книги из ГПНТБ / Основы авиационной автоматики учеб. пособие

зависимости от возмущающих факторов, т. е. по разомкнутой схеме. В такой системе (рис. 0.9) датчиком Д измеряется возму­ щение и через усилитель У и исполнительное устройство ИУ оказывается воздействие на объект, обратное действию возму­ щения, в результате чего происходит компенсация возмущения. В такой системе нет связи .выхода со входом, т. е. нет замкнуто­ го контура 'прохождения сигнала.

Рис. 0.9. Функциональная схема системы компенсации

По управляемой величине у — система разомкнутая. Такие системы называются системам« компенсации возмущающих воз­ действий. В качестве примера системы, работающие по принци­ пу компенсации возмущающих воздействий, можно назвать воз­ можную схему системы стабилизации напряжения. Возмущения­ ми, вызывающими отклонения напряжения от номинального, яв­ ляются изменения скорости вращения и тока нагрузки.

Если измерять скорость вращения генератора и подавать к обмотку возбуждения генератора сигнал, пропорциональный от­ клонению этой скорости от номинальной, то мы получим разомк­ нутую систему, работающую по принципу компенсации возмуще­ ний. Аналогично может быть создана система компенсации изме­ нения тока нагрузки.

Кроме рассматриваемых автоматических систем, существует большое количество так называемых конечных автоматов. К ним

.могут быть отнесены цифровые вычислительные машины, авто­ мат открытия огня и сбрасывания бомб, автомат запуска двига­ теля, аэрофотоашіарат и др.

Такие автоматы, получив управляющий импульс, совершают цикл операций, после чего останавливаются или приходят в ис­ ходное состояние. Выполняя определенные операции, такие авто­ маты проходят через ряд состояний, число которых является ко­ нечным, отсюда название — конечные автоматы.

§ з. понятие оператора

Автоматическую систему можно рассматривать как некоторое

устройство, которое входному сигналу x(t) = {хДі), х 2 (t), . . .

... ,хп (^)} по определенному закону ставит в соответствие выход-

библиоіѳка СССР

чеоких систем и различные их соединения также можно рассмат­ ривать как некоторые устройства, которые по определенному за­

кону преобразуют входной для данного элемента или соединения

—►

сигнал x(t) в выходной сигнал у(і). В таком случае функциони­ рование автоматических систем и их элементов может быть ма­ тематически описано на языке операторов.

Оператор А также иногда называют преобразованием или функ­

цией, заданной на множестве <л:(/)>функций x(t).

—►

Функцию x(t) называют входным сигналом, а функцию y(t) —

выходным сигналом или реакцией на входную функцию x(t). Оператор А называют одномерным, если m = 1 и л=1, т. е.

когда входной и выходной сигналы представляют собой скаляр­ ные функции времени. Если же/і=тИ,либо тф\,т. е. когда вход­ ной и выходной сигналы, или хотя бы один из них представляют собой совокупность функций времени или, как мы будем гово­ рить, векторную функцию, то оператор называется многомер­ ным.

Рассмотрим примеры операторов.

1. Оператор дифференцирования }'{() = dx{t) . Этот оператор dt

определен на множестве дифференцируемых функций. Согласно этому оператору, функции x(t) ставится в соответствие ее произ­ водная.

2. Оператор возведения в квадрат y(t)= x2(t).

В этом случае функции x(t) ставится в соответствие квадрат* этой функции.

3.Оператор умножения на фиксированную функцию a(t)

Уit) = a(t)x(t).

4.Одномерный оператор, задаваемый дифференциальным уравнением п-то порядка

У я)( 0 - Я У ,,- 1) ( < ) . . . . , / ( * ) , x(t), t],

с известными начальными условиями

Этот оператор функции x(t) ставит в соответствие функцию y(t), которая является решением указанного дифференциального урав-

18

нѳния. При этом мы предполагаем, что функция f удовлетворяет условиям теоремы еуществоваиия и единственности, например, имеет непрерывные частные производные по у (л-1), . . . , у, х.

5. Интегральный оператор с весовой функцией g(t, х)

Рис. 0.10. К определению опера­ тора сдвига на время

7. Многомерный оператор, задаваемый системой дифферен­ циальных уравнений вида

8. Многомерный интегральный оператор

Поо

\ gik(t> ^)xk(-i)dx i = \ , m .

