книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

Уравнение (9.14) является необходимым, но недостаточным ус­ ловием достижения функционалом / экстремума. Поэтому каждое решение проверяется, действительно ли оно соответствует экстремуму функционала. Для этого можно воспользоваться достаточными условия­ ми экстремума функционала [791. Иногда из физических соображений следует, что экстремум функционала достигается на полученной кри­ вой. В этом случае проверку достаточных условий можно не произво­ дить.

Искомая функция h (t) может входить в функционалы Y{ не только под знаком оператора, но и непосредственно (функционал с единичным или тождественным оператором).

В этом случае можно считать, что h (х) является единичным операто­ ром. Последний, используя фильтрующее свойство б-функции, можно представить так:

и

/i(x) = j6 ( x —t)h(t)dt. (9.16)

л

Подставим (9.16) в (9.15). Будем считать, что оператор (9.16) имеет индекс i = 0. Произведя преобразования, получим обобщенное урав­ нение Эйлера—Пуассона для функционалов (9.15), заменяющих функ­ ционалы (9.7):

Для более простых, чем (9.6), функционалов интегрального вида

соответственно упрощается и обобщенное уравнение Эйлера—Пуас­ сона

в качестве ядер использовать б-функцию и ее производные

Ki(x, /) = б(0 (х—t),

то интегральные операторы обратятся в операторы дифференцирова-

290

ния, а уравнение (9.19) — в классическое уравнение Эйлера—Пуас­ сона

dk(i) (x)

i = 0

для функционалов, зависящих от функции и ее производных

Y = f F[x, h(x), h'(x), . . . , h{i)(x), . . . , h{k)(x)]dx. (9.21)

Иногда при синтезе оптимальных фильтров приходится иметь дело с нелинейными операторами типа Урысона

к

ф{(х) = $К[х, t, h(t)]dt. (9.22)

л

Тогда необходимое условие экстремумов [аналогичное (9.14)] функ­ ции от функционалов, зависящих от операторов (9.22), примет вид

§9.2. ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

9.2.1.Функция спектральной корреляции и ее свойства

Блок-схема частотно-временного фильтра приведена на рис. 9.1. Входное воздействие, состоящее из полезного сигнала Uc (t) и помехи Un (t) в виде стационарного нормального шума, подается на перемножитель. Сюда же поступает опорное напряжение Uon (t). Напряжение Uon (i) является детерминированной функцией времени. В перемножителе осуществляется изменение во времени амплитуды входного воздейст­ вия. Избирательность по времени аналогична избирательности по ча­ стоте. Таким образом, в перемножителе реализуется временная часть фильтра.

Результат перемножения входного воздействия и опорного напря­ жения поступает на вход линейного четырехполюсника с импульсной переходной функцией h (т), реализующей частотную часть фильтра.

Для оптимизации устройства обработки входного воздействия тре­ буется подобрать импульсную переходную функцию. При этом счи­ таются известными полезный сигнал, опорное напряжение и корреля­

291

шедшие через линейный четырехполюсник, могут быть представлены в форме операторов свертки

СО

Значение полезного сигнала на выходе четырехполюсника в мо­ мент i0, который наступает после окончания сигнала, удобно предста­ вить в форме линейного функционала с помощью б-функции. Послед­ ний зависит от оператора

Помеха на выходе частотно-временного фильтра является в общем

Здесь Тн — время наблюдения, угольные скобки означают операцию статистического усреднения по ансамблю.

В качестве критерия оптимальности используется функционал от­ ношения сигнал/помеха

который является сложным функционалом типа (9.6), зависящим от функционалов £/вых. с (/0) и Рп.

Функционалы Нвыхс(/0) и Рп в свою очередь зависят от опера­ торов (9.24). Таким образом, решение задачи максимизации отноше­ ния сигнал/помеха может быть найдено с помощью обобщенного урав­ нения Эйлера—Пуассона (9.14). При выводе уравнения (9.14) исполь­ зовалось дифференцирование по параметру. Поскольку дифференци­ рование — операция линейная, можно изменять порядок дифферен­ цирования и усреднения по ансамблю [32]. Это позволяет применить уравнение (9.14) в случае усреднения по ансамблю в сложном функ­ ционале (9.27)

292

вый (внешний) интеграл также из уравнения (9.14). Второй является результатом взятия «частной производной по оператору»

Ядром является функция Uon (t — т) Un (t—т).

Первый член интегрального уравнения (9.28) представляет собой

Переходя в интегральном уравнении (9.28) к преобразованию Фурье, согласно теореме о спектре свертки [15] получим

Величины в уравнении (9.29) являются изображениями Фурье величин уравнения (9.28). Обозначим их соответствие:

SQn (м) = Uоп (0 — спектр опорного сигнала; 5 С(и) == Ос (t) — спектр сигнала;

Sn (со) = Un (t) — спектр реализации шума; К (со) = h (т) — коэффициент передачи;

— спектр б-функции.

