книги из ГПНТБ / Коптев, В. В. Вопросы динамики сложных сельскохозяйственных агрегатов

При этом как для прямого, так и для обратного преобразова­ ния, применяется функциональное соответствие в виде следую­ щей таблицы пар:

Таким образом, использование при исследованиях линейных систем метода операционного исчисления дает следующие пре­ имущества [.26].

1. Метод указывает прямой путь аналитического решения практических задач о переходных процессах при общих началь­ ных или граничных условиях, заданных в одной точке. При этом метод приводит непосредственно к искомому результату, соот­ ветствующему конкретным условиям задачи. В этом отношении метод преобразования Лапласа составляет полную противопо­ ложность классическому методу, который предполагает в пер­ вую очередь общее решение и его последующее приспособление

кчастным условиям конкретной задачи.

2.Метод позволяет получить как установившуюся, так и сво­ бодную части решения поставленной задачи, и ясно указывает на тесную внутреннюю связь между ними.

3.Метод Лапласа лежит в основе не только анализа соот­ ветствующих систем, но и приемов конструирования (синтеза)

систем, удовлетворяющих тем или иным предписываемым тре­ бованиям.

§ 1. Анализ и расчет линейных динамических систем при переменных возмущениях

Применение общей методики исследования линейных дина­ мических систем при переменных возмущениях с помощью ап­ парата теории автоматического регулирования предполагает по­ становку и решение следующих задач:

ментов или звеньев модели (создание математической модели объекта);

3) определение передаточных функций элементов системы или системы в целом;

4)определение частотных характеристик системы как ре­ зультата воздействия иа вход ее возмущающего сигнала гармо­ нического типа;

5)оценку прохождения через элементы и звенья исследуемо­ го объекта возмущающего сигнала случайного вида.

69

Решение указанных задач в изложенной последовательности отвечает требованиям, сформулированным .при постановке общей задачи аналитического исследования, и дает полное представ­ ление о динамических качествах исследуемого объекта.

Движение любой динамической системы, имеющей п обоб­ щенных координат, может быть описано в общем случае систе­ мой из п дифференциальных уравнений.

Пусть в динамической цепи из п элементов (соответственно п степеней свободы) функции времени Yb Y2, ..., Yn обознача­ ют п неизвестных координат системы, а функции времени Fi, F2, ..., Fn — п известных возмущающих воздействий, действую­ щих в этих элементах.

Система дифференциальных уравнений для такой цепи будет иметь вид

где Ajk — дифференциальный оператор.

Для принятых условных положительных и отрицательных на­ правлений осей координат, а также начальных условий системы,

Система уравнений (40) содержит все существенные сведе­ ния относительно динамической цепи, состояние которой описы­ вается уравнениями (39). Она включает все существенные параметры элементов, в ней отражены соединения элементов между собою, а также возмущающие воздействия, которые, в свою очередь учитывают начальные условия задачи. Другими словами, система уравнений (40) представляет собою матема­ тическую модель системы в L-изображениях.

70

ной функции системы или ее элементов необходимо нахождение вида передаточной функции.

Искомые передаточные функции можно легко получить непо­ средственно :из системы уравнений (40). Для этого введем сле­ дующие обозначения:

u jk(p) =

~аи (р) . .. ai,k-i (р) ai.k+i ( р ) ... аы (р)

72

Выражения для Ujk (р) могут быть получены из U(p) путем вычеркивания строки и столбца, содержащего элемент ад(р), и умножения на- (— l ) J+k.

ными функциями элемента, связывающими координату к эле­ мента системы с возмущающей функцией элемента j при равен­ стве нулю остальных возмущающих функций. Следовательно,

U(p)

Значение передаточной функции Wjk (р) можно найти не­ посредственно из системы уравнений (40) с помощью определи­ телей.

Аналогично е вышеописанным, функция Wjj (р) представля­ ет собою передаточную функцию, связывающую изображение обобщенной координаты элемента j с изображением возмущаю­ щей функции этого же элемента при равенстве нулю всех про­ чих возмущающих функций.

Пользуясь выражением для переходной функции системы или элемента (43), можно определить реакцию динамической систе­ мы или одной из ее обобщенных координат на внешнее возму­ щение любого типа. Для этой цели удобно использовать теоре­ му свертки, позволяющей по известной реакции системы на еди­ ничное ступенчатое возмущение составить выражение для реак­ ции системы на возмущение произвольного типа:

73

где Мс (t) — функция, изображающая внешнее возмущение;

hjk (t) — переходная функция, соответствующая искомой ко­ ординате системы;

т — переменная интегрирования.

Передаточные функции системы, определяемые уравнения­ ми (48) и (49), являются исходными для дальнейшего исследо­ вания динамических свойств системы.

Если ко входу какой-либо динамической системы приложено гармоническое возмущение, то исследуемая координата на вы­ ходе этой системы также будет совершать гармонические коле­ бания с частотой, равной частота вынуждающей силы, с ампли­ тудой и фазой, отличными от входных. Изменение амплитуды и фазы выходного колебания по отношению к входному в зависи­ мости от частоты колебаний определяется частотными характе­ ристиками звена.

Для анализа системы, находящейся под влиянием гармони­ ческого воздействия,. целесообразно применять символический метод, сводящийся к использованию метода комплексных вели­ чин. При этом в целях удобства тригонометрические функции, изображаемые на комплексной плоскости, заменяются показа­ тельными с чисто мнимым аргументом.

