книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

1 4- 10i(“).'20 cos cp (co)

3) между вещественной P (со) и мнимой Q (со) частотными характеристиками замкнутой системы и логарифмическими амп­ литудной L (со) и фазовой » (с о ) частотными характеристика­ ми разомкнутой системы:

j^UP (co)[ COS cp(co)4ysin cp(co)](1 4UP(co)cOS cp(co)—jW(ai) Sin cp(<o)]

[1 4 UP (co) COS cp(co)]2 4 UP2 (co) sin2 cp (co)

_UP(co)[cOS cp(u))4^(co)cos2’p(co)4lF(o.) sin2 cp (co)) 4 У [sin cp (co)]

Связь между различными частотными характеристиками зам­ кнутой и разомкнутой систем, например, устанавливаемая со­ отношениями (3.31) — (3.36), может быть отображена и в виде номограмм, называемых номограммами замыкания.

208

На рис. 3.19 представлена номограмма, позволяющая по ло­ гарифмическим частотным характеристикам разомкнутой систе­ мы определить логарифмические частотные характеристики замкнутой системы.

На этой номограмме оплошные линии представляют собой кривые равных значений амплитудной частотной характеристики замкнутой системы, а пунктирные линии — кривые равных зна­ чений фазовой частотной характеристики замкнутой системы, удовлетворяющие соотношениям (3.31) —(3.34). Индексы возле сплошных и пунктирных кривых определяют соответственно значения логарифмических амплитудной L3 (ш) и фазовой а3 (ш) частотных характеристик замкнутой системы. Осью абсцисс для этой номограммы является ось значений фазо-частотной харак­

На рис. 3.20 представлена номограмма для определения ве­ щественной частотной характеристики Р (<«) замкнутой системы по логарифмическим амплитудной /.( с о ) и фазовой ср (ш ) ча­ стотным характеристикам разомкнутой системы. На этой номо­ грамме осями координат являются те же оси, что и на номограм­ ме рис. 3.19, а оплошные кривые линии представляют собой кривые равных значений вещественной частотной характеристи­ ки замкнутой системы, удовлетворяющие соотношению (3.35).

С помощью этих номограмм частотные характеристики замк­ нутой системы определяются следующим образом. По логариф­ мическим частотным характеристикам разомкнутой системы для дискретных значений частот <о определяются значения логариф­

деляют значения искомых частотных характеристик замкнутой системы при частоте ац.

Проиллюстрируем использование указанных .номограмм для определения частотных характеристик замкнутой системы по ло­ гарифмическим частотным характеристикам разомкнутой систе­ мы на примере системы, структурная схема которой представ­ лена на рис. 3.21. Асимптотические логарифмические частотные характеристики этой разомкнутой системы, определяемые выра­ жениями:

L (ш) = 2 0 1 g 1 0 0 - 2 0 1 g ш — 2 0 1 g ] / 0 , 2 üü>2 + 1 + 2 0 l g V 0,0 1 ш З -|_ i —

- 4 0 l g 1 / 0 , 0 1 2 О)2 + 1 ;

tp (u>) = — 90° — arctg 0,5 u>+ arctg 0,1 m—2 arctg0,01 ш,

представлены на рис. 3.22 (сплошные кривые).

Соответствующие этим логарифмическим частотным характе­ ристикам значения логарифмических амплитудной І 3(ш) и фа­ зовой ®з(ш) частотных характеристик замкнутой системы, опре­ деленные по номограмме ри-с. 3.19, и значения вещественной Р («) частотной характеристики замкнутой системы, определен­ ные по номограмме рис. 3.20, представлены в таблице 3.1.

Логарифмические частотные характеристики замкнутой си­ стемы І 3И и <Рз(ч)), построенные по данным таблицы 3.1, по­ казаны на рис. 3.22 (пунктирные линии),. Вещественная частот­ ная характеристика замкнутой системы Р(<о), построенная по данным таблицы 3.1, показана на рис. 3.23.

Рис. 3.23. Вещественная частотная характеристика P(w) замк­ нутой системы рис. 3.19

Г Л А В А I V

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ. НЕОБХОДИМЫЕ

ИДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

1. Определение устойчивости линейных стационарных систем

Устойчивость является основным требованием, определяю­ щим работоспособность системы.

