книги из ГПНТБ / Коптев, В. В. Вопросы динамики сложных сельскохозяйственных агрегатов
.pdfнии параметров динамической системы тягача на тяговые пока затели в условиях неустановившихся нагрузок; по полученным результатам дать практические рекомендации по применению того или иного типа привода или отдельных его элехментов, а так же по оценке их влияния на тяговые показатели машины;
в) построить общую механику ансамбля тел, составляющих агрегат, позволяющую решать задачи, связанные с определе нием динамических воздействий на тягач в процессе формирования тяговой нагрузки.
Энергетические возможности новых тракторов позволят экс плуатировать их со сложными комбинированными агрегатами, выполняющими за один проход по полю несколько технологиче ских операций. Последнее приведет к существенному повыше нию производительности агрегата, экономии топлива, улучше нию агротехники.
В этих условиях значительно повышается роль исследований по общей динамике сложных тракторных агрегатов. Однако прежде чем перейти к рассмотрению этого важного вопроса, нам хотелось бы остановиться на некоторых аспектах общей механи ки тракторного агрегата.
Структура современного тракторного агрегата может ме няться в относительно широких пределах: трактор и одна маши на— структура 1X1, трактор и пять машин — структура 1X5 (сеялочный агрегат) с трактором К-700.
Существенным является то, что массы машин, составляющих агрегат, соизмеримы с массой трактора, а в некоторых случаях значительно ее превосходят. В этих условиях относительные дви жения носимых тел существенно сказываются на движении не сущего тела.
Самоходная сельскохозяйственная машина и тем более агре гат представляют собой сложные механические системы с многи ми степенями свободы и разнообразными связями —1ансамбль тел. Главные задачи общей динамики агрегатов, по нашему мне нию, могут составить содержание понятий — внешняя и внутрен няя механика агрегата (ансамбля тел).
Содержанием внешней механики может явиться изучение взаимодействия агрегата с внешней средой, в частности, вопро сов формирования поступательного и боковых движений, свя занных между собой процессом сцепления, выяснение влияния законов движения носимых тел ансамбля на закон движения несущего тела и др.
К внутренней механике агрегата .целесообразно отнести изу чение переходных процессов в его упругих системах, двигателе, характеристик запаздываний и запаздывающих сил и других во
9
просов. Рассматривается общая постановка и приводится с боль шими сокращениями решение одной из задач внешней механики. Причиной ее постановки являются следующие обстоятельства: при формировании поступательного движения тягача в .реальных условиях эксплуатации с симметричной тяговой нагрузкой потен циальные возможности по сцеплению данного почвенного фола используются почти полностью и достаточно возникновения от носительно небольших боковых сил,- чтобы произошло наруше ние режима поступательного движения. В симметричном агре гате с прицепными машинами, имеющими массу, соизмеримую с массой тягача, такие силы возникают в результате воздействия на тягач прицепных тел при их взаимных относительных движе ниях и движениях относительно тягача.
Примем следующие определения.
1. Ансамблем тел будем называть такую систему конечного числа тел, в которой в каждый момент времени каждое из тел системы имеет по меньшей мере: а) 'одну общую точку; б) одну упругую связь (хотя бы с одним из тел системы); с) одну точку, принадлежащую некоторой окрестности (по крайней мере в од ном из тел системы).
Следовательно, сочленение тел системы осуществляется с за зорами (условие с), без них (условие а) либо через упругие эле менты.
2.Несущим телом ансамбля будем считать ведущую машину или ее корпус.
3.Носимыми телами будем называть тела, связанные между собой и с главным телом в соответствии с определением 1 и дви жущиеся относительно друг друга и относительно несущего тела.
Прицепные тела образуют последовательные цепи, простые или разветвленные. Последние всегда м-огут быть приведены к простой последовательной цепи черезвспомогательное несущее тело.
