книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

§i 3.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

1. Основные передаточные функции линейных стационарных систем

Для линейных стационарных систем автоматического регули­ рования замкнутого типа различают следующие основные пере­ даточные функции: передаточную функцию разомкнутой системы W(p), передаточную функцию замкнутой системы Ф(р'), переда­ точную функцию для рассогласования S(p) и передаточные функции по возмущеннямФ^.(уО).Физический смысл этих переда­

точных функций рассмотрим на примере типовой структурной схемы линейной стационарной системы (см. рис. 3.4).

Данное определение показывает, что передаточная функция ра­ зомкнутой системы по существу есть передаточная функция всей системы при разомкнутой главной обратной связи и Fi (t) = 0. Так, для системы со структурной схемой (см. рис. 3.4) передаточ­ ная функция W(p) на основе основных правил структурных пре­ образований определяется выражением:

W 1( p ) W 2(p)W3(p) W ,{ p ) W b{P) \ + W3(p ) W 4{p) W6(p)

Заметим, что если передаточные функции W t (p) всех элементов системы являются рациональными функциями, то и передаточ­ ная функция ^(д!) является рациональной:

і- О

188

где

М{р) = сій+ d t р + ... + d m_xpm~l + dmp"\

N(p) — c0+ c\ P +• • ■+ c„-iP"~' + cnPn— характеристический полином разомкнутой системы.

Понятие передаточной функции разомкнутой системы позво­ ляет структурные схемы любых сложных систем автоматическо­ го регулирования представить в виде встречно-параллельного-со­ единения, показанного на рис. 3.8. Такое эквивалентное представ­ ление структурных схем реальных систем широко используется при анализе и синтезе последних.

ношение изображения выходного сигнала системы к изображе­ нию входного сигнала при нулевых -начальных условиях и возму­

Из структурной схемы рис. 3.8 вытекает связь передаточных функций замкнутой и разомкнутой систем: Ф(р) представляет собой передаточную функцию встречно-параллельного соедине­ ния с единичной обратной связью, в прямой цепи которого стоит элемент е передаточной функцией W(p). Поэтому

Из (3.4) следует, что если W(p) — -рациональная функция вида (3.2), то и Ф(р) представляет собой рациональную функцию:

189

г д е

— характеристический полином замкнутой системы.

Понятие передаточной функции замкнутой системы позволяет представить эквивалентную схему системы в виде, показанном на рис. 3.9.

П е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и е й д л я р а с с о г л а с о , в а ­ нн я S(p) называется отношение изображения сигнала рассогла­ сования к изображению входного сигнала при нулевых началь­

Для определения связи .передаточной функции S(p) с пере­ даточной функцией W(p) представим структурную схему рис. 3.8 в виде, показанном на рис. 3.10. Для этой схемы сигнал е(П яв. ляется выходным и потому передаточная функция S(p) будет являться ее основной передаточной функцией. Поскольку струк­ турная схема рис. 3.10 представляет собой встречно-параллель­ ное соединение с передаточной функцией прямой цепи, равной единице, и с передаточной функцией обратной связи, равной

W(p), то

1

(3.9)

Т + Щ р )

Для определения связи передаточной функции S(p>) с пере­ даточной функцией Ф(р) запишем уравнение

2(р) = х ( р ) - у ( р )

190

и разделим левую и правую части его на х(р):

Выражения (3.9) и (3.11) показывают, что если передаточные

П е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и е й по в о з м у щ е н и ю Фр (р) называется отношение изображения выходного сигнала к изоб­

пользуя правила структурных преобразований и учитывая, что x(t)=0, представим структурную схему рис. 3.4 в виде, показан­ ном на рис. 3.11, где

__W, (p)W2(p) W B(p)Wt (p) l + W a[p)Wt (p)W e(p)

Для структурной схемы рис. 3.11 входным сигналом является возмущение F(t), а выходным — y(t). Следовательно, передаточ­

ная функция ФрІР)— УІР) будет равна основной передаточной

F ip)

191

функции системы со структурной схемой рис. 3.11, которая пред­ ставляет собой встречно-параллельное соединение. Поэтому

Выражение (3.14) показывает, что если W(p) является рацио­ нальной функцией, то и Фр (р) также есть рациональная функ­ ция

Следует заметить, что передаточные функции по возмущению, определяя законы преобразования действующих на систему воз­ мущений в выходной сигнал, существенно зависят от точек при­ ложения этих возмущений. В этом нетрудно убедиться, опреде­ ляя, например, передаточную функцию Фр {р) для системы со структурной схемой рис. 3.4, если возмущение F(t) действует на вход звена с передаточной функцией W2(p), что предлагается выполнить читателю.

