Введем вспомогательную обобщенную координату а 2= ао— oti, представляющую собой угол поворота системы Oxx 2y 2z2 отно сительно системы Oxxy xzx.
Найдем элементарную работу бА приложенных сил на пере мещениях, вызванных вариациями обобщенных координат 8alt
8а\, 8а3
8А = Qi6ai + Qoßa'n + Q38a3, |
(IV.97) |
где Q18a1 = 6ЛХ— работа, совершаемая приложенными силами
совершаемая приложенными силами на .возможных перемеще ниях, вызванных вариациями ба3, ба! = ба3 = 0.
Рассмотрим элементарную работу 6ЛХ. Если бах =j=0, а 8а2 и ба3 равны нулю, товодило и сателлит движутся как одно твер дое тело, а ведомый вал неподвижен, тогда
-6Л! = Мэд бах — Fx (е + г2) 8<хх — |
|
— F 2 (е + |
г3) баь |
(IV.98) |
где г2— радиус шестерни //; |
г3— радиус шестерни III. |
ведущий |
Пусть теперь баі = ба3 = |
0, 8а2 =h 0. При этом |
и ведомый валы неподвижны, а сателлит вращается вокруг оси
Oxz2, тогда
бЛг = — F\r28a2— F2r38a2 — — (F\r2+ /Ѵз) (б«і — 8а2). (ІѴ.99)
Если, наконец, ба3 =f=0, баі — ба2 = 0, то ведущий вал и са теллит неподвижны, а ведомый вал вращается. При этом
|
6Л3 = F2 (е + г3) 8а3— М ім 8а3. |
(IV. 100) |
|
Подставив (IV.98)—(IV. 100) в (IV.97), находим |
|
|
6Л = (Мэд — Fjß — F2e) 8ах+ (— Fxrg — F2r3) ба2 + |
|
|
|
Н - ^ ^ + О |
- ^ б а з . |
* |
(IV. 101) |
|
Коэффициенты |
при |
вариациях |
углов в |
выражении |
(IV. 101) |
|
являются обобщенными |
силами: |
|
|
t |
|
|
Qi = Мэд — Fxe — F2e\ ' |
|
|
|
|
|
|
|
Qi = — FI ! 2 — F2r3; |
|
(IV.102) |
|
|
Q3 = F2{e + r3) — Mni,r . |
|
|
|
Здесь F-L = I Fx I, |
E2 = |
I F 2 1 |
|
|
|
|
Уравнение Лагранжа 2-го рода имеет вид |
|
|
|
d |
dW |
д\Ѵ |
|
|
(IV. 103) |
|
dt |
dqt |
ÖQi = Qt |
(i = 1, • ■• л), |
|
|
где qt — обобщенная координата; n — число степеней свободы. Дифференцируя W п о ах, сс2, а 3, находим, HTOCCJ, а 2, а3 удовле
творяют следующей системе уравнений:
(Л + те2) аг = Л4ЭД — Рге — F,e-
J2а 2 = — F±r2 |
F2r3, |
(IV-104) |
Ja*a = F*{e + r3) — Mmi.
Для того чтобы исследовать движение редуктора, необходимо ввести в рассмотрение зависимость величин МЭд, М 1іМ, Flt F 2 от обобщенных координат и времени.
Выше принято, что
МЭД = |
Л4К- М КІ Ч |
(IV. 105) |
Л4,ІМ= |
Мп+ Мя sin Qt, |
(IV. 106) |
где Мк, со 0, М п, М и, Q — постоянны.
Величины F1 и F 2будем считать гармонически изменяющимися функциями углов рассогласования шестерен. Положим в началь ный момент времени
а і = а 2 = а 3 = 0.
