книги из ГПНТБ / Аграновский, К. Ю. Основы теории радиоэлектронных систем морских объектов

Результирующая аддитивная составляющая относительной эн­

В качестве информационного критерия качества анализа случай­ ного управляющего воздействия будем использовать понятие инфор­ мационной способности. Определим, следуя [48], информационную способность N как эквивалентное число градаций анализируемой величины Z, определяющее количество информации I, получаемое в результате анализа. В соответствии с определением связь между ин­ формационной способностью N и количеством информации / может быть представлена в виде следующего соотношения:

8.2.1. Информационная способность как критерий качества статистического анализа

Информационная способность случайных управляющих воздейст­ вий представляет собой универсальную характеристику. Она пред­ назначена для объективного сравнения различных управляющих воз­ действий в присутствии помехи с учетом ограниченного времени ана­ лиза. Информационная способность как объективный критерий каче­ ства статистического анализа дает возможность произвести выбор в информационном смысле характеристики управляющих воздействий.

Из формулы (8.28) следует, что информационная способность N является монотонной функцией количества информации /, получае­ мой в результате анализа. Количество информации может быть вычис­ лено в случае сильной помехи (погрешности) по формуле (8.24), а в случае слабой помехи (погрешности) — по формуле (8.16).

Информационная способность при слабой помехе. Выведем фор­ мулу информационной способности N, ограничившись более простым случаем слабой помехи. При действии на входе анализатора слабой помехи количество информации представляет собой разность между априорной энтропией анализируемой величины Н (Z) и энтропией по­ мехи (погрешности) Н (Кп). Энтропия Н (Z) определяется априорной плотностью вероятностей значений анализируемой величины Z, а энтропия Н (Кп) — плотностью вероятностей помехи (погрешности).

Любая анализируемая характеристика случайного управляющего воздействия в математическом смысле представляет собой большое множество чисел. В теории информации [76] доказано, что в общем случае наиболее характерным законом распределения вероятностей значений случайной величины для больших множеств является ло- гарифмически-равномерный закон. Основываясь на этом положении и следуя [46], будем считать, что анализируемая величина распреде­ лена по логарифмически-равномерному закону в пределах от до г2-

250

Плотность вероятностей логарифмически-равномерного закона опи­ сывается следующим выражением:

На рис. 8.6 представлен график плотности вероятностей значений случайной величины Z, распределенной по логарифмически-равно-

251

После дифференцирования получим выражение для плотности вероят­ ностей величины Z при линейном масштабе по оси

Zln-^-

Zl

Рассмотрение формулы (8.33) показывает, что плотность вероятно­ сти р (2) обратно пропорциональна Z. Отсюда следует, что величина Z действительно распределена по гиперболическому закону. Будем считать, что zx и z2 — два крайних значения анализируемой вели­ чины Z. Вероятность нахождения величины Z вне пределов z x и z2 будем считать равной нулю. Внутри диапазона zx, z2 величина Z рас­ пределена по гиперболическому закону. Нормируя этот закон рас­ пределения в пределах zlt z2 ,найдем нормирующий множитель С

Здесь D = z2/zx — динамический диапазон анализируемой величины Z. С учетом нормирующего множителя С плотность вероятностей значений анализируемой случайной величины Z запишется в следую­

щем виде:

Воспользовавшись формулой (8.35) и в соответствии с методикой, изложенной в [48], найдем априорную энтропию анализируемой ве­ личины Н (Z)

z,

252

Оба интеграла в правой части выражения (8.36) являются табличными интегралами [16]. После интегрирования и подстановки пределов получим

= In У zxz2+ In InD = In (]/~ zxz2\nD) ,

т. e. окончательно

H (Z) = In { y zxz2I n D ) .

Величина H (Z) является первым членом формулы (8.16) для ко­ личества информации I , получаемой в результате анализа величины Z в случае слабой помехи. Вторым членом формулы (8.16) является энтропия помехи Н (У„), которая выражается через энтропийную по­ грешность анализа А посредством формулы (8.19).

Общая методика определения информационной способности. В слу­

чае аддитивной помехи с относительной энтропийной погрешностью уа = AJ z 2 средняя энтропия помехи равна [48]:

я (Yu) = Н (Уя) = In 2Да = In (2yaz2).