Определение реакций системы на гармоническое воздействие вида A sin mt приводит к выводу, что выражение для частотных характеристик элемента системы или динамической системы в целом может быть получено при замене в соответствующей пе­

Н (ioo)

Отделив в выражении (51) вещественную часть от мнимой, пе­ рейдя к показательной форме записи, имеем

где R — модуль:

74

<p — аргумент:

(54)

Выражение (53) в случае последовательного изменения ча­ стоты входного сигнала со представляет собою амплитудно-ча­ стотную характеристику системы.

Зависимость (54), характеризующая сдвиг фазы выходной величины ср в функции со, называется фазо-частотной характе­ ристикой.

Расположение на комплексной плоскости геометрического места точек концов векторов W(ico), построенных для различных частот, носит название амплитудно-фазовой характеристики си­ стемы.

Указанные характеристики являются исчерпывающими для оценки динамических качеств системы или элемента системы при периодических возмущающих воздействиях.

Передаточные функции системы, описываемые выражениями (47) и (48), могут быть исходными для суждения об устойчиво­ сти исследуемой динамической системы.

Предположим, что рассматриваемая система находилась в положении равновесия. Изменение обобщенных координат си­ стемы вызвано тем, что в момент времени t = 0 на систему по­

становки значений корней; рк — корни характеристического уравнения системы, кото­

рые получаются приравниванием нулю знаменателя пе­ редаточной функции системы.

Анализ устойчивости системы относительно положения рав­ новесия возможен при определении жорней характеристического уравнения. Такое исследование, как известно, производится или

75

непосредственным - нахождением корней характеристического уравнения (если это возможно) или с помощью косвенных мето­ дов. К таковым относятся широко известные в литературе кри­ терий Михайлова, критерий Рауса-Гурвица, амплитудно-фазо­ вый критерий Найквиста и др. Кроме того, анализ корней ха­ рактеристического уравнения позволяет выявить и выделить об­ ласти устойчивости при изменении одного или нескольких параметров рассматриваемой динамической системы.

Определение значений передаточных функций системы дает возможность проследить реакцию системы или отдельных ее элементов на возмущающее воздействие случайного типа.

Как известно [99, 87], связь между спектральной плотностью возмущающего сигнала :на выходе Sx (со) и спектральной плот­ ностью входного сигнала Sy (со) для линейных систем такая:

где O(ico)— модуль частотной характеристики системы. Аналогичная зависимость, связующая корреляционные функ­

ции входного и выходного возмущающих сигналов случайного типа, имеет вид

-f-СО

(57)

’—ОО

Таким образом, при наличии статистических характеристик (спектральной плотности и корреляционной функции) входного сигнала случайного типа определение аналогичных характери­ стик на выходе с помощью передаточных функций системы не представляет трудности.

Приведенная выше методика исследования динамических си­ стем применима для систем с линейными характеристиками или нелинейностями, которые могут быть эквивалентно линеаризо­ ваны. Данная методика использовалась при исследовании пере­ ходных процессов в динамике колесного тракторного агрегата при неустановившихся нагрузках.

§ 2. Исследование динамических режимов в приводе ведущего звена колесного трактора

при неустановившейся нагрузке

Привод колесного трактора является цепной механической системой с разветвленной кинематической цепью и распреде-*

76

ленными параметрами, связывающей двигатель с ведущим зве­ ном. Как и всякая физическая система, рассматриваемая си­ стема является в реальном представлении нелинейной. В соот­ ветствии с принятой классификацией [106] нелинейности, имею­ щиеся в приводе могут быть относены к сопутствующим. Такие нелинейности обусловливаются неотъемлемыми физическими свойствами элементов, входящих в систему.

В качестве нелинейностей такого рода в применении ктракторным приводам могут быть выделены следующие.

1.Нелинейности, связанные с упругими характеристиками валолроводов.

2.Нелинейности, обусловливаемые наличием зазоров в ре­ альных приводах.

3.Нелинейности, обусловливаемые природой неупругого со­ противления в материале.

4.Нелинейности, характеризующие место контакта ведущего звена с опорной средой.

Произведем оценку этих нелинейностей. ' Нелинейность, указанная в пункте 1, связывается с наличием

гистерезисных кривых при статических набросах и сбросах нагрузки в исследуемом элементе. Данные нелинейности, как по­ казывает практика, могут быть отнесены ж типу слабых. В этом случае характеристика упругого элемента изображается прямой, проведенной по средним значениям гистерезисной петли, т. е. принимается линейной. Имеющийся опыт решения задач подоб­ ного рода показывает, что такая идеализация не оказывает существенного влияния на результаты анализа.

При учете нелинейностей, связанных с наличием зазоров в реальных приводах, предполагаем, что в рассматриваемых слу­ чаях нагружения зазоры в приводе не раскрываются.

Механизм неупругого сопротивления остается до настоящего времени недостаточно выясненньим. Однако, используя известную гипотезу Гука, а также базируясь на экспериментальном мате­ риале [80], можно осуществить эквивалентную линеаризацию неупругого сопротивления и принять внутреннее сопротивление пропорциональным первой степени скорости.

До величин буксования порядка 20—30% накопление отно­ сительных элементарных проскальзываний ведущего звена про­ исходит в основном за счет упругих деформаций элементов ши­ ны и опорной среды. Последняя проявляется в рассматривае­ мом случае как элемент с приближенно упругими свойствами. Величина суммарных деформаций пропорциональна действу­ ющему усилию. Следовательно, в указанных пределах характе­ ристика звена динамической системы трактора, изображающего

?7

место контакта ведущих колес с опорной средой, может быть линеаризована.

Приведенные допущения позволяют формулировать рабочую гипотезу, необходимую при разработке расчетной модели трак­ тора.

Для анализа реальный привод трактора представлялся в виде простой кинематической цепи о сосредоточенными и приве­ денными параметрами. Приведение распределенных масс к со­ средоточенным может быть произведено с помощью формул [18]:

78