книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

1. Найти выходной сигнал системы

z(0 +

2i(0 + z(0 = *(f);

z ( 0) = l, г ( 0) ------1;

j/(0 =

3z(0 + z ( 0 .

_

_ t_

.если на вход с момента времени <=0 поступает сигнал x(t)— е

3 .

Ук(0 = акІ Уі (0 +

• • ■+

акк Ук (О Н-------Ь акп Уп (0 + ^А1 х 1(0 +

+ ' — Н bklx.(£)

+■• • • -1- bkmx m{t).

(1.60)

Веоовой функцией

g kl (t)

от г'-го входа

к /г-му выходу назы­

ветствии с (1.23) будет равно:

gki (Р) = W hi (р ) L [8 (0] = W ki {р),

(1.61)

Ski№= L - '[ W kl{p)\.

(1.62)

1УЛ*)

= - 2У \(*)+УЛ *)+х Л*) + х гУ)

ЗТ(0) =

0; (163)

\ Уа (0

— — Уі(() ~ 4у2(0 + 2х2(0

у 2(0) =

0.

относительно неизвестных Ц\(р) и уъ(р)-

I

( ( ^ + 2)Ух (Р) - 1/2 (Р) = + +

ІР) +}*2 [Р)\

Решая ее по правилу Крамера, получим

Уі (Р) =

1

1

— г

+

(Р) +

1

-

1

■*2 ІР) 1 _

О

/7 + 4

2 /7

+ 4

А (Р)

(/7 +

ЗР

( р +

З)2

1

Р + 2 1

* і (Р)+

Р + 2 1 х2 (р)

А [Р)

1

О

1

2

— 1

+ (Р) +

•2/; .+ о І -*2 (Р)>

(Р +

З)2

(/> +

3)s

где

р + 2 - 1

Д {р) =

=

/>3 4

6/7 +

9 = (р +

З)2.

1

р + 4

функций

имеет вид:

В таком случае матрица

передаточных

Р + 4

/7 +

6

W(p) =

(Р + З)2

(р +

З)2

1

2/7 +

3

(р + З)2

(Р +

3/=

Далее имеем

1

1

g n ( t ) = L - i \ - Р ± ± - = L-

(р + 3)2+ /7 + 3

L{р + З)2

=

te~ 3/

е-3/ =

+

1] ;

г « (0 =

_____ 1_

— — / е - з / .

(/> +3)2J

g\2 (0 =

^ 1

/7 +

6

/ -7

3

'

1

1

(/> +

3)2J

k p + 3 ) 2

1 р

r 3 j

=

3/е_3/ +

е_3/ =

е_3/ [3^ +

1 ].

g M =

L '

2/7 +

3

Lr

+

(Р +

3)2J

ІР +

З)2

/7+3

= -

3/е~3' + 2е~3' =

е ~ зі [ -

31 + 2].

0 ( 0 = Ге-3<(* + *)

е_И(3* + 1 )

'

|_е-3' (— 0

е“и ( - 3 * + 2) _'

I У k (і) — Q>k\ У і ( О Р ‘ + а кп Уп ( О + х к ( 0 ;

,,

лА ,

I Л ( 0 ) = Л о -

(

}

Ук (Р) = Wkx К

(р) +

УюІ н-------Р W kn [ха (р) +

у м \.

Переходя к оригиналам с учетом интеграла Дюамеля

(1.53),

по­

лучаем

»I

n

t

Ук (*) — Egfc,(0 Ѵ/0 + S

f gki [t - i)Xi{-z)dx.

(1.65)

/«10

Последнее равенство,

если

ввести векторные функции

y(t)

и

—>■

t

~y{t)^G[t) у(0) + j G ( t - x)x(x)dx.

(1.66)

о

1=1 с для системы, разобранной в примере §

7, если Ці(G)= 2 , у2(0 ) = —1, а>

на вход системы поступают сигналы*! (1) = е*,

* 2(1)=1.

t

g (( — x) x (x) dx.

yco(0=Hm у(М о) =

f

(1.67)

Co->- OO

—CO

со

усо (0 = j £(*) X (t

—x)dx.

(1.68)

о

[в выражении (1.68) ух

опущены штрихи].

стационар­

Рассмотрим установившуюся реакцию линейной

ной системы с весовой функцией g(t)

на входной сигнал гармони­

ческого вида

X (і) =

ae'w = а cos ші -f- ja sin a>t.

