книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

Перейдем далее к рассмотрению погрешностей интер­ поляции случайного процесса по дискретным во времени измерениям с учетом квантования в момент измерения. Используя методику, принятую в гл. 4, при ступенчатой интерпсляции имеем:

Из входящих в формулу (5-37) величин новыми являются только взанмнокорреляцпонные функции по­ грешности дискретности и x(t) и yBx(t) соответственно:

Можно воспользоваться также выражением для взаимнокорреляцпонной функции сигнала и шумов квантования, полученным в |[Л. 1-3]. Отметим, что разли­ чие постановок задали в [Л. 1-3] и нашем случае состоит

в учете нами погрешностей і/вх. В наших обозначениях без учета //вх имеем:

где 02.-V— двумерная характеристическая функция кван­ туемого сигнала с произвольным вещественным параме­ тром и. Используя это выражение, в предположении о нормальности X(t) и Увх(/) и их некоррелированности имеем:

аппроксимируются гиперболической зависимостью, так как ox2^>q2-

ним членом формулы можно заведомо пренебречь. Подобным же образом может быть определена по­

грешность при других видах интерполяции.

Отметим две особенности анализа дисперсии погреш­ ности квантования в динамике. Во-первых, при этом анализе не играет роли, каков порядок обобщенного марковского процесса, полученного после дискретиза­ ции. Во-вторых, дисперсия погрешности восстановления

194

дискретизированного и проквантованного процесса суще­ ственно зависит от применяемого метода интерполяции. В этом отношении расчет дисперсий погрешности суще­ ственно отличается от информационного анализа, являясь более простой, но более частной задачей

Даже при стационарности Х(1) погрешность интер­ поляции представляет собой нестационарный процесс.

В ряде случаев можно указать оптимальные соотно­ шения между интервалом времени между измерениями Т и шагом квантования по уровню q. Например, если измерения следуют непосредственно друг за другом че­ рез время, необходимое для считывания показаний, то имеется конкретная связь Т с q. Для развертывающих

где Т,, определяется быстродействием нуль-органа. Если применяется ступенчатая интерполяция, то при условии монотонного спада автокорреляционной функции мини­ мум дисперсии сг/в.макс достигается при Т— Т0, удовле­ творяющем условиям:

Для преобразователей с поразрядным уравновешива­ нием при применении двоичного кода

откуда минимум максимальном дисперсии погрешности восстановления обеспечивается Т.= Т0, для которого

В рассмотренные примерах фактически показывается целесообразная связь быстродействия аппаратуры и чув-

ствительности. Интересно отметить, что статистические характеристики YBX(t) не влияют на эти соотношения при ступенчатой интерполяции.

5-3. СПОРАДИЧЕСКАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ПРИ КВАНТОВАНИИ ПО УРОВНЮ

Большинство существующих измерительных информационных систем построено на основе цикличес­ кого опроса, рассмотренного выше. В некоторых систе­ мах применяют измерение по вызову. Вместе с тем для решения ряда задач перспективным представляется спо­ радический принцип дискретизации.

Под спорадическим опросом [Л. 5-8] понимается изме­ рение в случайные моменты времени, определяемые хо­ дом конкретной реализации случайного процесса.

Примером воплощения такого принципа является рас­ сматриваемый ниже метод дискретизации при кванто­ вании по уровню, реализуемый в АЦП следящего дей­ ствия.

Пусть, как и раньше, истинное значение измеряемой

погрешности измерения в момент снятия отсчета будем считать пренебрежимо малыми. В § 5-1 было показано [см. (5-13)], что при определенных условиях среднее чис­ ло пересечений в единицу времени процессом Х(і) гра­ ниц областей квантования по уровню равно:

Дя == ] / 2%а_ѵ, -J-.

В спорадической системе каждое такое пересечение является как бы заявкой на обслуживание [Л. 5-10]. Дру­ гими словами, в системе не возникает никакого сообще­ ния, пока X находится внутри кванта (г—l)q<x<iq, где і=1, 2, ..., N. В момент времени th>определяемый из ра­ венства x(til)=iq, возникает сообщение. Время обслужи­ вания одного сообщения, т. е. время считывания показа­ ний (и, если требуется, математической обработки и ре­ гистрации), обозначим через тп. Время пребывания процесса X{t) в границах ((і—\)q, iq] — случайная ве­ личина, обозначаемая как T(iq).

196

При нормальности процесса X (/) среднее значение

+ Ф, {{ІЯ- X) ox '] - Ф, [(/<7 - q - X) зв '] j , (5-46)

где T*a_-l)q и T*iq — длительности выбросов соответст­ венно за уровень (i— \)q и iq; Ф, — форма интеграла вероятности (см. приложение 1). При больших значениях N последняя формула преобразуется к виду

Точность приближенного равенства в формуле (5-47) весьма велика и зависит от N. В частности, при іѴ= 100 и правильном выборе соотношения между ох й L по­ грешность не превышает 1,5%. Средняя по всем уров­ ням длительность интервалов времени между ближай­ шими пересечениями границ квантов

Если T(iq)>Тп, то устройство к моменту возникнове­ ния новой заявки успевает освободиться от обслужива­ ния предыдущей. Если Т (iq) < т1Ь то в момент получения второй заявки система занята. В этом последнем случае возможны следующие варианты: либо система способна запомнить заявку, либо память отсутствует. В первом случае заявка, возникшая в то время, когда система была занята, спустя некоторое время і3 дождется момен­ та освобождения системы и вызовет новое сообщение; во втором случае сообщение будет потеряно. Возможно воз-

197

никновение белое чем одной заявки за время занятости системы то. Тогда для системы с запоминанием возмож­ на память по первому из возникших сообщении, по по­ следнему или по нескольким.