— оо

Этот оператор m-мерной векторной х (і) = {х, (t), . . . , .х,;1(£)}

функции ставит в соответствие я-мѳрную функцию у (() = = {Уі ( 0 . ----- У„(і) }■

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Оператор А называется линейным, если он удовлетворяет ус-

Л[сх(Х)]=-сЛх(7), где с — произвольное число.

Оператор А, не являющийся линейным, называется нелиней­ ным. Для линейного оператора справедливо соотношение

А [С\ХХ(0 + С2Х2(0] — А [О «1 (*)] + А [с,ха (0]—с,А х хЩ + с гАхъ{(:).

для произвольных чисел С\ И С2 и произвольных функций Xi (t) и Xi(t), принадлежащих области определения оператора, то опера­ тор будет линейным. Действительно, положив сх= с2=\, получим выполнение условия аддитивности, а положив сх= с, с2 = 0 — условие переместительности.

Соотношение (0.4) принято называть принципом суперпози­ ции, который словесно может быть сформулирован так; реакция линейной системы на линейную комбинацию входных сигналов равна той же линейной комбинации реакций на эти входные сиг­ налы.

Ясно, что соотношение (0.4), справедливое для двух сигналов, будет справедливо и для произвольного числа сигналов

А [с, А', (t) + с0х г (t) + . . . + с„ хя 11)) =

= с ,А * ,(0 A-A\c3x2{t)+ . . . + c„jc,.(0]= • ■• =

= cxAxx(t) A-c2Ax2(t)+ . . . + cnAxn(t).

Принцип суперпозиции может быть принят за определение линейной системы.

Выясним, какие из приведенных выше операторов являются линейными, а какие нелинейными.

20

1. Оператор дифференцирования является линейным, так как

итем самым -принцип суперпозиции для него выполняется.

2.Оператор возведения в квадрат не является линейным, так

как

Л[с,*і(0 + c2x2[t)) = [c1x l [t) -t- с2Хз(/;)]2 =

==cßxßi^+Cs2 х 22(і)+2с1съх 1(і)х2(і)фс1Ах 1(і) + с2Лх2(^) =

=CxX*{t) + C2X22{t),

аэто-означает, что -принцип суперпозиции для данного операто­ ра не выполняется.

3.Оператор умножения на фиксированную функцию является линейным. Можно убедиться в этом самостоятельно.

4.Одномерный оператор, задаваемый дифференциальным уравнением (0.1), вообще говоря, не является линейным. Лишь при выполнении условий, указанных ниже, он является линей­

ным. Все выкладки для простоты проведем здесь для уравнения первого порядка

Пусть дано, что оператор линейный и, таким образом, усло­ вие аддитивности выполнено, т. е. Уз(і)~У\(0 +Уг(0- В таком

случае имеем Уз(і)=У\(й) +У2 О). Из этих двух равенств следует, что, во-первых,

/ІУі(*) + У-Лі)> М(^) + л'2(0 ]= /[У і(0 - -*і(0]+/[У 2(0>-*2(0]

и, во-вторых,

Уз (*о) = У1 (*0) + У2 (4>). У1 (*о) = Уг(*о) = Уз (*о) = Уо =

Первое означает, что функция f является линейной по перемен­ ным X и у

/[У (0 . x(t)\ = a{t)y{t)-\-b{t)x{t),

где a(t) и b(t) — функции времени.

21

Итак, необходимым условием линейности оператора, зада­ ваемого дифференциальным уравнением, является равенство нулю начальных условии и линейность функции f(y,x) по пе­ ременным у и X*.

Покажем, что эти условия являются и достаточными. Если f[y(t), x(t)]=a(t)y(t) + b(t)x(t), то

У2 ( 0 = а (О У2 [t) + b (t)X2(t)\

Уз (*) = а (i) уя (t) + Ь (i) \хх (t) + xa(t)]

С учетом того, что y\(U)=y2 (h)=yz(to) =0, из последних со­ отношений получаем Уз(і) =Уі(() +У2 О). Итак, аддитивность оператора доказана. Умножая на число с левую и правую части дифференциального уравнения

~ ~ \°у (01 = «(О [<-У(0] + b(t) [м (0 ]. at

получаем, что оператор переместнтелен относительно умножения на число с.

Из аналогичных рассмотрений следует, что оператор, задава­ емый дифференциальным уравнением /г-го порядка, будет ли­ нейным. тогда и только тогда, если оно представляется в виде:

ап (t) у<") (t) + . . . + а2(0 y' (t) + а0 (t) y(t) = b{t)x (t), (0.6а)

а начальные условия являются нулевыми.