В соответствии с (1.68)

имеем

о о

со

У«, (t)= J g (?) x(t —x) dx = j

g (х)аеіш{‘-~) dx =

o

b

oo

=

aeJu>‘ \ g {x)

dx.

о

Учитывая, что

W (ja>) = J g (x) e- -'“'

dx,

получаем

о

Усо (t) =

W (/'(о) а&ш: = I W ( » I а

.

( i.69)

Таким образом,

установившийся выходной сигнал y°°(t),

явля­

ся в I W (/а>) I раз,

а фаза смещается относительно фазы вход­

ного сигнала на arg

W (y‘u>).

Комплекснозначная функция W (уш) переменного

ш,

чис­

ленно равная значению передаточной функции при р =

/ш,

на­

но-фазовой характеристикой

(АФХ) системы. Модуль

| W (у'ш)|

амплитудно-фазовой характеристики

называется

амплитудно-

частотной характеристикой

(АЧХ)

системы,

а

аргумент

амплитудно-фазовой характеристики

argW7(y’cu)

— фазо-ча­

П р и м ер . Требуется

определить

частотные

характеристики

системы с передаточной функцией

W (р) = — — — .

Амплитудно-фазовая

характеристика

Тр + 1

этой

системы равна

W(ja>)= —

—.Амплитудно-частотная характеристика|1ГХАи)|=

7 > + 1

Г/ш

Г®

.Фазо-частотная характеристика cs(<u)=arg

V T W + 1

Гуш+1

= —----arctg Гш.

Представляя

АФХ

в

декартовой

форме

тѵ //. ч

Гуш

Г2<и2 +

уТш

получаем значения ве-

W (/to) =

---------- =

---- -------------,

Гу‘ш+1

Г2ш2 +

1

ществѳнной и мнимой фазо-частотных характеристик

U H

Г2 СО2

,

=

Го)

-------------

V (ш)

-------------

Г2ш2+ 1

Г2ш2+ 1

Учитывая,

что функции

U (ш) и

1/(ш)

связаны

соотношением

и Ц ш) + П2(ш) =

Г4 ш4

+

Г2 ш2

7 2 ш2

=Г'(ш ),

— —

----

— — ----- = —

1 /

1

V /

/ ' *0 О I

\0

1

/ ' 'О

о .

ОТ* о 4 .

V /*

(Г2Ш2+1)2

(Г- ш2+1)2

Г2ш2 + 1

которое может быть записано

в виде уравнения окружности

и -

1

+ 1/2 =

1

получаем, что годограф АФХпредстав-

ляет

2

верхнюю часть

окружности

(рис. 1.20). Вектор

собой

W (у ш)

скользит только по верхней части окружности в силу

того, что

ТС

при

всех положительных

<р= —— arcfg Гш> 0

значениях

ш>0.

характеристика L (ш) =

201g | W (у'ш) |

и логарифмическая фазо-

_

частотная

характеристика

<р(ш) =

* /V

= arg W (ju>).

Построение этих

характе­

ристик

ведется

в логарифмическом

масштабе но оси частот (рис. 1.21).

U

0,1

I

10

й)

I

Декада

1 ,

Рис . 1.20. Годограф

Рис .

1.21.

Ось

частот в логарифмическом мас­

АФХ

штабе

лам

(1 белу), соответствует усилению по мощности в 1010 =

= 10

раз; .коэффициент усиления,

равный в логарифмической ме-

20

ре

20 децибелам, соответствует

усилению по мощности 1010 =

=

100 раз и т. д.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1)

Определите частотные характеристики системы с передаточной функ-

3 р + 1

цией

№ (р) = {р + Щ р + 2 у

поступает сигнал

л (0 = 5sin

—

j

.

Найти

установившийся сиг-

нал на вы ходе.

усо (t) — 1,03 sin (21 — 0,91).

