСЛОВИЯМИ

Пусть одномерная линейная стационарная система имеет пе­

Пусть далее начальные условия дифференциального уравнения не обязательно являются нулевыми.

2(ч-і) (0) = *«-»; . . . . 2W(0) = г>0, z (0) = z0°-

Начальное условие по выходному сигналу у ( 0) в таком случае имеет вид:

Преобразовав по Лапласу с учетом начальных условий диффе­ ренциальное уравнение (1.56,а), получим

54

Из дифференциального соотношения (1.56,6) получаем

В таком случае

На основании теоремы об изображении свертки имеем

где

В(р)А-ѵ+» - В - ^ Ц р )

А(р)

Структурная схема системы с учетом ненулевых начальных ус­ ловий имеет вид (рис. 1.19).

Р и с. 1.19. Структурная схема системы с учетом начальных условий

Выше мы установили, что операторы, задаваемые линейными дифференциальными уравнениями с ненулевыми начальными ус­ ловиями, являются нелинейными. Бели же начальные условия рассматривать не как фиксированные постоянные, а как допол­ нительные входные сигналы, как это имеет место на рис. 1.19, то такую систему следует считать линейной.

55

П р и м е р . Найти выходной сигнал ^С-цепочки (см. рис. 1.6) при условии, что на вход системы поступает сигнал х(і) = U\(t), а конденсатор С в начальный момент времени заряжен до на­ пряжения ди­

электрические процессы в этой цепочке описываются соотно­ шениями

быть записаны в виде:

Мы видим, что выражение (1.59) полностью соответствует об­ щей формуле (1.57), так как в данном случае

В(р)=р, В~'(р) = \, А( р)=р+а, А~Ңр) = 1.

56