Если бы сателлит и водило вращались как твердое целое вокруг оси («2 = 0), то путь точки «касания» (точки минимального зазора) вдоль шестерни V был бы равен (рис. IV.21).
|
|
|
5 = |
(е + |
гя) |
|
|
' |
|
(IV. 107) |
Наложив на это переносное вращение относительный |
поворот |
сателлита |
вокруг оси |
Охг.г |
на угол а 2 — а ,, |
увидим, |
что точка |
«касания» |
проходит |
к |
тому же |
путь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = |
/'2 (а2— а х) |
(IV. 107а) |
|
|
|
|
|
|
вдоль |
шестерни |
II. |
Сло |
|
|
|
|
|
|
жив |
(IV. 107) |
и |
(IV. 107а), |
|
|
|
|
|
|
получим, что |
путь |
точки |
|
|
|
|
|
|
«касания» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sx=Xo l=eai-\-r^t2. (IV. 108) |
|
|
|
|
|
|
Величина Fx является гар |
|
|
|
|
|
|
монической функцией |
|
|
|
|
|
|
Fi = F[0) + F[')s in n ^ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
-V* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(где |
Fji’^ O — амплитуда; |
|
|
|
|
|
|
F10)— |
начальное |
значе |
|
|
|
|
|
|
ние), или |
|
|
|
|
|
|
|
|
■Fi — Fil) sin ( я |
+ ßi j , |
Рис. IV.21. Схема сил |
и перемещении |
|
|
|
|
(IV. 109) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ßi — начальная |
фаза; |
— путь |
точки |
«касания». |
|
Аналогично находится |
путь |
точки |
«касания» шестерен III |
и IV — S 2. Для этого достаточно в выражении (IV. 108) заменить гг |
на г3 и вычесть из полученного выражения величину (е + |
г3) <х3. |
Тогда найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 = Хо2— еаі + |
г3а 2 — (е + |
г3) а 3. |
|
(IV. 110) |
Величина F3 является, согласно предположениям, гармони ческой функцией аргумента (IV. ПО) с периодом 2Ь2, т. е.
Fi = F ^ sin |
(я |
-f- ß2) , |
(IV. 111) |
где ß2 — начальная фаза; F2l) |
> 0 |
— амплитуда. |
|
Окончательно искомая система дифференциальных уравнений может быть записана так:
|
( /і+ т е 2) ссі = Мэд — F ^ esin |
(eai + r2oc2) + ßi |
|
— F^> e sin |
[eai -f r3oc2 — (e + r3) a3] + |
ß2j ; |
|
Ji«г = -Fil) г2 sin Г |
(eai + |
r2a 2) + ßi |
|
|
|
|
Oz |
|
(IV. 1.12) |
|
— F$] r3 sin j - |- |
[eai -f r3a 2 — (e + r3) oc3] + |
|
ß2] ; |
|
|
|
|
|
T |
|
h ä 3 = F^l) (e -|- r3) sin |
[eai + r3a 2 — (e + r3) a 3] + ß2 |
|
|
Afn — Mn sin Qt. |
|
28. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖ Е Н И Я МАГНИТНОГО ПЛАНЕТАРНОГО РЕДУКТОРА
Система уравнений (IV. 112), в которой характеристическое уравнение электродвигателя имеет вид
Мэд = Мк — Мк А - ,
допускает первый интеграл. Действительно, выразив из' третьего уравнения (IV. 112)
sin |
[еаг + г3а2 — (е + r3) а3] + ß2J , |
а из второго (IV. 112)
sin |
(eccj 4" г2а 2) 4~ ßxj > |
•».