Успешность функционирования системы может быть оценена по критериям, принятым в теории массового обслуживания, например среднему времени задержки и вероятности потери сообщения (см., например, (Л. 5-4, 5-5]). Однако в данном случае эти критерии хотя и полу­ чили некоторое применение (см., например, [Л. 5-10, 5-11]), но отражают менее существенные особенности ИИ С по сравнению с развиваемыми ниже информацион­ ными оценками пли дисперсией погрешности восстанов­ ления процесса.

Следует оговорить, что сам по себе алгоритм спора­ дической дискретизации предполагает лишь процедуру определения моментов времени измерения {//,}. В эти мо­ менты может измеряться как полное значение х (//,), так и приращения. В последнем случае, если требуется опре­

времени измерениям могут применяться различные ме­ тоды интерполяции, рассмотренные в гл. 4.

Рассмотрим прежде всего систему без потерь сооб­ щений. Теоретически в любой системе с конечным и от­ личным от нуля временем обслуживания т,і, если искус­ ственно не наложить на нее условие иі(7\) = 0 при Ті,< <т„, всегда имеются отличные от нуля математическое ожидание времени задержки и вероятность потери сооб­ щений. При прочих равных условиях величина их тем меньше, чем меньше N и и чем медленнее изменяется процесс. Поэтому при наблюдении медленных процессов (например, давление в магистральном газопроводе) спо­ радическая система может работь практически без по­ терь сообщения.

Другими примерами возможных систем без потерь являются измерение температур тел с большой тепловой инерцией и наблюдение за осадкой грунтов в лаборато­ риях строительных учреждений.

Если для восстановления исходного непрерывного процесса после дискретизации вышеописанным образом применяется ступенчатая интерполяция, то в соответст­ вии с [Л. 2-9] автокорреляционная функция ня пыхопе

198

равна:

и

,/=1

где ф(”)і — /г-я производная от интеграла вероятностей. Усредненная по всем интервалам квантования дис­ персия погрешности интерполяции приблизительно,равна q2l 12, а автокорреляционная функция погрешности

интерполяции в соответствии с [Л. 1-3]

причем формулы (5-50) и (5-51) выведены в предполо­ жении о нормальности процесса X(t).

Отметим, что во всех приведенных в данной главе формулах возможна замена х(і) на 2вх(0 =х(і) +у ПХ(0 . что позволяет увязать результаты данного параграфа с предыдущим материалом.

Перейдем далее к информационному описанию систе­ мы без потерь. Отличительной особенностью информа­ ционного анализа является возможность описания пото­ ка на выходе системы без учета методов интерполяции. В этом смысле информационный анализ описывает как бы предельные возможности восстановления. В данном случае, как во всякой спорадической системе, информа­ цию песет сам момент появления сообщения и характер сообщения. В данном случае характер сообщения — это знак сообщения, т. е. знак приращения. Первую состав­ ляющую количества информации назовем фазовой, вто­ рую— амплитудной. Для системы без потерь сообщений амплитудная составляющая / а не превышает 1 дв. ед.

Рассмотрим количество информации в фазе поступле­ ния измерения. Естественно, что эта величина /ф отлич­ на от пуля только в том случае, если интервалы времени между измерениями Т случайны. Предположим, что по­ ток заявок является простейшим, т. е. ординарен, стацио­ нарен и не имеет последействия. Запишем прежде всего дифференциальную энтропию величины Т в виде

СО

В связи с тем, что любой измеритель времени имеет квантующее устройство, то фактически может быть заре­ гистрирована не непрерывная величина Г, а результат ее аналого-цифрового преобразования (время дискрети­ зации) Г д . Обозначим величину кванта через То- Анало­ говой ошибкой измерителя времени при измерении ма­ лых интервалов, как правило, можно пренебречь. Тогда вся ошибка измерения фазы поступления, сводится к по­ грешности дискретности Ут- Среднее значение условной энтропии равно:

При этом предполагалось, что величина уд- достаточ­ но мала, чтобы вероятностью появления нового измере­ ния за это время можно было пренебречь, т. е. 1—ро<С

< 1.

200

Количество информации в фазе поступления измере­

что и следовало ожидать.

Таким образом, скорость передачи информации в си­

вует отличная от нуля вероятность потери заявки, как это будет показано ниже. Однако полученные в данном

измерения, будут потеря­ ны. Следующее измерение будет ’ вызвано первой же

заявкой, возникшей после освобождения от обслужива­ ния (рис. 5-6). При этом характер каждого измерения меняется — счет единичных приращений невозможен. Возможно либо измерение приращений, что связано с накоплением погрешности, либо измерение полных значений. Допустим, что реализуется второй вариант.

201

Количество информации в одном сообщении по-пре>к- нему будем описывать через амплитудную и фазовую компоненты. Нетрудно видеть, что

ниц областей квантования по уровню процессом А'(/) за время обслуживания одной заявки; HN{n-\-\) опреде­ ляется формулой (5-23).

Компонента /ф определяется формулой (5-53), если поток пересечений простейший. При соблюдении усло­ вия пуассоновского потока имеем также: •

Для нахождения скорости получения информации определим также интенсивность потока обслуживаемых заявок Запишем:

ления такого пересечения, которое не послужит основа­ нием для измерения.

где Н — математическое ожидание числа потерянных за­ явок за время тп.

202