Линейная стационарная система называется устойчивой, если любому ограниченному входному сигналу х({) соответствует ог­ раниченный выходной сигнал у(Ь). Иными словами, линейная стационарная система называется устойчивой, если для любого

2. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных стационарных систем

Линейная стационарная система устойчива тогда и только тогда, когда ее весовая функция g(t) абсолютно интегрируема, т. е. если

о

где С — положительное конечное число.

Докажем достаточность условия (4.2). Выходной сигнал y(t) линейной стационарной системы при нулевых начальных услови-

ях определяется входным сигналом x(t) и весовой функцией си­ стемы g(t) через интеграл Дюамеля:

Условие (4.6) соответствует определению (4.1) устойчивой ли­ нейной стационарной системы, если

оо

с = j’ |£ ( т) | аД < оо,

О

■и потому условие (4.2) является достаточным для устойчивости линейной стационарной системы.

Докажем необходимость условия устойчивости (4.2) методом от противного. Для этого рассмотрим систему, которая не удов­ летворяет условию (4.2), т. е. систему, весовая функция которой g(t) отвечает условию

со

J Ig (t) \d t= ’ oo.

о

Эта система будет устойчивой, согласно определению (4.1), если любому произвольному ограниченному по модулю входному сигналу будет соответствовать ограниченный по модулю выход-

212

ной сигнал. И, напротив, эта система будет неустойчива, если найдется хотя бы один ограниченный по модулю входной сиг­ нал, которому будет соответствовать возрастающий до беско­ нечности выходной сигнал.

Рассмотрим реакцию этой системы на входной сигнал x(t),

Заметим, что этот сигнал является ограниченным по модулю при

Очевидно, что при t-+ со, y(t) будет определяться выражением

У ( 0 = f

О

ной сигнал, который вызывает возрастающий до бесконечности при t оо выходной сигнал. Это, согласно определению, являет­ ся признаком неустойчивости системы и потому условие (4.2) яв­ ляется необходимым для устойчивой системы.

3. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных стационарных систем с рациональными

Л(Р)

характеристического уравнения (все полюсы передаточной функ­

2 1 3

Докажем необходимость и достаточность данного условия устой­

чивости для линейных систем с дробно-рациональными переда­ точными функциями.

Рис. 4.1. Расположение полюсов передаточной функции Ф(р): а — устойчивой системы [Rе(д,•)]<()/; б — неустойчивой си­

Ф(Р)

Р и с. 4.2. Структурная схема линей­ ной стационарной системы

где

где Рх, Ръ, ..., Pi, .--tPn— полюсы Ф(р), равные корням характе­

214

Тогда весовая функция системы как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции будет определяться выраже­ нием:

Учитывая, что p t в общем случае — комплексные числа, т. е. что

и потому

2 1 5

Условие (4.17), соответствующее случаю полюсов c a ^ R e [/7(.]<0, является, как было показано выше (4.2), необходимым и до­ статочным условием устойчивости линейных стационарных си­ стем. Условие (4.18), соответствующее случаю существования хотя бы одного полюса Рі с a;=R e [/?,) >0, противоречит необхо­ димому и достаточному условию устойчивости (4.2). Следова­ тельно, линейная стационарная система устойчива тогда и толь­ ко тогда, когда все полюсы Ф(р) имеют отрицательные действи­ тельные части. Линейная стационарная система не является устойчивой, если хотя бы один полюс Ф(р) имеет нулевую или положительную действительную часть.

Таким образом, для анализа устойчивости линейной стацио­

рого является весьма затруднительной, так как она требует либо интегрирования модуля весовой функции, либо решения уравне­ ния А( р) —0 для отыскания полюсов р-г Поэтому для анализа устойчивости систем автоматического регулирования сформули­ рованные условия практически не применяются, а используются некоторые косвенные правила, позволяющие гарантировать вы­ полнение необходимых и достаточных условий устойчивости без прямого интегрирования | g(t) | и без вычисления корней ха­ рактеристического уравнения. Эти правила называются крите­ риями устойчивости. Следует отметить, что ценность критериев устойчивости заключается не только в упрощении задачи анали­ за устойчивости линейных систем, но также в возможности вы­ явления зависимости устойчивости системы от параметров ее элементов.

В настоящее время для решения практических задач исполь­ зуются следующие критерии устойчивости для систем с Ф(р) =

216

1) аналитический критерий устойчивости Гурвица, позволяю­

217