и, подставив полученные выражения в первое уравнение, будем иметь
(X, + тег) а, - |
et, = Д-1„ ■ -у- J a , + |
J' “ » + |
+Эт^[М"+м«51"т|- (IV. ИЗ),
Проинтегрируем (IV. 113) при нулевых начальных условиях:
(Л + те2) ах -)- |
Lа і = |
MKt + |
— |
Л а 2 |
-}- е |
Гз) |
/ 3а 3 + |
7 1 |
1 (о0 |
1 |
к 1 |
х2 |
- 2 |
1 М е+ |
3 |
+ |
е{г3 |
|
.м п*+ |
і г ( і — |
COS СИ) |
|
(IV. 114) |
гг(е+ /'3) |
|
|
|
Заметим, что уравнение (IV. 114) допускает еще один интеграл
в случае, когда момент двигателя постоянный, т. е. со0 = |
оо, тогда: |
(Jx + те*) а, = |
~ Лос2 + |
/ 3«3 |
|
е ('з —г г) |
- |- ^ - (Ш — sin Ш) |
|
(IV. 115) |
+ Г2 (е“Н Ді) |
|
Рассмотрим подробнее этот случай. Введем новые неизвестные:
|
|
Фі — "3J*(еаі + Г2аі) + ßll |
(IV.116) |
Фа = |
|
-r-[e«i + |
rsa.2— (е + |
r3) а 3] + |
|
ß2, |
и выразим С&! и а 2 через срх и ср2, получим: |
|
= -л \г 3 - |
г 2) е |
^ |
~ |
<Р*Г*) - |
-TT7~ r Ä |
“ з 4 - 1 |
|
|
|
|
|
|
е(гя |
|
|
|
л ('s — г2) |
(ßsr2 “ |
ßi''3); |
(IV. 117) |
а , = |
|
|
|
|
|
|
Л (г3 |
Г2) |
(фг |
Фі) + |
- 4“ -3-'«з + |
|
|
|
Г3 — * 2 |
|
|
|
+ |
Я О'з — r2) (ßâ |
ßi)- |
|
После исключения переменных <х1 и а 2 система (IV. 112) при
нимает вид: |
|
|
|
|
(Л + т е 2) |
0,Йг |
(e+ r3)ra |
•• ] |
_ |
пе (г3 — г2) Фі |
ne {r3 — r2) 4)2 e(r3 |
|
“ |
|
|
= ^ Г ° Ч |
|
|
(I), |
(IV. 118) |
|
= Мк — jFi1>e sin фі — F ^’e sin фо; |
Я'(Д> — /-2) 4)2 |
тг'Ф і + |
-ОС, |
'я (г 3 —r2) |
|
= |
— УІ'Ѵг sin фі — F*^rz sin ф2; |
|
Уз «з = |
(e + |
/3 ) sin ф2 — Мп— М нsin |
или относительно неизвестных Фі и ф2 |
|
Фі = |
— an sin фг — a12sin ф2 + Ьг\ |
I |
ф2 = — a21 sin фі — a22 зігіф2 -f- b2-)- c2 sin Ш. j
(IV. 119) (IV. 120)
(IV. 121)
Здесь обозначены:
аи —•■
11 Ьг
тс /
° 12 = ~ЬГ V
• V
|
I+ |
/17 Г |
- |
те2 |
|
|
в- |
|
of 3 \ |
г» |
J x -\-me2 |
_і" ~ІПГ) |
эм’ |
леМк
(Jx + m e 2) bz ’
|
„ |
- |
|
J L |
|
|
|
> JV s\ /7 |
|
|
|
21 |
|
|
Ьг \ J , + |
me2 “Г |
/ 2 |
|
J |
|
|
|
|
ösa-- |
|
|
-)- we2 |
+ |
(е "к 's)2 |
+ |
-7 |
|
|
|
|
|
' 2 |
|
|
|
__ |
л |
/ |
еМи |
|
(е + Г з |
) уИ |
п |
)‘ |
|
|
~ |
|
"6Г\7І -|-./«е2 |
|
|
7з |
|
|
|
|
|
|
|
я (е7" /-з) . |
/7 М= |
р ( > ) — |
|
р П ) |
|
|
|
|
|
7Ж |
|
|
У7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
анализе системы (IV. 121) |
приняты |
численные значения |
входящих в уравнения параметров: |
|
|
|
|
|
|
|
е = |
0,008 м; г2 = |
|
0,115 м; |
г3 = |
0,084 м; |
М к = 32 кгс-м; |
й = 2,9 с-1; Ух |
= 0,0045 кг-м -с2; |
У2 = |
|
0,015 кг-м-с2; |
У3 = |
0,3 кг-м -с2; |
Уэм = |
160 кгс; М п = |
0; |
5; 10; |
15 кгс-м; |
Мн = 5 кгс-м; |
Ьг = |
0,0102; |
0,0205; |
0,0308 м; |
т = |
|
|
|
|
— 2,42 кг-с2/м. |
|
|
|
|
|
Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а1Х = |
437-102; 219 -102; 146-102 |
1/с2; |
|
аі2 = 326-ІО2; 163-ІО2; 109-ІО2 1/с2;
Ь1 = 167-ІО2; 84-ІО2; 56-ІО2 1/с2;
$21 — ^і2> |
|
а’ая = 294-ІО2; 147-ІО2; |
98-ІО2 1/с2; |
с2 = 4,7 -ІО2; 2,35-ІО2; |
1,57-ІО2 1/с2. |
Значения коэффициента b2 приведены в таблице.
