книги из ГПНТБ / Стабильность свойств ферритов. (Анализ физических свойств при внешних воздействиях, прогнозирование. Элементы проектирования)

где Я — коэффициент теплопроводности материала пла­ стины.

Решая совместно (4.18) и (4.19) относительно tmaXy получим:

Поскольку в рассматриваемой эквивалентной пластине максимальная температура tmax находится не в центре пластины, а в точке, определяемой соотношением коэф­ фициентов теплопередачи Кі и Кг теплоотдающих по­ верхностей вкладыша, то необходимо найти ее коорди­ нату Х т а х -

Общее дифференциальное уравнение для одномерной стационарной задачи с учетом внутренних источников тепла имеет вид:

* = К + (*/8*) (U - Q + (ЯѵФѴ (8* - X)- (4-22>

Для нахождения координаты хтах используем извест­ ное свойство функции (4.22), которая в точке перегиба- tmax отвечает условию: d t / d x = 0.

Продифференцируем (4.22) и решим его относитель-

Âi, öi, %2, Ö2 — соответственно коэффициенты тепло­ проводности и толщина изоляционной прокладки и сте­ нок волновода;

со, 0 2 , а3— соответственно коэффициенты теплоотдачи от горизонтальных, вертикальных граней вкладыша и в воздушной прослойке между вкладышем и стенкой волновода;

ö*= öl/(è + l ) — высота эквивалентной пластины, вы­ числяемая из условия равенства площадей сечений и теп­ лоотдающих поверхностей вкладыша и эквивалентной пластины;

(рис. 4.5,а). Температурное поле в остальных точках можно вычислить для симметричного размещения вкла­ дыша, ЗНая t m a x И t K .

Достоинством выполненного решения является его сравнительная простота и пригодные для инженерного расчета формулы, однако точность решения сравнитель­ но мала вследствие искусственного симметрирования и преобразования реального вкладыша к эквивалентной пластине. Кроме того, применение данного способа ре­ шения для несимметричной пластины связано с известны­ ми трудностями.

718

Решение двумерной задачи о распределении температуры в сечении ферритовых вкладышей методом Гринберга

Рассматриваемый ниже метод Гринберга является бо­ лее точным по сравнению с методом эквивалентного се­ чения, применяемым при решении задачи о стационарном распределении температур в сечении вкладыша.

Вданном случае делаются следующие допущения:

1.Температура металлических стенок волновода по­ стоянна по периметру речения.

2.Температура воздушной среды, в которой помещен волновод, неизменна во времени.

3.Мощность внутренних

ское решение является отно­ сительно громоздким с точки зрения окончательных рас­

четных формул, так как содержит ряды гиперболических тригонометрических функций с медленной сходимостью ряда. Поэтому решение было выполнено на ЭВМ. Чи­ сленные результаты решений при различных значениях основных параметров, входящих в уравнения, использо­ вались в коэффициентном методе обработки аналитиче­ ских функций [35, 37]. На рис. 4.6 графически изобра­ жен рассматриваемый случай двухмерной задачи и даны основные обозначения исходных геометрических величин. Следует также иметь в виду, что полученное решение будет справедливо для любого положения вкладыша при его перемещении вдоль оси у, при этом будет только из­ меняться координата точки с максимальной темпера­ турой (tmax)■ Если вкладыш разместить в крайнем поло­ жении (приклеить по трем граням), то изменяются гра ничные условия и само решение. Решим двухмерную задачу по оценке распределения температуры в сечении

вкладыша при его произвольном (в том числе и симмет­ ричном) расположении внутри волновода, но при обяза­ тельном креплении (приклеивании) по двум противопо­ ложно расположенным граням. Общее дифференциаль­ ное уравнение для двумерной задачи в случае внутрен­ них источников тепла примет вид:

где '&— ti—tcp— перегрев тела относительно среды; бт'— перегрев горизонтальных граней; а о ѵ и а ь у — коэффици­ енты теплоотдачи по соответствующим граням (рис. 4.6). Решение дифференциального уравнения ищем по методу Гринберга [29] в виде:

00

К = I

где

Умножив (4.29) на (2/а) sin (knx/a)dx и проинтегрировав ло X от нуля до а, получим:

К - I f - Ц К ,

или

180

Решение уравнения (4.32) при граничных условиях (4.33) имеет вид:

Обозначив выражения в скобках соответственно через р и d, получим:

Лк р + В Kd + (аьу/Х) WK=0~,

181

вался метод последовательного приближения. Точность полученного решения так же, как и в предыдущем слу­ чае, складывается из точности определения коэффициен­ тов, входящих в расчетную формулу, степени справедли­ вости допущений, принятых при выводе расчетных фор­ мул, и точности выполнения математических операций (последовательное приближение, сходимость тригономе­ трического ряда и т. д.). Погрешность численных резуль­ татов, полученных с помощью предлагаемого аналити­ ческого метода, не превышает 15%.

Сравнивая оба метода решения (метод эквивалентно­ го сечения и метод Гринберга), можно сделать вывод, что в первом случае получены достаточно простые инже­ нерные формулы, а во втором — достигнута более высо­ кая точность решения, но численные результаты анали­ тических выражений по методу Гринберга можно полу­ чить только применяя ЭВМ и используя коэффициент­ ный метод обработки численных результатов. Следует однако иметь в виду, что точность определения коэффи­ циентов теплоотдачи даже при использовании машин­ ных методов решений не повышается, так как здесь

182

используются известные инженерные формулы, имеющие ограниченную точность [35, 37]. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, целесообразна экспериментальная проверка аналитических решений с целью повышения точности численных результатов исследования.