Пусть дан ансамбль тел. Получим уравнения естественного движения несущего тела ансамбля. Для этого требуется найти закон движения несущего тела ансамбля, если заданы законы относительных движений носимых тел и внешние силы, действу ющие в ансамбле.
В любой момент времени t из некоторого интервала наблю дения (to, ti) состояние несущего тела определяется шестью об общенными координатами (линейными и угловыми перемеще
ниями) х,- (i = 1, |
2, . |
.., |
6) и соответствующими им обобщенны |
ми скоростями X| |
(i = |
7, |
. .. , 12). |
Обобщенные координаты являются вещественными функция
10
ми аргумента t и принадлежат классу С(2 ) . Последнее оправ дано физической природой р асематри®аемых движений. Таким образом, общее число величин, описывающих состояние несуще го тела в данный момент, равно двенадцати. В общем случае это число не может быть уменьшено, так как его уменьшение в тех или иных частных случаях приводит к большей или меньшей по тере информации о действительном состоянии системы.
-Проводя аналогию между ансамблем тел и свободной мате риальной системой, воспользуемся законами изменения количе ства движения и кинетического момента системы:
|
|
|
а) |
~К = |
F(0 + FW; |
|
|||
|
|
б ) |
G a + Ta X К = Zl'> + Zi1), |
(I) |
|||||
где |
К и G a — векторы количества движения и кинеги- |
||||||||
f (/), z !z) |
|
• |
веского |
момента; |
моменты |
||||
и Р(1)> Za!) |
■“ -главные |
векторы и главные |
|||||||
|
|
|
внешних и внутренних активных сил. |
||||||
Последнее уравнение |
будем рассматривать в другой форме: |
||||||||
|
|
i F X |
Vdm = |
z i/) + |
Z^- |
|
|||
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
Записывая |
(а) |
для всех тел |
ансамбля, |
получим: |
|
||||
|
|
|
Жг = |
F(r} |
+ Fp*; |
|
|
||
|
|
|
|
Km = |
F T |
+ FГ |
(II) |
||
где Г — индекс |
несущего |
тела (Г = |
п“ ); |
|
|||||
а — номер цепи |
( а = 1 , |
..., |
р); |
|
|
|
|||
m — номер тела в цепи ( т = |
1 ,2 ,..., п“ — 1); |
|
|||||||
Q — объем тела. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Нумерация тел принята от конечного тела в цепи к несуще
му. Суммируя левые и правые.части |
(II), получим |
|
|1 П“ - 1 |
|
|
Kr = F(rl ) + Y £ |
( F ^ -К ш ) |
(Ш ) |
а—\ гп= 1 |
|
|
11
— уравнения, определяющие абсолютные составляющие линей ной скорости несущего тела в его осях V A i(i= 1,2,3). Записывая уравнения (I б) для всех тел ансамбля, получим:
j °г.а X Vpdm = Zr.A + Zr.A.;
Qr
f Pm.A X Vmdm = Zm.A + ZR>a-
Суммируя левые и правые части, найдем
Г - |
— |
Р- п« - 1 |
* |
_ |
I Pr,A-XVrdm= Zr?A + |
^ (Zm^A— |
J Pm,а X |
Vmdm) |
|
®Г |
|
а=1 га = 1 |
|
(IV) |
|
|
|
|
|
— уравнения, определяющие абсолютные |
составляющие угловой |
.скорости несущего тела на оси —=*coi (i = |
1,2, 3). |
Если через Vai — XAi обозначить проекции абсолютной ско рости на неподвижные оси, а через В — .некоторый оператор пе
рехода от подвижных осей к неподвижным, то получим |
|
XAi = BVAi (1 = 1,2,3) |
(V) |
—кинематические уравнения для абсолютных координат точки
А(начала подвижной системы) несущего тела.
Добавляя к уравнениям (III, IV, V) кинематические уравне ния Эйлера для абсолютных угловых перемещений подвижной
системы, связанной с главным телом ссч — coi (q)i, <pi ) (ф| — угловые координаты), получим полную систему совместных диф ференциальных уравнений, при помощи которой в совокупности с начальными условиями можно решить поставленную задачу. Решение этой задачи производится на языке матричного исчис ления, как наиболее удобного для общения с ЭВМ.
