книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

— система на границе устойчивости.

Следует отметить, что необходимым условием положительно­ сти детерминантов Д и Д(. является положительность коэффи­ циентов at характеристического полинома, т. е. необходимым ус­ ловием критерия Гурвица является:

ап > 0, а„_, > 0, . . а, > 0.........аг > 0., а0> 0. (4.23)

Действительно, выполнение условий критерия Гурвица для си­

стемы с передаточной функцией Ф (р) гарантирует отри-

А(р)

цательность действительных частей корней ее характеристиче­ ского уравнения:

+ . . . -\-а[р-\-а0 с положительными коэффициентами.

218

Таким образом, для исследования устойчивости линейной стационарной системы с помощью критерия Гурвица необходимо:

а) определить передаточную функцию замкнутой системы

В(o')

Ф(р)= — — и ее характеристический полином в виде:

А(Р)

2.Частные случаи условий критерия Гурвииа

1.Для системы первого порядка [А(р) = аф + а0].

(4.30)

Й О < 0 .

Система на границе устойчивости, если

ß i > 0 ,

(4.31)

ß o = 0 ,

т. е. если А( р ) —а\р.

Действительно, для системы первого порядка

ап— аі>

а„—і — а0,

поэтому А = I в„1.

2.Для системы второго порядка [А(р) = а2р2-\~а\Р+ ао]-

219

3. Для системы третьего порядка [А(р)= а3р3-\~а2р2-\-аір-\-а0].

Для системы третьего порядка условия (4.19) —(4.22) кри­ терия Гурвица принимают вид:

Система устойчива, если

а) а3 > 0,

а2> 0 , ах> 0, а0> 0;

Действительно, для системы третьего порядка

ап= аѵ ап- 1—а2->

ап-2 = аи

О-п—%==а0<

220

3.Примеры анализа устойчивости систем

спомощью критерия Гурвица

П р и м е р 1.

С помощью критерия Гурвица исследовать устойчивость сис­ темы с заданной структурной схемой (рис. 4.3).

10 1 т

рp[Cl5pt1)

Р и с . 4.3. С труктурная схем а системы

Р е ше н и е .

1.Определение передаточной функции замкнутой системы и

еехарактеристического полинома:

а) определение передаточной функции разомкнутой системы:

б) определение передаточной функции замкнутой системы:

221

2.Проверка положительности коэффициентов:

а3= 0,5 > 0;

аг = 1 > 0 ;

а \ = 0 ;

а0 = 20 > 0 .

Система неустойчива, так как аіа2<Ройз.

П р и м е р 2 .

С помощью критерия Гурвица исследовать устойчивость си­ стемы с заданной структурной схемой (рис. 4.4).

Р и с. 4.4. Структурная схема системы

Ре ш е н и е .

1.Определение передаточной функции замкнутой системы и

еехарактеристического полинома:

а) определение передаточной функции разомкнутой системы:

б) определение передаточной функции замкнутой системы:

в) определение характеристического полинома:

А(р) = р ( р + 1 )2 (0 ,4 р + 1 ) 4 - 1,6 =

2 22

2. Проверка положительности коэффициентов at\

Система неустойчива, так как Д3 = — 1,264 + 0 .

П р и м е р 3.

С помощью критерия Гурвица определить критическое и до­ пустимые (с точки зрения устойчивости) значения общего коэф­ фициента усиления разомкнутой системы, заданной структурной схемой рис. 4.5.

223

где k = 0,5kik3 — общий коэффициент усиления разомкнутой системы*;

б) определение передаточной функции замкнутой системы:

3. Определение критического и допустимых значений к:

а) критическое значение k= ккр коэффициента усиления со­ ответствует условию состояния системы на границе устойчивос­ ти, что будет иметь место при:

224

Учитывая, что передаточная функция замкнутой системы вида рис. 4.6 связана с W(p) соотношением (3.4):

где А (р)=а0+ а ,р + . ..-\-апрп— характеристический полином зам­

кнутой системы;

N (р)=с0+ С]Р+ . . ■+ спрп— характеристический полином ра­ зомкнутой системы.

Тогда на основании (4.39)

k — число корней Q'(p) с положительной действительной частью; ko — число корней Q(p) с нулевой действительной частью.

Действительно, если многочлен

Q(p) = q0 + <hP + ■■■+ ЯпРп

226

имеет постоянные действительные коэффициенты qt, то корни его могут быть нулевыми, действительными или комплексно-со­ пряженными, т. е. могут иметь вид:

Поскольку любой многочлен может быть представлен произведе­ нием сомножителей вида ( р - РіУ

Q(p) = qn( P - P i ) ( p - P 2 ) ■■■i p — Pi) ■• • ( P - P n l

где pi — корни многочлена, то, учитывая их возможный вид, Q(p) можно представить произведением сомножителей вида:

Q(P);

n= k0-\-l-\-2m — общее число корней Q (р).

В соответствии с (4.43) годограф многочлена Q(p) будет опреде­ ляться выражением

которые показаны на рис. 4.7, а, б, в.