Необходимо убедиться самостоятельно, что операторы 5, 6 и 8 являются линейными операторами.

x(t) и y(t), т. е. представляются в виде:

fi [/(0. М М = «лУі(0+ •••+ Д|„Ул(*) -H .iAi(0 + . . . + b imx j t ) ,

• ■• >Л L-*) J'J}. то уравнения (0.3) могут быть записаны в виде:

/ ( 0 = 7 [ у М> x[t),t\,

* Как будет показано ниже (см. § 1.7), если ненулевые начальные условия рассматривать как дополнительные входные сигналы, то оператор, задавае­ мый линейным дифференциальным уравнением с ненулевыми начальными ус­ ловиями, можно считать линейным.

22

Повторяя теперь дословно те же рассуждения, что и в пунк­ те 4, получим доказательство необходимости и достаточности сформулированных условий линейности.

Входным сигналом является векторная функция {-«і (0> -^2(0}і а выходным —

векторная функция (Уі (/), УгМ}-

где y(t)=Ax(t), а Т — произвольное число.

Оператор стационарен, если реакция на смещенный на время Т входной сигнал равна смещенной на время Т реакции на исход­ ный сигнал.

Грубо говоря, стационарный оператор «не изменяет своих пе­ редающих свойств» с течением времени.

Рассмотрим стационарность приведенных выше операторов. Начнем с оператора 3. Его реакция на задержанную на вре­

мя Т входную функцию равна:

A x ( t — T ) = a ( t ) x ( t — T).

Учитывая, что y(t—T) = a(t—T)x(t—Т), -получаем, что опера­ тор, вообще говоря, нестационарный. Он будет стационарным

23

Если, наоборот, дано, что интегральный оператор стационарен, то выполняется равенство

Итак, условие (0.10) является необходимым и достаточным для стационарности интегрального оператора. Это условие будет вы­ полнено, если весовая функция интегрального оператора пред­ ставляет собой функцию от разности аргументов t их

Как нетрудно понять, оператор, задаваемый дифференциальным уравнением (0.1) или системой дифференциальных уравнений (0.3), будет стационарным в том случае, если правые части этих уравнений не будут явно зависеть от t (такие уравнения в тео­ рии дифференциальных уравнений принято называть автоном­ ными). Заметим, что отсюда и из (0.5) я (0.6) вытекает, что опе­ ратор, задаваемый линейными дифференциальными уравнения­ ми, будет линейным и стационарным лишь в случае уравнений с постоянными коэффициентами:

алУл)(Л + а я-іУ (',_1)(0 + . . . 4- cixy^(t) + а0у (t) = b0x (/)

24

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Выяснить, какие из указанных ниже операторов являются стационарными:

Системы автоматического управления по виду их оператора принято подразделять на линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные. При функционировании автоматически управ­ ляемой системы все ее сигналы могут быть определены как функции времени от непрерывного аргумента t, либо хотя бы один из сигналов может быть определен как функция времени от дискретного аргумента tk. Системы первого вида называют не­ прерывными, а системы второго вида — дискретными. Примера­ ми дискретных систем, нашедших широкое распространение в практике, являются радиодальномер, системы наведения истре­ бителей на воздушную цель по показаниям РЛС и системы уп­ равления, включающие цифровые вычислители.

По количеству входных и выходных сигналов системы при­ нято подразделять на одномерные (когда имеется один входной и один выходной сигнал) и многомерные.

Г Л А В А 1

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Система называется линейной и стационарной, если ее опе­ ратор удовлетворяет условиям линейности (0.4) и стационарно­ сти (0.7).

Как это будет видно ниже, линейные стационарные системы обладают гой особенностью, что задаваемая ими связь между входным и выходным сигналами может быть выражена значи­ тельно более простыми и единообразными способами, если рас­ сматривать связь не -между самими сигналами как функциями времени, а между их преобразованиями по Фурье или Лапласу.

Поэтому мы сначала вкратце остановимся на основных поло­ жениях теории этих преобразований.

§ 1.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА

зависящий от параметра ш.

Этот интеграл будет сходиться при всех значениях “ в том случае, если функция f(t) является абсолютно интегрируемой,

оо

т. е. J \f{t) I dt = с ф со.

—со

Втеории этого преобразования доказывается, что функция

f(t) в свою очередь может быть представлена в виде интеграла

зависящего от параметра t

Недостатком преобразования Фурье с точки зрения автома­ тики является сравнительно узкий класс функций, для которых интегралы (1.1) и (1.2) являются сходящимися.

26