книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

X рп (т + Т') dx + 2k2o2o2 } рп (т + т') рп (т—г') dx.

О

Вследствие свойства четности корреляционной функции имеем

280

совместный интервал корреляции управляющего воздействия и по­

Найдем квадрат относительной средней квадратичной погрешно­

Если время задержки х' = 0, то формула (8.125) переходит в формулу (8.76), дающую квадрат относительной средней квадратичной по­ грешности анализа дисперсии.

При использовании в качестве усредняющего устройства идеаль­ ного интегратора (А/э = 1/27") и в предположении, что р* (т) и рп (т) описываются выражениями (8.78) и (8.79), можно показать, что выра­ жение преобразуется к виду

281

Относительная энтропийная погрешность анализа корреляционной функции равна

(8.126)

где К — энтропийный коэффициент погрешности, равный 2,07 при нормальном законе распределения вероятностей значений погрешно­

сти.

Подставив (8.126) в (8.40) и полагая, что на интервале анализа управляющее воздействие характеризуется возрастающей диспер­ сией, т. е. что

zi = °1 ( 0 рх ( 0 ; z 2о=2(tх +■ т) рх(t+т),

получим формулу информационной способности анализа корреля­ ционной функции

°х (* + Т) Рх (* + Т)

X

о2 (0 Рх ( t )

При анализе управляющего воздействия с вырождающейся во вре­ мени дисперсией расчет информационной способности производится по формуле (8.127), в которой полагается

г1= о>Ц + Т ) Рх« + Т); г 2 = °2^ х ^)-

Формула (8.127) дает выражение для информационной способности анализа корреляционной функции в одной точке при %' = const.

Для получения формулы информационной способности анализа всей кривой корреляционной функции необходимо перемножить ин-

282

формационные способности анализа отдельных точек кривой, т. е.

где г — число точек кривой.

ГЛАВА 9. ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

ВРАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ

§9.1. ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ

ВРАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ

ИМЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ

9.1.1.Постановка задачи

Фильтрацией называется обнаружение сигналов на фоне помех путем использования специальных фильтров. Процесс фильтрации характеризуется двумя явлениями. С одной стороны, при фильтрации подчеркиваются «полезные» составляющие в спектре входного воз­ действия. С другой стороны, в процессе фильтрации ослабляются со­ ставляющие, охватывающие спектр помех. Фильтры, наилучшим об­ разом выполняющие свои задачи, называются оптимальными.

В радиоэлектронных системах морских объектов сигналы, несущие полезную информацию, могут быть двух типов. Первый тип охваты­ вает класс детерминированных сигналов. Параметры таких сигналов известны заранее. Вторым типом являются случайные сигналы. Их параметры заранее не известны.

Детерминированные сигналы представляют собой импульсы опре­ деленной формы, синусоидальные колебания различных частот и т. д. Они используются в радиоэлектронных системах активного типа, ге­ нерирующих собственное физическое поле. В таких системах приме­ няется различные методы кодирования сигналов. Сочетания соответст-

283

вующих детерминированных сигналов содержат информацию об уп­ равляющих объектах.

Фильтрация детерминированных сигналов сводится к их обнару­ жению на фоне помех. Наибольшая вероятность правильного обнару­ жения детерминированного сигнала достигается при максимальном отношении сигнал/'помеха на выходе фильтра. Оптимальные фильтры максимизируют это отношение.

Случайные сигналы, как правило, бывают непрерывными. Они являются случайными функциями времени.

Случайные сигналы возникают при обнаружении и распознавании управляющих объектов разных классов. При распознавании управ­ ляющих объектов появляется необходимость измерения различных параметров сигналов.

Одним из рациональных критериев эффективности фильтрации слу­ чайных сигналов может служить критерий минимума средней квадра­ тической ошибки воспроизведения полезного сигнала. Оптимальные фильтры обеспечивают минимум средней квадратической ошибки вос­ произведения сигнала.