Ответ:

§, Ml. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ

Передаточную функцию

W(p),

являющуюся

рациональной

функцией аргумента р, W(p) — В{Р)

_

Ьтрт ^--------\-Ьхр + Ь0

А(Р)

апРя

-----ахр + а0

можно представить в виде:

ІГ / ѵ

. ЬтП (р -

ps) П (р -

ре)(р -

ре)

( 1 . 7 0 )

ааЩР -

Р1т { р - р , ) { р - Р1)

’

где

и pt — действительные, а ^

и р} — комплексные корни

числителя В(р)

и знаменателя А(р),

число г равно разности чи­

нии (1.70) двучлен вида: p —a=k[Tp-\-1), где

k = —а, Г =

— - ,

а каждая пара комплексно-сопряженных корней

а + /(3

а

и а — tß

дает

в разложении трехчлен вида:

р 2 -

2ар + а2 + $2 =

к(Т2р 2 + 2\Тр -+- 1)],

где

£ =

a2 +

ß2;

Т2 _ ___\___•

С—

~ а

I f l ^ l

а2+ ?2 ’

’

]/ а2Чß2 ’

’ ^

В таком случае разложение (1.70)

может быть представлено в

виде:

w(p) = kpr Д №

+

і ) В

Д

Р2 + а , ^

+

і )

^

ПА, ( ^ р

+

1)ПА,(Г//>2

+ 2£ Tjp + 1 )

ап

л

(1-71)

стем с передаточными функциями вида: k, kp,

k

k(Tp-\- 1),

— ,

Р

---- -----к ( Т2р2 +

25 Тр 4 -1 ),---------- ----------- . Системы с такими

Т р + 1

Т2р 2+ 2 * Т р + \

а)

б)

Р и с .

1.22. Временные характеристики инер­

'

ционного звена

g(t)

=

L -

к

к

- —

1

1 J

= — е

т;

\Тр +

Т

(1.72)

А (t) = L~l ' к

1

1 1 / -1

Г к

kT

— Äfl —е r

Тр +

р

. /

Тр +

1

стики этого

звена соответственно равны:

U7 ( » I =

k

Ѵ'Пюі + 1

«p(m) = arg

k

= arg А—arg (TJ<a + 1) = *— arctg 7ш. (1.73)

7 > + 1

Учитывая, что вещественная U (®):

Re

72®2+ l

7усо -1- 1

и мнимая 1/(<о)=Іш

k

— кТш частотные характеристики

7 > + 1

Т 2®2+1

связаны соотношением £72+

/г

V 2—k——~-----=££/,приводимым к ви-

/

£ \ 2

£2

Г2ш2 +1

ду( U —■—■ + Ѵ2= — , получаем вид годографа АФХ инерцион-

\

2 )

А

ного звена (рис.

1.24). Годограф представляет собой нижнюю по­

ловину полуокружности в силу того, что

Ф(ш) = — arctg Ти>< 0.

, - . і

к

(С>~и

ционногозвена L (®) = 2 0 lg

—■к— - изображена на рис. 1.25.

у

Т2со2 -ф- 1

Эта характеристика L (®) может быть аппроксимирована лома-

у Рш2-|- 1

~201g£, а при больших значениях ® L M

h

— 20 lg 7---------- ~

ь

1

'

б ^ 7 ’2ш2+1

Функции

201gA и

201g£—201gT® переменного ®, изображен­

убывает

на 20 децибел при увеличении частоты в десять раз

или, как

говорят, имеет наклон — 20 децибел на декаду.

5. И зд. № 5312

;$5

система с передаточной функцией вида

W(p\

Jz

= ■-----------:-------=

к Шд1

Тір і+2%Тр + \

коэффициентом уси-

■= —------ —--------- причем k называется

p 2 + 2^coOJp-fü)02

колебательного звена. Если £ =

0,

то колебательное звено назы­

вают консервативным звеном.

из

Весовая функция g(t)

колебательного звена получается

приводимых ниже 'соотношений. Для случая £<1

имеем:

g(t)

’“ 1

к

— / -1

k

Т2р 2 +

257>+1

[[7> +

S]2 + l - £ 2 J

/ —1г

кіт2

-

I

W

2

1 -

а2

"г

)

* .

,- і

1/1 — Іут

Т У 1 - $ 2

2 1 — £2

К

]

т%

е

_ - .

У 1 -

£2

t.

(1.74)

т у

1 —

тsin ------------

Последнее равенство следует из соотношения

L [е0<

sin

S7]

=

о

( Р ~

а)2+ 2 2

Для

5 = 1

и.меем

-

k

Z-I Г

1

1

g (!) = L-

к

L(rp-M)2j

Lv

т ) .

(1.75)

Графики функций g(i) для различных значений

0 <

И<

1 при­

ведены на рис. 1.26,а.