Количество информации /, получаемой в результате анализа ве­ личины Z с гиперболическим законом распределения (8.35) в присутст­ вии аддитивной помехи, равно

I = Н (Z) —Я ( УП) = In У zxz2In Dj•— In(2yaz2) —

Информационная способность N анализатора случайной величины при аддитивной помехе в соответствии с формулой (8.28) равна

Рассмотрение формулы (8.37) показывает, что информационная способность N анализатора случайной величины Z, распределенной по гиперболическому закону в диапазоне значений от zx до z2, при действии на входе аддитивной помехи с относительной энтропийной погрешностью уа прямо пропорциональна логарифму D — z2/zx и

обратно пропорциональна уа и D4\

253

В случае мультипликативной помехи с относительной энтропий­ ной погрешностью ум = Д/Z, энтропия помехи равна

Н (Yn) — In 2A = In (2yMZ),

т. e. зависит от текущего значения анализирующей величины Z. При распределении величины Z по гиперболическому закону среднее зна­ чение энтропии помехи равно

Количество информации I, получаемое в результате анализа, в этом случае равно

I = Н (Z)—Я (К п) = 1пф/ 21г2 + 1п1пП — 1п(2ум)—In ] / ZiZ2 =

^Ym

Информационная способность N анализатора случайной величины Z при мультипликативной помехе в соответствии с формулой (8.28) равна

Из формулы (8.38) следует, что информационная способность анали­ затора случайной величины Z, распределенной по гиперболическому закону в диапазоне значений от гг до z2, при действии мультиплика­ тивной помехи с относительной энтропийной погрешностью ум прямо пропорциональна логарифму D = z j z 1и обратно пропорциональна ум.

Можно показать [48], что при совместном действии аддитивной и мультипликативной помехи информационная способность N ана­ лизатора случайной величины Z, распределенной по гиперболическому закону, выражается формулой

2ум*а

254

где

— потеря информации при анализе, вызванная присутствием адди­ тивной составляющей помехи,

в = y j y a.

Таблицы неэлементарной функции

E(Z) = y ^ ± J » d y

о

имеются в [48].

Максимум информационной способности может быть достигнут в предельном случае, когда возникает полное соответствие между формой полосы погрешности анализатора, т. е. распределением раз­ личимых градаций во всем диапазоне анализа, и формой закона рас­ пределения вероятностей анализируемой величины. Максимум инфор­ мационной способности есть разрешающая способность анализатора R, определяемая по формуле

d z _

2Д

2|

В случае аддитивной помехи, когда Д = Ла = const, разрешающая способность R равна

Zl

где

Та= Да/22'. D = zJZy.

В случае мультипликативной помехи, когда Д = yMZ, разрешающая способность равна

В случае совместного действия аддитивной и мультипликативной по­ мех, когда Д = Да + yMZ, разрешающая способность равна

255

При выводе формул для информационной способности статистиче­ ских характеристик управляющих воздействий положим, что погреш­ ности анализа являются аддитивными. Будем также считать, что по­ меха представляет собой стационарную случайную функцию, мгно­ венные значения которой распределены по нормальному закону. Не­ стационарное управляющее воздействие отнесем к тому классу слу­ чайных функций, для которых возможно определять математическое ожидание с помощью оператора текущего среднего по одной реализа­ ции [52]. Этот класс случайных функций является характерным уп­ равляющим воздействием в радиоэлектронных системах морских объектов. Закон распределения вероятностей значений анализируемой характеристики будем считать логарифмически равномерным (гипер­ болическим) .

Общая методика определения информационной способности ста­ тистической характеристики управляющего воздействия при сделан­ ных предположениях состоит в следующем.

1. Считаются заданными:

—значения z1 и z2 анализируемой характеристики на концах ин­ тервала анализа Та, причем z ^ > z x\

—среднее квадратичное значение помехи аа п;

—время анализа Га;

— время усреднения Т (если Та =/= Г);

—интервал корреляции управляющего воздействия тк;

—интервал корреляции помехи тк. п.

2.Определяется абсолютное значение энтропийной погрешности анализа, обусловленное действием аддитивной помехи, равное

Энтропийный коэффициент погрешности анализа К принимается рав­ ным 2,07 в силу предположения о нормальном законе распределения вероятностей значений помехи. При законах распределения помехи, отличных от нормального, коэффициент К может быть определен по таблице, помещенной в [48], если известны дисперсия и четвертый центральный момент распределения.

3. Определяется относительная энтропийная погрешность анализа, обусловленная действием помехи, по формуле

где Z — среднее значение анализируемой характеристики; М — знак математического ожидания.

