книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

4»

Рис. 4.7. Сомножители годографа многочлена Q(р): а — годограф Q i(j^ )] б — годографы 0 £ (У “ ):

ѳ — годографы 0^(7“)

22«

Если многочлен Q(p) имеет к0 нулевых корней, kx положи­ тельных действительных корней и /г2 пар комплексных корней с положительной действительной частью, то на основании (4.46) — (4.49) находим

А arg Q O ) = ка-0 +

22

=Äq• 0 -)----- [/ —(—2 /и. —2 Ä[ —4А2] ==

= ~ [(Л0 + L+ 2т) — k0— 2 (/jj + 2 &2)] =

снулевой действительной частью.

В§ 1 настоящей главы было показано, что для устойчивости

системы с Ф(р) = —^ необходимым и достаточным условием

А(р)

является отрицательность действительных частей корней ее ха­ рактеристического уравнения А ( р ) —0, что соответствует усло­ вию

( 4 = 0;

(4.51)

I То = 0.

229

Поэтому из соотношения (4.50) находим условие устойчиво­ сти замкнутой системы в виде (4.38)

из точки комплексной плоскости с координатами U — — 1, Ѵ=0 в соответствую­

щую точку годографа разомкнутой системы UH/“) (рис. 4.8).

Р и с. 4.8. К определению фазы годографа

F(/u>)=)+ir(/ü>)

2.Критерий Найквиста для систем, устойчивых

вразомкнутом состоянии

Линейная стационарная система, если она устойчива в ра­ зомкнутом состоянии, устойчива в замкнутом состоянии, если приращение аргумента функции F(ju>) = 1 + W (у'ш) при измене­ нии to от нуля до бесконечности равно нулю, т. е. если

0• ш < со

Действительно, если система вида рис. 4.6 устойчива в разомкну­ том состоянии, то число полюсов W (р) е положительной и нуле­ вой действительными частями равно нулю, т. е.

Х = 0,

(4.53)

>о = 0 .

Поэтому общее условие устойчивости критерия Найквиста (4.38) для этого случая принимает вид (4.52):

Следует заметить, что аналитическому условию критерия Найк­ виста (4.52) для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, соответствует следующее графическое правило:

230.

— линейная стационарная система, устойчивая в разомкну­ том состоянии, устойчива в замкнутом состоянии, если годограф

231

Из данного вывода вытекает еще одно правило анализа ус­ тойчивости систем по критерию Найквиста:

Рис. 4.10. К определению частоты среза «с

ичастоты и»*

—линейная стационарная система вида рис. 4.6, устойчивая

вразомкнутом состоянии, в замкнутом состоянии:

где частота ш_ и частота среза шс определяются из условий:

3.Критерий Найквиста для систем, находящихся

вразомкнутом состоянии на границе устойчивости

Линейная стационарная система вида рис. 4.6, находящаяся в разомкнутом состоянии на 'границе устойчивости, в замкнутом состоянии устойчива,если

где I-о — число полюсов W(p) с нулевой действительной частью. Условие (4.59) вытекает из общего условия устойчивости критерия Найквиста (4.38) для случая, когда X= 0 и >.0 F 0 , что соответствует состоянию на границе устойчивости разомкну­

той системы.

232

Заметим, что разомкнутая система будет находиться на гра­ нице устойчивости, если:

1 ) W(p) имеет нулевые действительные полюсы:

где W q(p ) — передаточная функция, все полюсы которой име­ ют отрицательные действительные части.

Наличию в W (р) Х0 комплексных полюсов вида (4.61) со­ ответствуют передаточные функции, содержащие консерватив­ ные звенья, т. е. передаточные функции вида:

V2

соответствуют годографы частотных характеристик, имеющие разрывы при бесконечных амплитудах. При этом годографы ча­ стотных характеристик для передаточных функций с интегрирую­ щими звеньями имеют разрывы при <в = 0 (рис. 4.11,а), а годо-

Р и с. 4.11. Годографы \V(Jсо)оазомкнутых систем, находящихся на границе

233

годографов, под которыми будем понимать следующее:

а) дополненным годографом частотной характеристики для

W ( p ) = - і - W 0(p) является годограф W(p), дополненный в по-

р*°

дожительном направлении до положительной действительной по­ луоси плоскости U, }Ѵ дугой -бесконечно большого радиуса (рис. 4.'12,а);

Рис . 4.12. Дополненные годографы W[jw) разомкнутых систем, находящихся на границе устойчивости:

для W(p) = J~I —;------ W a (р) является годограф W(p), ветви

;=і

которого замкнуты дугой бесконечно большого радиуса в отри­ цательном направлении (рис. 4.12,6).

С учетом сделанных замечаний можно сформулировать -сле­

на комплексной плоскости U, jV точку с координатами U——1,

устойчивости, если дополненный годограф W ( /« 1 -проходит через точку U——1 , Ѵ = 0.

234

Это графическое правило для W(p)=— W0(p), W[p)=— W0 (p),

ственно рис. 4.13,а, б, е; 4.14,а, б, в; 4.15,а, б, в; 4.16,ö, б, в. Из

критерию Найквиста можно использовать следующее правило:

— линейная стационарная система, находящаяся в разомк­ нутом состоянии на границе устойчивости в замкнутом состоянии:

4. Анализ устойчивости систем по критерию Найквиста с помошыо логарифмических частотных характеристик

Годографам частотных характеристик устойчивых разомкну­ тых систем (см. рис. 4.9,а, б, в) и разомкнутых систем, находя­ щихся на границе устойчивости (рис. 4.13,а, б, в; 4.14,а, б, е; 4.16,а, б, в), соответствуют логарифмические частотные характе­ ристики рис. 4.17,а, б, в; 4.18,а, б, в; 4.19,а, б, в; 4.20,а, б, в. При этом частоте среза и>с соответствует частота, при которой лога­ рифмическая амплитудная частотная характеристика пересекает ось частот, так как для этого случая Z,(co)z=2 0 ]g- |И7(/ш)|=0 и, сле­ довательно, I W (/ев) | = 1 .

Частоте ш- соответствует частота, при которой фазо-частот­ ная характеристика пересекает линию с ординатой —180°, оста­ ваясь в дальнейшем ниже этой линии.

Из приведенных рисунков видно, что для всех случаев пере­ даточной функции W(p) разомкнутой системы замкнутая систе­ ма вида рис. 4.6:

а) устойчива, если при частоте среза шс разомкнутой систе­ мы ее' логарифмическая фазо-частотная характеристика прохо­ дит выше линии с ординатой — 180°, т. е. если

(см. рис. 4.17,о; 4.18,о; 4.19,а; 4.20,а );

2 3 5