Анализ работы ферритовых изделий в регулярном тепловом режиме первого рода

Рассмотренный в предыдущих разделах расчет распре­ деления температуры в сечении ферритового вкладыша справедлив для стационарного теплового режима. При стационарном тепловом режиме номинальные темпера­ туры разогрева достигают максимальных значений, что важно при оценке допустимых значений поглощенной ферритом мощности. Однако часто требуется оценить время установления стационарного режима работы, те­ пловую инерцию устройства и некоторые другие динами­ ческие параметры, особенно если аппаратура, в состав которой входит вкладыш, массивна и если малы коэф­ фициенты теплоотдачи. Наиболее распространенным на практике является тепловой регулярный режим первого рода, когда при неизменной температуре среды темпе­ ратуры всех точек устройства изменяются по экспо іенциальному закону, приближаясь к стационарным значе­ ниям [57]. Проведенные расчеты показали, что для вы­ бранных конкретных маломощных ферритовых устройств неравномерность температурного поля системы не пре­ вышает 3%, т. е. в первом приближении можно считать температурное поле внутри вкладыша равномерным. Следовательно, общее дифференциальное уравнение ди­ намики примет вид*)

= (Тст—T)s/(Tст—Т)ѵ — критерий неравномерности поля температур, а, 5 и С — соответственно коэффициент теп­ лоотдачи, площадь поверхности и теплоемкость феррито-

*> При исследовании систем с большой неравномерностью темпе­ ратурного поля использование уравнения (4.38) может привести к существенным ошибкам.

183

вого вкладыша. В нашем случае gy = const и r B= const, поэтому

(4.39)

Решая дифференциальное уравнение (4.39) при началь­ ных условиях 7' \х_0= .Т в, получаем

где Т ѵ — среднеобъемная температура вкладыша; Сп — полная теплоемкость системы.

Решая (4.40) относительно т, получаем время, необ­ ходимое для установления почти стационарного теплово­ го режима: *~>

в феррите, знание которых позволяет определить терми­ ческие напряжения в ферритовом образце. При регуляр­ ном режиме первого рода для вычислений температур­ ных перепадов между центром и поверхностью образца пользуются номограмма Будрина для безразмерных тем­ ператур [23]. При проведении численных расчетов по вы­ веденным выше формулам как для стационарного, так и для регулярного тепловых режимов использовались величины коэффициентов теплопроводности и удельной теплоемкости ферритового вкладыша, которые определя­ лись на основании измерений параметров образцов, вы­ резанных из вкладыша. При выводе формул для регу­ лярного теплового режима принимались следующие до­ пущения.

1.Источники внутреннего тепловыделения равномер­ но распределены по объему пластины.

2.Перепады температур в пластине достаточно малы,

что позволяет считать температурное поле близким к равномерному.

*> За время установления режима, близкого к стационарному, обычно принимают время, при котором устройство разогревается до температуры, составляющей 90% от стационарной.

3.Период неупорядоченного (иррегулярного) тепло­ вого режима достаточно мал.

4.Вкладыш изотропен относительно тепловых пото­

ков.

При работе ферритовых СВЧ устройств мощность вну­ тренних источников тепла не всегда равномерно распре­ делена по длине и сечению вкладыша. Если достоверно известно распределение поглощенной мощности по вкла­ дышу, то в аналитические решения можно включить этот закон распределения, что не приводит к существенному усложнению аналитических выражений. В частности, в работах по анализу тепловых режимов некоторых ти­ пов СВЧ твердотельных приборов получены подобные решения при условии экспоненциального закона изме­ нения поглощенной СВЧ мощности по длине ферритово­

нием (рис. 4.7,а). Экспериментальные

исследования осуще­ ствлялись с помощью инфракрасного пиро­ метра. Пирометр позво­

лял измерять температуры (40...400°С) как на поверх­ ности, так и внутри ферритового вкладыша с точностью 5%, для этого в волноводе и вкладыше сверлились от­ верстия диаметром 2 мм. Параллельно измерение тем­ ператур в различных точках вкладыша и волновода осу­ ществлялось с помощью термопар. На рис. 4.7,6 кре­ стиками показаны места расположения четырех термо­ пар на вкладыше. Проведенная градуировка термопар

185

по определению влияния СВЧ наводок на их показания позволяет заключить, что имеющееся изменение темпе­ ратуры вследствии разогрева электродов термопар от СВЧ поля описывается экспонентой, а ошибка состав­ ляет для выбранных режимов работы не более 2%, что позволяет ею пренебречь.

На рис. 4.8 графически изображены результаты рас­ чета теплового режима методом эквивалентного сече­ ния (кривая 1), методом Гринберга (кривая 2) и экс­ периментально снятая кривая (кривая 3). Кривые пред­ ставляют собой зависимость средней температуры вкла­ дыша tv от мощности внутренних источников тепла вус-

Рис. 4.8.

ловиях естественной конвекции при комнатной темпе­ ратуре окружающего воздуха для двух типов -волновод­ ных секций (рис. 4.8,а — для блестящего волновода, рис. 4.8,6 — для черненого). Как видно из рисунков, ре­ зультаты расчета режима обоими методами и экспери­ ментальные результаты различаются не более чем на 15—20%, что объясняется существующими погрешно­ стями теоретических методов и экспериментальных ме­ тодик измерений. Из графиков также видно, что решешение, полученное по методу Гринберга, лучше согла­ суется с экспериментом, чем решение, найденное мето­ дом эквивалентного сечения. Это вполне объяснимо, так как при двумерном решении по методу Гринберга ис­ пользуется меньше допущений и искусственных приемов, связанных с симметрированием тепловых потоков, и, кро­ ме того, применение ЭВМ значительно увеличивает точ­ ность расчетов. Однако простые инженерные формулы, полученные методом эквивалентного сечения, имеют изве­ стные преимущества. Можно также отметить, что экспе­

186