256

4. Определяется относительная энтропийная погрешность мето­ дического характера уа. м, обусловленная конечным временем усред­ нения, по формуле

7 а . м = У t J T > ( 8 - 3 9 )

где тм — мертвое время анализа (если 1а ф /).

5. Определяется суммарная относительная энтропийная погреш­ ность анализа уа по формуле

У * = У 7 1 п + 7 2а . м -

6. Определяется информационная способность анализа статисти­ ческой характеристики управляющего воздействия по формуле

1’151§~

N = ------ (8.40)

I'/ z„

где гг = z1 (t)\ z2 = z2 (t + Ta).

Из формулы (8.40) следует, что основной задачей при определении информационной способности N является установление относитель­ ной энтропийной погрешности уа. Мы считаем, что на входе анализа­ тора действует нормальная помеха. В этом случае энтропийный ко­ эффициент К известен {К = 2,07). Тогда задача определения уа сво­ дится к отысканию формулы для относительной средней квадратич­ ной погрешности 8а [431.

8.2.2.Информационная способность среднего значения

Квадрат погрешности 6а определяется по следующей известной формуле [41]:

где тх = М [X (/) ] — математическое ожидание (среднее значение) случайного управляющего воздействия X (t); т*. — оценка матема­

тического ожидания; D |Vn*j — дисперсия оценки математического

ожидания.

Оценка математического ожидания нестационарного случайного управляющего воздействия по одной реализации при использовании оператора текущего среднего имеет следующий вид [431:

- I

Усредняющее устройство, производящее над реализацией опера­ цию сглаживания (8.42), представляет собой идеальный интегратор. Для определения величины погрешности 8а при действии на реализа-

257

цию х (t) оператора текущего среднего (8.42) рассмотрим действие линейного оператора L на случайную функцию X (t). Оператор те­ кущего среднего используют для сглаживания реализации нестацио­ нарной случайной функции, характеризуемой сравнительно медлен­ ными измерениями статистических характеристик на интервале сгла­ живания. Поэтому в задаче определения погрешности ба можно при­ ближенно считать, что на интервале усреднения Т случайная функ­ ция X (t) является стационарной. Реализация х (t) случайного управ­ ляющего воздействия X (t) вызывает на выходе линейной системы L реакцию Y (t), как показано на рис. 8.7.

Линейная система L выполняет операцию усреднения реализации х (t) случайной функции X (t) на интервале анализа Т. Для данной

Математическое ожидание Y (t) равно

M[Y (t)] = M[LX(t)].

Линейный оператор L действует на аргумент t, в то время как ли­ нейный оператор математического ожидания М производит усредне­ ние ординат случайной функции при t = const (в фиксированный момент времени) по всему множеству возможных значений случайной величины X (t — const). Вследствие этого порядок применения опе­ раторов М и ! можно менять местами и вместо (8.43) записать

M[Y{t)] = LM [X (t)].

Реакция у (t) линейной системы L на воздействие х (t) находится путем операции свертки двух функций х (t) и h (i) [15], где h (t) — импульсная переходная характеристика линейной системы. Отсюда следует, что L представляет собой оператор свертки, т. е.

258

Соотношение (8.46) позволяет выразить оценку т* математического

ожидания случайной величины Y (7) через оценку математического ожидания анализируемой случайной функции X (t).

y(T) = m*x§ h(x)dx.

о

С учетом формулы (8.47) выражение (8.41) для квадрата погреш­ ности 8а запишем в виде

2

т х

В формулу (8.48) входит дисперсия D /п*j оценки математического

ожидания случайной величины Y (Т). Найдем ее, воспользовавшись теоремой Винера—Хинчина [54], устанавливающей связь между функ­ цией корреляции и спектральной погрешностью стационарной энер­ гетической случайной функции. Согласно этой теореме

где Ry (t)—функция корреляции случайного процесса Y (t); S y (/) — энергетическая спектральная плотность случайного процесса Y (t).

В данном случае Y (t) —• реакция линейной системы L на случай­ ное воздействие X (t). Энергетическая спектральная плотность Sy (/) связана с энергетической плотностью входного воздействия Sx (/) известным [54] соотношением

где К 2 (/) — квадрат модуля амплитудно-фазово-частотной характе­ ристики линейной системы L.

Подставив (8.50) в (8.49), получим

С О

Ry (т) = 2 J SXK2 if) cos 2nfx df.

о

259