книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

Такие часто встречающиеся в автоматике функции времени, как постоянная функция, линейно возрастающая функция, экс­ понента, степенные функции и др., не имеют преобразования Фурье. По этой причине постараемся расширить класс функций, к которому можно применить преобразование, подобное преоб­

пято называть «единичным скачком» или «ступенчатой функци­

этот класс не входят, так как не имеют экспоненциальных мажо­ рант. Функция sin t в этот класс не входит, так как не выполня­

о

рую функцию от этого параметра, которую мы будем обозначать

27

Проведя в последнем интеграле замену переменной интегрирова­

но прямой линии, проходящей параллельно оси ординат справа от точки В.

Формулы (1.3) и (1.4) носят название прямого и обратного преобразования Лапласа. В дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями

классу функций, оригиналом, а функцию ф (р) — ее изображе­ нием.

Приведем здесь примеры преобразований Лапласа от часто встречающихся функций, которые мы в дальнейшем, если нет специальных оговорок, будем считать равными нулю при отри­ цательных значениях аргумента t:

28

IР — CL “I“ yö

=----------- —= -------- -—— и приравнивая в этом выражении p - a - j Q \р—a)2+Q2 * v F

действительные и мнимые части, получим/. [e“* cosö/] =

=-\-c2x 2[t).

Свойство линейности часто используется для вычисления ориги­

налов от изображений х(р), представляющих собой рациональ­ ную функцию аргумента р-

29

чить, не обращаясь к общей формуле (1.4), путем сведения х(р) к линейной комбинации табличных выражений. Разложим функ­

цию х(р) на элементарные дроби

Числовые значения с\, сг и Сз вычисляются методом неопределен­ ных коэффициентов.

Далее имеем в соответствии с таблицей изображений и ори­ гиналов

Р+ 1

2.Изображение производной

= p nx(p) — p n~x X (0) — p n~2x (-l'i(0) — • • ■— рДп-21(0)— ^cC^—2) (0)•

( 1-9)

30

t

3. Изображение интеграла у (t) = j х (т) di

о

Учитывая, что y'(t)=x(t) и у(0)=0, из формулы изображе­ ния производной получаем

L [у '(01 = L\x{t)) = pL \y{t)\.

справедливость которых непосредственно следует из (1.5).

4.Изображение свертки двух функций

Сверткой двух функций х\(t) и x2(t) называется функция

Будем считать, что функции Xi(t) и х2(t) являются оригина­ лами, т. е. Xi(t) =x2(t) =0 при t<C_0. В таком случае пределы ин­ тегрирования в интеграле свертки могут быть сужены

Справа здесь стоит двукратный интеграл, распространенный на

31

Итак, изображение свертки двух функций равно произведению их изображений

§1.3. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ ВХОДНОГО

ИВЫХОДНОГО СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

Из введенных нами ранее операторов линейными и стацио­ нарными, как мы показали, являются операторы дифференциро­ вания, оператор умножения на постоянную величину, оператор, задаваемый дифференциальным уравнением с постоянными ко­ эффициентами при нулевых начальных условиях, интегральный оператор с весовой функцией g (t— т), оператор сдвига на время а, многомерный оператор, задаваемый системой дифференциаль­ ных уравнений при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим связь между изображениями входного и выход­ ного сигналов, задаваемую этими операторами.

Для дифференциального оператора из связи между оригина-

изводной зависимость между изображениями

у (р)=рх( р)—х(0).

Для оператора, задаваемого дифференциальным уравнением я-го порядка с постоянными коэффициентами

Из теоремы о свертке получаем зависимость между изобра­

32

Дифференциальный оператор в случае произвольных входных сигналов не имеет передаточной функции, так как изображение

выходного сигнала у(р') не представимо в виде y(p) — W(p)x(p) в силу наличия члена х(0) в формуле (1.8). Однако, если рас­ сматривать лишь непрерывные дифференцируемые функции (а только на таких функциях определен этот оператор), то для этих функций X(0) = 0; и в таком случае передаточная функция диф­ ференциального оператора W(p)—p.

Выше мы убедились, что у линейных стационарных операто­ ров передаточная функция существует. Другими словами, для ли­ нейных стационарных операторов отношение изображения вы­ ходного сигнала к изображению входного сигнала не зависит от вида входного сигнала и является некоторой определенной для данного оператора функцией.

Покажем на примерах, что у нелинейных и у нестационарных операторов передаточной функции в определенном выше смысле

шение изображений для нелинейных операторов зависит от вида входного сигнала и, следовательно, передаточной функции они не имеют.

Рассмотрим теперь нестационарный оператор y(l) = tx(t).

Для входного сигнала x(t) —1(f) имеем отношение L[t]: L[l]=

=■—= — , а для входного сигнала x(t)=t — отношение

торы передаточной функции не имеют.

Обратимся теперь к многомерному линейному стационарному оператору, задаваемому системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

при нулевых начальных условиях.

Применив преобразование Лапласа к левым и правым ча-

34

стям системы уравнений (1.20), получим систему линейных алге­ браических уравнений:

Функцию (р) принято называть передаточной функ­ цией многомерной системы от і-го входа к k- щ выходу. Сово­ купность передаточных функций многомерной системы, записан­ ных в виде таблицы

w n ( p ) W M . . . w lm{p)

W M W 22( p ) . . . w am(p)

W(p) =

Wnl{p)Wn2{ p ) . . . W nm(p)

принято называть матрицей передаточных функций многомерной линейной стационарной системы.

Из (1.22) следует, что

х,(р)

если все входные сигналы, кроме г'-го, равны нулю. В таком случае передаточная функция W ы(р) многомерной стационар­ ной системы от г'-го входа к А-му выходу может быть определена

как отношение изображения у к {р) сигнала на А-ом выходе к

изображению x t (р ) на г-ом входе, при условии, что на осталь­ ные входы поступают сигналы, равные нулю.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. Движение самолета вокруг продольной оси х приближенно описывает­ ся дифференциальным уравнением

/т ( 0 = Л Г ^ ( * ) + Ж*«»„

где Т (і) — угол крена; 63(1) — угол отклонения элеронов;

Mwx> М*э — частные производные от продольного момента по скорости вра-

р(Тр + 1) Ж" Ж > '

І( Р)

2.Движение системы описывается дифференциальными уравнениями

§ 1.4. ПРОСТЕЙШИЕ СОЕДИНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Входные сигналы одной системы могут подаваться на вход другой системы. Таким образом, системы могут образовывать до­ вольно сложные соединения. В данном параграфе мы рассмот­ рим лишь самые простые из возможных соединений: .последова­ тельное, параллельное и встречно-параллельное соединения.

36