Ввиду слабой зависимости коэффициента Ьг от параметра М л
примем для Ь2 средние значения: 174-ІО2; |
87-ІО2; 58-ІО3 1/с2. |
Изменим масштаб времени, положив |
Q |
#22^J 2 — 2. |
|
УГ°22 |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а ' |
|
|
Значения |
коэффициента Ь 2 |
|
|
|
|
|
Значения b |
при Мп |
|
|
bz |
0 |
|
5 |
10 |
15 |
|
|
0,0102 |
167 • |
102 |
171■ ІО2 |
176-ІО2 |
181-102 |
0,0205 |
83.5- |
102 |
85,6- 10s |
88-ІО2 |
90,4 |
-102 |
0,0308 |
55.6- |
ІО2 |
57,1 • ІО2 |
58,7-ІО2 |
60,3 |
-ІО2 |
Система |
(IV. 121), соответствующая значению параметра Ьг = |
= 0,0102, запишется |
так: |
|
ф}1-)- 1,5sin фі = 0,57 — J,1 sin фз', |
фі1+ |
sin фо = |
(IV. 122) |
0,59 -|- 0,016 sin 0,002т* — 1,1 sin фі- |
Здесь штрихи обозначают дифференцирование по переменной т*. Систему вида (IV. 122) можно назвать системой Дуффинга по ана логии с известным уравнением Дуффинга
уи + а 2 sin у = ß/ (х). |
(IV. 123) |
Наличие в системе (IV. 122) низкочастотного возмущения с от носительно малой амплитудой по-видимому не может повлиять существенно на ее решение. Поэтому целесообразно рассмотреть упрощенную систему:
фі1= 0,57 — 1,5 sin фі — 1,1 sin ф>;
(IV. 124)
ф” = 0,59 — 1,1 sin фі — sin фз-
Система (IV. 124) не содержит явно независимой переменной и, следовательно, допускает понижение порядка. Обозначим
|
|
dtp. |
|
_ |
|
|
|
|
|
d%t |
|
Тогда |
11 |
dpл |
11 |
dpi |
|
|
= /* |
& |
■р1rf<Pi ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Арг |
|
|
|
Pi — Pi ^фГ ’ |
|
Р1^ |
^ |
0’57 ~ 1,5 sin фх— 1,1 sin ф2; |
(IV. 125) |
P |
l ^ |
= °.59 — 1,1 sin Фі — Sin ф2. |
|
Систему (IV. 125) можно преобразовать к одному уравнению треть его порядка с независимой переменной фх и неизвестной функ цией ф2. -
Исключим Р 2.
р1^Е±- — 0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2;
или
0,5 |
dp\ |
0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2; |
* рГ |
(0,57 |
|
|
d(p2 |
— 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2) rftPi |
■р\ |
d(p{ |
= |
0,59 — 1,1 sin фі — sin фо; |
или |
|
|
|
(IV. 126) |
|
|
|
|
0,5 |
d<Pi |
d2Фа |
(0,59 — 1,1 sin фх — ф2)— |
|
|
йф? |
|
^фо ■(0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2) dcpi J
= 0,57— 1,5 sin фх — 1,1 sinУравнение (IV. 126) равносильно системе
°,5 {-i- [(0,59 — 1,1 sin фх — sin ф2) —
— (0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2) /х]| =
(IV. 127)
= 0,57 — 1,5 sin фх — 1,1 sin ф2;
dcp2 _ . |
d2x |
__ . |
dq>x |
Лрх |
^2’ |
или в нормальной форме |
|
|
|
|
|
|
_ |
; ■ |
JÈOi. — / • |
|
|
|
Арх |
^1’ |
dcpx |
І 2 ' |
|
|
|
Іг [— 1,1cos фх -f (1,5 cos фх — cos ф2) /х + |
(IV. 128) |
dj2 |
_ |
+ 1 ,1 cosф2 —3(0,57— 1,5 sin фх—1,1 sinф2) )о] |
|
d(pi |
|
