книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

Здесь мы с самого начала будем предполагать, что при пода­ че выходного 'сигнала некоторой системы на вход другой системы передаточная функция первой системы не изменяется. Следует подчеркнуть, что на практике это требование довольно часто не выполняется; примеры такого рода приведем в конце этого параграфа, где и дадим рекомендации по исследованию соеди­ нений в таких случаях.

а) Последовательное соединение (рис. 1.2)

Дано: сигнал с выхода первой системы подается на вход вто­ рой системы. Требуется определить передаточную функцию сое­ динения \Ѵ(р).

УЛР) x[p)

Итак,

W(p) = W l (p)Wi (p).

Ясно, что при последовательном соединении п звеньев передаточ­ ная функция соединения будет равна произведению их переда­ точных функций

точной функции предыдущего звена на схемах соединений, при­ нято обозначать стрелками.

б) Параллельное соединение Дано: сигнал подается на входы двух систем (рис. 1.3), вы­

ходные сигналы этих систем суммируются; передаточные функ­ ции систем равны Wi(p) и W2(p). Требуется определить переда­ точную функцию W(p) соединения

W ( p ) ^ W l(p)+W2(p).

37

Ясно, что лри параллельном соединении п систем передаточная функция соединения будет равна сумме передаточных функций соединяемых систем

в) Встречно-параллельное соединение (соединение с обратной связью).

Дано соединение систем, изображенное на рис. 1.4.

АА

Р и с. 1.4. Встречно-параллельное соединение

Требуется найти передаточную функцию соединения.

Имеем у(р) = W\(p)[x(p) + W2(p)y(p)]. Отсюда получаем

В формуле (1.26) плюс в знаменателе соответствует случаю, ко­

гда выходной сигнал Уг(р) = W2(p)y(p) второй системы вычита­

ется из входного сигнала х(р). В таком случае говорят, что имеет место отрицательная обратная связь, так как выходной сигнал

у(р) через вторую систему подается вновь на вход первой систе­ мы с отрицательным знаком. Знак минус в знаменателе соответ­

38

Рассмотрим некоторые задачи на соединения.

1. Требуется определить передаточную функцию электриче­ ской цепи, изображенной на рис. 1.6, считая входным сигналом напряжение ii\(t), а выходным — напряжение u2(t).

Электрические процессы в этой цепи описываются соотноше­ ниями

а2 (t) = z(t).

Проведя гіреобразованне Лапласа последних выражений, полу­ чаем,учитывая, что г(0) =0,

г{Р) ■«1 (Р)\

(1.28)

р + ш

u2(p)=pz(p) .

Соотношения (1.28) означают, что передающие свойства данной цепочки могут быть представлены последовательным соединени­ ем (рис. 1.7) двух стационарных систем с передаточной функ­ цией

W {р) = ——— , Т = RC.

Т р + \

Заметим, что в теоретической электротехнике на основании дока­ занных выше формул соединения выводится так называемый сим-

39

волический метод определения передаточных функций электри­ ческих цепочек, состоящий в том, что все напряжения и токи рас­ сматриваются как функции переменного р, а емкости С, индук­ тивности L и омическому сопротивлению R приписываются со­

противления — , Lp и R соответственно. Далее токи и на-

Ср

пряжения в преобразованной цепи рассчитываются по правилам цепей постоянного тока и, наконец, переходя к отношению изоб­ ражений выходного сигнала к входному, получают передаточную функцию цепочки. В рассматриваемом примере применение ука­ занной методики приводит к соотношениям

2. Требуется определить передаточную функцию интегрирую­ щего оператора, охваченного жесткой обратной связью.

нем передаточной функцией, принято называть структурной схе­ мой.

Обратим здесь внимание на следующее обстоятельство. При последовательном соединении электрических цепочек последую­ щая цепочка будет изменять передаточную функцию предыду­ щей, поэтому при последовательном соединении цепочек теорема о последовательном соединении линейных стационарных систем выполняться не будет и передаточная функция соединений не будет равна произведению передаточных функций соединяемых

40

цепочек. Покажем это на примере. Передаточная функция после­

довательно соединенных цепочек (рис. 1.9), определяемая симво­ лическим методом, равна:

Р и с . 1.10. Электрическая цепь

Последующая электрическая цепочка не будет изменять пе­ редаточную функцию предыдущей, если только ее входное со­ противление бесконечно велико. Для соединения звеньев (рис. 1.10), где квадратом k обозначен электронный усилитель с беско­ нечно большим сопротивлением входа, формула для последова­ тельного соединения будет справедливой и передаточная функ­ ция соединения в этом случае равна:

41

2. Определите изображение tji(p) сигнала yi(t), имеющего место в точке

а (рис. 1.11), считая изображения входного сигнала х(р) и помехи f(p) за­ данными.

Ри с . 1.11. Пример

§1.5. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ

СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Прежде чем обращаться к непосредственному изучению вре­ менных характеристик линейных стационарных систем, мы вве­ дем понятие так называемой 8-»функции и изучим свойства этой функции.

Рассмотрим функцию 5Д(0 :

графиков функций с разрывами значение функции в точке раз­

42

как функция верхнего предела интегрирования t изображен на том же рисунке.

Преобразование Лапласа от функции 5Д(г1) равно:

В дальнейшем 1(t) называется единичной ступенчатой функцией

сти, причем определенный интеграл от этой функции, взятый по любому отрезку, включающему нулевую точку, равен 1. 8- функцию нельзя определить как преобразование, по которому определенному значению аргумента соответствует определенное значение функции, поэтому 8-функция не является функцией в понятии классического математического анализа. По этой при­ чине 8 -функцию относят к классу обобщенных функций; она мо­ жет быть определена лишь как предел классических функций.

Как известно, производная от интеграла по его верхнему пре­ делу равна значению подынтегральной функции от этого предела

—6

классических интегрируемых функций. Формально перенося его

Таким образом, вводя понятие 8 -функции, мы получаем воз­ можность «дифференцировать» функции с разрывами первого рода. Естественно, такое «дифференцирование» следует пони­ мать лишь в указанном выше формальном смысле.

43-

ь Доказательство:

Последнее соотношение понятно из рис. 1.13.

Далее по теореме о среднем значении интеграла с учетом не­

прерывности /(т) имеем

(+ Л

Что и доказывает соотношение (1.36).

В дальнейшем нам понадобится понятие о производной от

Рассмотрим следующие допредельные функции:

44

первого порядков

Аналогичным образом могут быть введены и 8-функции бо­ лее высоких порядков.

Переходная функция h(t)

Переходной функцией h(t) называется реакция линейной стационарной системы на входной сигнал, равный единичной

ступенчатой функции х(і) = 1 (t) . Ц1 (t)] = — , следовательно,

Р

изображение h(p) переходной функции системы с передаточной функцией W(p) равно:

Переходная функция системы может быть определена с помо­ щью обратного преобразования Лапласа

h{t) = L -1[A(p)]=Z."1

(1.39)

П ри ме р . Определить переходные функции систем с переда­ точными функциями:

45

Переходная функция системы с передаточной функцией, пред­ ставляющую собой рациональную функцию переменного р,

может быть также определена (1.41) путем перехода к операто­ ру этой системы и нахождения реакции y(t)=h(t) этого опера­ тора на входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции x(t)=\(t) .

В данном случае оператор задается соотношениями

нейная комбинация решения z(t) дифференциального уравнения

найти пг его первых производных и составить линейную комбина­

46