Как будет показано ниже, структура оптимальных фильтров ока­ зывается достаточно сложной. Последнее приводит к значительным трудностям при их практической реализации. Корреляционные же методы обработки сигнала (см. гл. 7) требуют знания момента прихода сигнала. Поэтому их практическая реализация также вызывает со­ ответствующие затруднения.

При работе радиоэлектронных систем момент появления сигнала обычно неизвестен. Однако можно выделить интервал времени, в те­ чение которого следует ожидать появления сигнала. На использова­ нии ожидаемого интервала появления сигнала основан особый метод фильтрации. Этот метод называется частотно-временным способом об­ работки сигналов.

Частотно-временные фильтры занимают промежуточное положе­ ние между оптимальными фильтрами и корреляторами. В ряде слу­ чаев они оказываются проще оптимальных фильтров. Как уже отме­ чалось, для реализации частотно-временных фильтров не требуется точного знания момента прихода сигналов.

Радиоэлектронные системы автоматического управления морскими объектами характеризуются тем, что в них отсутствует человек-опе­ ратор. Функции человека-оператора по измерению параметров сиг­ нала выполняются автоматически. Для этой цели используется изме­ рительное устройство. Блок измерения параметров сигнала э'того устройства включается после фильтра. Блок измерения может допу­ скать свои ошибки. Эти ошибки будут суммироваться с ошибками фильтрации сигналов. В ряде случаев влияние блока измерения па­ раметров сигнала необходимо учитывать при синтезе оптимальных фильтров. В качестве критериев таких фильтров следует использо­ вать минимум дисперсии ошибки измерения на выходе измерительного устройства.

Выше отмечалось, что частота несущих колебаний управляющего сигнала зависит от характера относительного движения объектов. Поэ­

284

тому, решая задачу фильтрации сигналов, необходимо в ряде случаев учитывать эффект Допплера. Таким образом, задача фильтрации сиг­ налов в радиоэлектронных системах автоматического управления мор­ скими объектами включает четыре основных положения:

—фильтрация детерминированных и случайных сигналов;1

—частотно-временная фильтрация;

—фильтрация сигналов с учетом выходных устройств;

—фильтрация сигналов с учетом эффекта Допплера.

Основной характеристикой фильтра является импульсная переход­ ная характеристика. Каждой переходной характеристике ставится в соответствие некоторое значение отношения сигнал/помеха или дисперсия ошибки. Зависимости, при которых каждой функции ста­ вится в соответствие некоторое число, называются функционалами. При разработке фильтров радиоэлектронных систем стремятся полу­ чить максимальное значение отношения сигнал/помеха или минималь­ ное значение дисперсии ошибки. И в том, и в другом случаях решается задача поиска экстремума функционалов. Раздел математики, в ко­ тором изучаются методы поиска экстремумов функционалов, назы­ вается вариационным исчислением. Следовательно, задача оптималь­ ной фильтрации сигналов в радиоэлектронных системах является вариационной.

9.1.2.Вариационная задача синтеза оптимальных фильтров

Понятие функционала и оператора. Для задачи вариационного исчисления характерна следующая схема. Имеется некоторый числовой параметр /; он выражается по определенной формуле через неизвест­ ную функцию h (х).

Эту функцию нужно подобрать. Функция h (х) является произволь­ ной, хотя она удовлетворяет некоторым условиям, например, условию непрерывности.

Если каждой функции из определенного класса функций соответст­ вует значение некоторого параметра, то такой параметр называется функционалом. Таким образом, основная задача вариационного ис­ числения — это нахождение функции h (х), обеспечивающей экстремум заданному функционалу.

Чтобы пояснить понятие функционала, напомним понятие функции. Например, имеется функция у = х 2. Согласно этой формуле, каждому значению х отвечает некоторое значение у. Таким образом, сущест­ вует закон, по которому числам х отвечают числа у. Рассмотрим да­ лее формулу

1

/= [ у2 (х) dx.