2. Методы вычисления (передаточных функций линейных стационарных систем

Как отмечалось ранее, структурные схемы современных мно­ гоконтурных систем автоматического регулирования, как прави­ ло, имеют достаточно сложный вид. Поэтому задача вычисления »основных передаточных функций таких систем не всегда имеет простое решение. Для определения передаточных функций слож­

ных многоконтурных систем в основном используются два мето­ да: метод структурных преобразований и метод составления уравнений сумматоров. Ниже рассмотрим эти методы.

192

В качестве примера вычисления передаточных функций мето­ дом структурных преобразований рассмотрим вычисление пере­ даточных функций Ф{р), S(p), Фю {р) и Фріір) для системы, структурная схема которой показана на рис. 3.12.

Для определения передаточной функции замкнутой системы

Ф{р) = У(р) предварительного преобразования исходной схемы

х ( р )

делать не надо, так как для нее y(t) —выходной сигнал, а x(t )— входной сигнал. Последовательные структурные преобразования этой схемы для вычисления Ф(р') показаны на рис. 3.13,а, б, в, г. На основании этих преобразований находим

Ф {р)= W (P) = w x{ p ) W M =

194

1 + W a{p)+[W2(p) + W 2* {p)]Wz (p) W< (P) W , (,p)

1 + w a (p H [W2(p ) + w 2*(p)] w a (P) ^ (p)wt (p) +

+[ P W M H W 2* (P)} ^ 3 (P) ^ 4 (P)

Для определения передаточной функции Фг,(Р)= ^ ~ ^ ' предста-

h (р)

вим предварительно исходную структурную схему рис. 3.12 в виде, показанном на рис. 3.15,а. Для этой схемы входным сиг­ налом служит F\(t), а выходным — y(t). Поэтому искомая пере­

даточная функция (t>Fl(p) = — равна основной передаточной

Н(р]

функции системы со структурной схемой рис. 3.15,а. Последова­ тельное преобразование этой схемы показано на рис. 3.15,6, в, г.

Рис. 3.15. Эквивалентные преобразования структурной схемы рис. 3.12 для определения передаточной функции Фд(д)

На основании этих преобразований находим

?г(Р)

яую структурную схему рис. 3.12 представим сначала в виде, по. казанном на рис. 3.16,а. Для этой схемы входным сигналом яв­ ляется Fz(t), а выходным— y(t). Поэтому искомая передаточная

функция Фр,{Р) = УІР) равна основной передаточной функции

?2ІР)

системы со структурной схемой рис. 3.16,а. Последовательные преобразования этой схемы показаны на рис. 3.16,6, в, г, д. На основании этих преобразований находим

W j p ) ФрЛр ) = 1 + W u(p)WUtlp)

І^зо (р) W 4 (р)

= ________________________ ^4 ip)________________________

1 + ^ 3 ІР) + [П М /0+ w 2*ip)\ w a(P) w i (p)W5(p) + W M X ‘ X [W2ip) + W2*ip)]Wb[p) W,(p)

М е т о д с о с т а в л е н и я у р а в н е н и й с у м м а т о р о в . Данный метод вычисления передаточных функций систем авто­ матического регулирования основан на составлении систем урав­ нений для выходных сигналов сумматоров и решении этой си­ стемы относительно искомых сигналов.

Вычисление передаточных функций этим методом поясним на примере вычисления передаточных функций Ф(р), S(p), Фр^ір) и Фр,(р) для системы со структурной схемой рис. 3.12.

196

Для этой схемы целесообразно рассмотреть сумматоры с вы­

Р и с. 3.16. Эквивалентные преобразования структурной схемы рис. 3.12 для определения передаточной функции Фр^р)

W2*(p) можно представить одним звеном с передаточной функ­ цией W2+2*(p) = W2(p) + W 2*(p). Тогда для этой схемы

е(р) = х(р)—0 4(р) W4 (je?);

£>i(Р)- k p W A p ^ ö , (р) Wt (р) Wb {р);

197