Знак * означает комплексно-сопряженную величину. Коэффициент передачи оптимального четырехполюсника с точностью до несущест­ венного постоянного множителя найдем из (9.29)

Представляя знаменатель выражения (9.30) в виде двойного ин­ теграла и меняя порядок интегрирования и статистического усредне-

293

ния, получим

представляет собой корреляционную функцию, определенную на оси частот. Это выражение характеризует статистическую связь между гармоническими составляющими спектров реализации шума. Оно мо­ жет быть названо «функция спектральной корреляции». Для функции спектральной корреляции введем обозначение:

На свойствах функции спектральной корреляции мы остановимся дальше. Сейчас же отметим, что если помеха Un (t) — стационарный

Коэффициент передачи оптимального четырехполюсника в частотно­ временном фильтре определяется отношением комплексно-сопряжен­ ной свертки спектра сигнала с изображением весовой функции к свертке спектральной плотности шума с квадратом модуля изображе­ ния весовой функции.

Это объясняется тем, что в перемножителе изменяются спектры сигнала и шума, и фильтр (линейный четырехполюсник) должен быть оптимальным при измененных спектрах.

Предположим теперь, что реализации случайного процесса Un (t) соответствует спектр 5 П(со). Это означает, что реализация может быть представлена в виде

Функция корреляции процесса Un (t) в этом случае может быть выра­ жена через спектр Sn (со)

294

Различным случайным процессам будут соответствовать различные распределения величины G (со 1? со2). Ее значения могут быть сконцен­ трированы в отдельных точках плоскости (соъ со 2), распределены на линиях или «размазаны» по всей плоскости с непрерывной поверхност­ ной плотностью.

Очевидно, функция спектральной корреляции обладает свойст­

т. е. в точках, разложенных симметрично относительно биссектрисы coj = со 2, значения R (а>1, со2) комплексно сопряжены, а на самой бис­ сектрисе вещественны. Отсюда следует, что интегралы вида (9.35), распространенные на любую симметричную относительно биссектрисы со х = со 2 область, вещественны.

Распределение величины G (со х, со2) по всей частотной плоскости (соХ) со,) исключает возможность представления моментов второго по­

рядка в виде однократных интегралов. Так, например, если U„ (t)

означает среднюю мгновенную мощность, то вклад в U2n (t) вносит не только гармоническая составляющая с частотой со, но и все остальные частотные составляющие в интервале (со, со + ofco), поскольку они коррелированы с первой составляющей.

В этом случае говорят, что средние энергетические характеристики нестационарного процесса не локализуемы по частоте.

Вычислим функцию спектральной корреляции для процесса Un (t).

4я2Л > Л

где <zUn (tj) Un (^2) > = R (^c> h) — корреляционная функция (вре­ менная) исходного процесса. Далее будем иметь

Таким образом, функция спектральной корреляции является двой­ ным преобразованием Фурье автокорреляционной функции процесса.

295

Для стационарных процессов корреляционная функция зависит только от разности времени т = t1 — /2. В этом случае

Для стационарных процессов функция спектральной корреляции является б-функцией, т. е. частотные составляющие некоррелированы.

Спектральная плотность [5] может быть выражена через функцию спектральной корреляции

00

SnK) = J ЯК, ®2)dco2.

—00

Спектральная плотность нестационарного процесса характеризует вклад в полную энергию процесса составляющих в интервале частот ((Oj + dfftj) и всех коррелированных составляющих с другими часто­ тами.

Если функция спектральной корреляции имеет вид (9.41), то спек­ тральная плотность имеет обычный смысл. При модуляции стационар­ ного шума детерминированным колебанием Ноп (t), его корреляцион­ ная функция примет вид [5]

R К h) = Ноп (П) Доп К R (h — t2)

и для функции спектральной корреляции получим

Я К , М2) = — J | Uon У д Доп (бг) # (Д — *я) X

xe/<®A-®A>d*idfa. (9.42)

Если модулируется «белый шум», у которого корреляционная функ­ ция — б-функция, то

При модуляции стационарного «белого шума» функция спектраль­ ной корреляции зависит только от разности частот.

При стробировании «белого шума» периодической последовательно­ сти импульсов форма спектральной плотности не изменяется. Однако вклад в полную энергию спектрального интервала вносят также гар­ монические составляющие, разнесенные на частоту следования, две частоты следования и т. д.