о'

Если вместо у подставить различные конкретные функции, то будут

1 Фильтрация детерминированных и случайных сигналов изложена в ли­ тературе (см., например, [2, 15, 51] и др.).

285

получаться некоторые числовые значения I. Например, выбрав у х = х 2, получим

1 т

1Х=Г(х2)2 dx —Jxldx = 0,2.

оо

Выбрав у 2 = х3, получим / 2 = 0,143, выбрав у3= sin х, найдем / 3 = = 0,273 и т. д. Простейшим примером функционала является опреде­ ленный интеграл. Этот функционал задает закон, согласно которому каждой функции у (х) соответствует определенное число I.

Другим примером функционала может служить выражение

1 = у(х0).

При изменении вида функции у (х0) изменяется и число I .

Каждой функции у (х) соответствует и число I . Сравним для на­ глядности определения функции и функционала:

—если каждому значению переменной величины х из некоторой области значений соответствует значение величины у, то говорят, что на этой области задана функция у = / (х);

—если каждой функции / (х) из некоторого класса А соответствует значение переменной величины I , то говорят, что на этом классе задан функционал 1 = 1 [/(х)]. Таким образом, функция сопоставляет числу число, функционал сопоставляет функции число.

При оценке эффективности фильтрации по некоторому числовому параметру, например, дисперсии ошибки или мощности помехи и т. д., каждому значению этого параметра соответствует определенная пе­ реходная характеристика. Следовательно, в качестве критерия опти­ мальности фильтрации выступает функционал.

Входное воздействие фильтра описывается с помощью функции времени UBX (t). Выходной сигнал, или отклик фильтра, описывается

спомощью другой функции времени t/BbIX(t). Заметим, что значения

Нвых (^i) и Н0х (П) не всегда можно сопоставлять. Другими словами, не всегда можно считать, что значение отклика в момент tx опреде­ ляется значением входного воздействия в этот же или какой-либо дру­ гой момент. Значение отклика в момент tx часто определяется всей предысторией процесса и переходной характеристикой фильтра.

Если каждой функции f (t) из некоторого класса А соответствует функция ф (х) из некоторого класса В, то говорят, что задан опера­ тор Ф, действующий из класса А в класс В. Последнее записывается так:

ф(х) = Ф [/ (03-

Следовательно, функционал обобщает понятие функции, а оператор можно рассматривать как обобщение понятия функционала.

Примером операторов могут служить:

Ф (х) = -^—f(x) — оператор дифференцирования; dx

ОО

Ф (х) = J f ( t )K (x —t)dt — оператор свертки.

— ОО

286

Функция двух переменных К (х—t) называется ядром оператора. В данном случае ядро зависит от разности аргументов, но бывают и другие ядра.

Линейный фильтр с постоянными параметрами описывается сле­ дующей формулой [13]:

ОО

Выражение (9.1) называется сверткой двух функций — входного воз­ действия UBX(t) и импульсной переходной характеристики h (х). Свертка — это основной вид оператора, встречающегося в теории фильтрации. Операции свертки во времени соответствует перемноже­ ние в частотной области. Обозначим спектр выходного сигнала UВЬ1Х(t) через SBblx (со), спектр входного сигнала £/вх (t) через SBX(со) и ко­ эффициент передачи через К (со). Тогда операцию, соответствующую свертке (9.1), можно представить

Возможность перехода от записи (9.1) к (9.2) очень удобна при вычис­ лениях.

Для определения отклика фильтра на известный входной сигнал {/вх (0 требуется знание импульсной переходной характеристики фильтра h (т). Импульсную переходную характеристику можно оп­ ределить, подавая на вход фильтра импульс очень малой длительно­ сти. Чем короче импульс, тем точнее можно определить переходную характеристику; в пределе на вход нужно подавать импульс беско­ нечно малой длительности. Несмотря на то, что практически получить импульс бесконечно малой длительности, конечно, невозможно, мате­ матическая его идеализация была введена. Она оказалась весьма удоб­ ной. Эта идеализация получила название дельта-функции Дирака, или б-функции.