0,59 — 1,1 sin cpx— sin ф2— (0,57—1,5 sin cpx—1,1 Біпфа)/1 |
|
Определим начальные условия для системы (IV. 128). Для этого заметим, что решение системы (IV. 124) в окрестности x t = 0 мо жет быть представлено степенными рядами:
Фі = |
а 0 -(- аітг - f а 2т? + сс3т? + а 4т\ |
+ |
• • •; |
|
ф2 = |
ßo ~Ь |
ßlT/ -f- ß2T/ |
ß3T, J|- ßlT, -|-- |
• • • . |
|
Коэффициенты а 0, а ,, |
ß0, ßx равны нулю в силу нулевых началь |
ных условий для |
|
и ф2. |
0, |
находим ф}1(0) = 0,57; ф.(‘ |
(0) = |
Положив в (IV. 114) х ( = |
= 0,59, откуда а 2 = |
0,285; |
ß2 |
= |
0,295. |
и |
полагая x t |
— 0, |
Последовательно |
дифференцируя (IV. 124) |
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф1,,(0) = 0; |
фг'1(0) — 0; |
|
|
|
фіІѴ) (0) = - |
1,504; |
фіѵ(0) = - |
1,217; |
|
|
а4 = |
0,0624; |
ß4 = — 0,0507. |
|
|
|
По известным формулам дифференцирования параметрически заданных функций
diу., _
ЛП — ф{ ’
|
« f t p , |
Ф з ' Ф І - Ф о ' Р І 1 |
|
|
находим |
dipf |
|
|
Ф ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d<f2 |
ф=0 = |
1,035 |
& ф 2 |
0,346, |
|
dtpi |
|
dq>i |
|
т. е. |
ух (0) |
= |
К035; |
/ 2 (0) |
= 0,346. |
(IV. 129) |
ф2 (0) = 0; |
Проинтегрируем систему (IV. 128) при условиях (IV. 129) при ближенно по методу Эйлера с шагом h = 0,2 и h — 0,1
|
|
|
ф2я |
jlnh] |
|
|
! |
ф2 (п+1) |
= j i n |
+ |
+Іъ А , |
(IV. 130) |
|
= |
1 (л+1) = |
|
ф2п, jln, |
|
И |
j'2n -г F |
(фЬі. |
k n ) h . |
|
|
|
|
|
|
Здесь Р — правая часть третьего |
уравнения (IV. 128) |
|
Непосредственное вычисление |
функции F = |
в началь |
ной точке приводит к неопределенности 0/0. Оно может быть най-
d<р2 d2(р2 „ ,
дено как ранее значения —— и — V- с помощью разложении фуикdfPi dtpj
ций ср1, ср2 в степенные ряды. Имеем
d \ 2 __ ф] (ф}ф|и - ф ' пФІ) — Эф}1(фіф^1-У І'ф о )
d y f |
Ф * |
Результаты |
численного интегриро |
вания системы |
(IV. 128) показаны на |
рис. IV.22. Штрих-пунктиром обозна |
чена интегральная кривая, полученная линейной экстраполяцией из интеграль ных кривых, соответствующих h = 0,2 и h = 0,1.
Далее необходимо проинтегрировать первое уравнение системы (IV. 116). Гра
фик правой части этого |
уравнения, по |
лученный также путем |
линейной экст |
раполяции, приведен на рис. IV.22. |
Как видно из этого рисунка, правая |
часть |
указанного |
уравнения |
хорошо |
аппроксимируется |
линейной |
функ |
цией |
срх |
|
|
|
|
, О |
|
|
|
- Ы £ = О-57 - |
2.71 Фх. |
(IV. 131) |
Отсюда |
|
|
|
9 t
Рис. IV.22. Зависимость ф2 от фх
р\ = |
1,14срі — 2,71 фі; |
|
# 1 |
У 1,14фі—■2,71 Фт; |
|
dit |
|
|
|
|
|
|
У |
^Фі |
2 |
|
J |
1,14фх — 2,71 |
(IV. 132) |
п |
" |
|
фі |
2 ? _______ ^2,7ЫФі
Ѵ%7ХJ КШ-гКчді/і-у^Ф!
о'
=1,215 arcsin 1,54 К фг .