296

Важно отметить, что при модуляции (стробировании) шума он при­ обретает новые свойства, которыми не обладал исходный стационар­ ный процесс. Возникает корреляция между его частотными состав­ ляющими.

9.2.2.Спектральная корреляция как метод повышения помехоустойчивости временных дискриминаторов

Вернемся к формуле (9.33) для оптимального фильтра с учетом вре­ менной фильтрации. Если для первого случая в ней положить Son (со) -- б (со), то получим формулу для коэффициента передачи оптимального фильтра

S > )

К (СО)

Sn (о)

Во втором случае будем считать, что производится взвешивание во времени процессом со спектром Son (со) = S c (со). Этот процесс дол­ жен совпадать цо форме с сигналом, который является периодической импульсной последовательностью. Тогда оптимальный коэффициент передачи является набором сдвинутых на шо0 6-функций. Оптималь­ ные результаты могут быть достигнуты и при одной 6-функции. Послед­ нее объясняется тем, что при стробировании шума между частотными составляющими появляется корреляция. Использование гармоник сиг­ нала с коррелировннаыми шумами не улучшает отношения сигнал/'шум.

Исходя из формулы (9.43), интервал частотной корреляции можно приближенно представить

Т

Ап

"^СТр

где Ап — разность номеров между некоррелированными тармониками Т — период повторения импульсов; тстр— длительность строба.

Число гармоник п, в которых содержится 90% энергии сигнала, зависцт длительности импульса тн

Т

п ~ — ,

Ти

откуда число гармоник /, которое целесообразно использовать, можно определить из выражения

При длительности строба, равной длительности импульса / = 1, по­ лучается корреляционный прием. При длительности строба, равной периоду, получается оптимальный гребенчатый фильтр I = п. Воз­ можны и промежуточные случаи. Тогда реализуется частотно-вре­ менной фильтр. Таким образом, и корреляционный прием и оптималь ную фильтрацию можно рассматривать как частные случаи частотно­ временных фильтров.

297

Из вышесказанного также следует, что наличие априорной инфор­ мации о временном положении импульсов не влияет на отношение сигнал/помеха на выходе устройства оптимальной обработки сигналов.

Появление спектральной корреляции при стробировании может быть использовано для повышения помехоустойчивости спектраль­ но-временного дискриминатора. Таким путем можно также увели­ чивать помехоустойчивость частотных детекторов и других устройств, в которых формируется разность между спектральными составляю­ щими входного процесса.

Принцип действия помехоустойчивого дискриминирования интер­

Рис. 9.2. Двухимпульсная периодическая последовательность

заданного значения т0. Разложим временной процесс (см. рис. 9.2) в ряд Фурье. При этом выражение для амплитуды п-й гармоники имеет вид

Здесь А — амплитуда импульсов; п — номер гармоники частоты по­ вторения; Т — период следования пар импульсов; ти — длительность импульса.

Формула (9.45) описывает амплитудный спектр (см. рис. 9.3). Оги­ бающая спектра образуется произведением двух компонент. Первая

1 ■ п п

компонента — sin — ти постоянная для данной последовательности,

яТ

Она обусловлена формой импульсов, которая в принципе может быть

любой, но одинаковой. Вторая компонента c o s тинтобусловлена

интерференцией между одинаковыми по амплитуде, но отличающи-

сов, вследствие их сдвига в пределах периода Т .

298

Найдем номер гармоники, соответствующей максимальному изме­ нению крутизны. С этой целью запишем

Оптимальные гармоники, обладающие максимальной скоростью из­ менения амплитуды, в зависимости от тинт имеют амплитуду, близкую к нулю.

Отклонение интервала в любую сторону от т0 приводит к резкому увеличению амплитуды гармоники. Но поскольку сторона отклонения содержится в фазе гармоники, то в этом случае выделение информации

Рис. 9.3. Амплитудный спектр двухимпульсной последова­ тельности

о знаке отклонения затруднено. Для определения знака отклонения проще выделить не оптимальную гармонику п0, а измерять разность амплитуд двух гармоник п 1 и п 2, расположенных по обе стороны от­ носительно п0:

«1 — п0-\- Ап,

п2 — п0— Ап.

При увеличении интервала тинт относительно т0 провал в спектре, соответствующий п0 при тинт = т0 смещается влево, к нулевой часстоте; амплитуда гармоники п2 увеличивается, а пг — уменьшается. При уменьшении тинт наблюдается обратная картина. При тинт = т0 амплитуды гармоник выравниваются для компенсации первого мно­ жителя в (9.45).

Пример реализации описанного способа представлен на рис. 9.4. Устройство состоит из двух узкополосных, например, кварцевых фильтров КФ1 и КФ2, выпрямителей Д1—Д4 и дифференциально

299