Из свойств б-функции вытекают основные соотношения

— ОО

т. е. свертка какой-либо функции с б-функцией равна самой этой функ­ ции (единичный оператор).

Эти свойства называются фильтрующими свойствами. Фильтрую­ щим свойством обладают и производные б-функции

ОО

— ОО

Спектр б-функции равен единице на всех частотах б (*)=!.

287

Обобщенное уравнение Эйлера—Пуассона. Как правило, функцио­ налы, описывающие критерий оптимальности, являются сложными функционалами типа функции

Эти функции в задачах фильтрации зависят от других функционалов интегрального вида

где F — функция, определяемая выбранным критерием. К таким сложным функционалам относится критерий максимума отношения сигнал/шум, минимума дисперсии относительной ошибки и другие.

Критерий оптимальности зависит от числовых характеристик процессов на выходе фильтра. Такие процессы являются откликами на входные воздействия. Будем считать, что

и

Ф{{х) = 1к[{х, t)h(t)dt (9.8) t,

является оператором, в который входит искомая переходная функция h(t).

Индекс j в дальнейшем будет обозначать, что описываемая им ве­ личина входит в у'-й функционал Yjt а индекс i — номер оператора,

входящего в функционал. Например, запись К[ (х, i) обозначает ядро г-го оператора, входящего в у'-й функционал. При изменении вида

функции h (t) изменяется функция Ф( (х) и, следовательно, значения функционала /. Нашей задачей является определение функции h (t), при которой достигается экстремум функционала (9.6).

Можно получить необходимое условие, которому должна удовлет­ ворять функция h (t) [3]. Пусть h (t) — искомая функция. Образуем другую, «близкую» к ней функцию

где a — параметр; 6h it) — произвольная функция из класса функций, которые могут быть переходными характеристиками.

Понятия «близости» могут быть различными, мы будем считать,

что разница между функциями h (t) и h (t) и их производными до &-го порядка не превышает некоторого значения е. Таким образом, функ­

ция h (t) тоже принадлежит к классу переходных характеристик, т. е. является допустимой.

Приращение функции 6h (t) играет в данном случае ту же роль, что и приращение Ах при решении задач на отыскание экстремума функции / (х)-аргумента х.

После подстановки h (t) вместо h (t) в выражение (9.8), а формулы (9.8) в (9.7) и (9.7) в (9.6), функционал / делается функцией пара­ метра а.

288

при любой функции 6Л (t), принадлежащей к классу допустимых. Дифференцируя выражение, являющееся результатом подстановки

(9.9) в (9.8), (9.8) в (9.7) и (9.7) в (9.6) по параметру а при а = 0, по­ лучим вариацию сложного функционала (9.6) [3]

Изменяя порядок интегрирования и суммирования (на основании тео­ рии Фубини [281 это вполне допустимо), приведем вариацию (9.12) к виду

Л

Из (9.11) и (9.13) следует, что интеграл от произведения двух функ­ ций — выражения в квадратных скобках и бh (t) равен нулю при про­ извольной функции бh (t).

Можно показать [79], что справедливость (9.13) возможна только при условии, если выражение в квадратных скобках (9.13) тождест­ венно равно нулю

п k X.,

Уравнение (9.14) является необходимым условием того, что h (t) обес­ печивает функционалу / экстремум. По форме (9.14), в общем случае, является интегральным уравнением Фредгольма. Оно как бы соот­ ветствует уравнению Эйлера—Пуассона для функционалов, завися­ щих от функции и ее производных. Поэтому уравнение (9.14) назы­ вается обобщенным уравнением Эйлера—Пуассона. Решения уравне­ ния (9.14) называются экстремалями. Решение задачи следует искать среди экстремалей.

289