Ограниченный объем вынуждает к схематизации изложения построений; как правило, приводятся лишь конечные резуль таты.
12
Поскольку в ансамбле несколько последовательных цепей и каждая из них содержит конечное число тел, то, связывая с каждым из них правый ортонормированный триэдр, получим не которую их совокупность. Чтобы упорядочить последнюю, вве дем следующие обозначения для триэдров данной цепи.
Так, триэдры, связанные с гм и шм телами данной цепи, бу дем обозначать /(г>и / <т) соответственно.
В теории линейных пространств устанавливается взаимно-од нозначное соответствие между линейными преобразованиями п-мерного векторного пространства и матрицами пХп. В даль нейшем рассматриваются трехмерные пространства R3. Исполь зуя результаты этой теории, всякий переход от одного ортонормированного триэдра к другому приводим в соответствие с орто
гональной матрицей А ш,г, а обратный — с матрицей A m,r. Такие же возможности имеются и при преобразовании коорди нат векторов.
В дальнейшем нумерация тел в цепи принимается от конечно го тела в цепи в направлении к несущему телу, а последнему приписывается индекс Г.
Пусть требуется найти матрицу перехода Аг, в последова тельной цепи из п тел, если заданы матрицы перехода от каж дого предыдущего к каждому последующему.
После простых преобразований получим |
|
1 |
|
Аг, = Агп П A*+i.k. |
(VI) |
к = п — 1 |
|
Можно показать, что произведение конечного числа ортогональ ных п Х п матриц есть ортогональная матрица того же типа.
Для всякой ортогональной матрицы справедливы известные соотношения, связывающие девять косинусов шестью известны ми уравнениями, т. е. шесть из этих косинусов можно выразить через три остальных.
Таким образом, направление осей одной координатной систе мы по отношению к другой определяется тремя величинами, ко торые могут выбираться различными способами. Обычно это Эйлеровы углы.
Прежде чем приступить к их выбору, произведем некоторые вспомогательные построения.
Пусть даны два правых ортонормированных триэдра OXYZ и 0 £ti£, совпадающие в начальном положении, и вектор г, свя занный со вторым из них. Найдем матрицу преобразования век
13
тора г в г' при повороте системы 0|г)£; вокруг некоторой оси
/° |
(ctiict2 icc3 i), проходящей через точку О. |
|
|||
|
Положительным поворотом будем 'Считать поворот, происхо |
||||
дящий |
против часовой стрелки |
для |
наблюдателя, |
смотрящего |
|
с |
конца |
Г. Поворот вокруг оси |
1° на |
угол <р будем |
обозначать |
/£. Такое определение поворота в общем случае неоднозначно: ^+2пк = — /—<p+2nic (п — целое).
Многозначность уменьшится, если воспользоваться параметра ми Родрига-Гамильтона, взяв их в форме вектора
Тогда
Если координаты вектора R в неподвижных осях (щ, рг, рз), то
Pi Рг + Рз — 1 •
Теперь всякая совокупность значений (рь рг, рз), удовлетворя ющая приведенному условию, определяет единственное враще ние, которому соответствует и вторая совокупность таких же, но’ отрицательных величин.
Таким образом, переход от начального к конечному состоя нию подвижной системы осуществляется определенным враще нием, которое onncbiiBaeTCH параметрами (рь рг, Рз> А,)— неко торой точкой гиперсферы.
Производя необходимые построения, которые здесь не приво дятся, получим искомую матрицу
*?1 -г (1 — ап ) Саи а21 (1 — С) — а31 S ап а31 (1 — С) +
|
+ а21 S |
ап а21 (1 — С) + |
а„ S a|j + (1 — a|i ) С a2l a3l (1 — |
д н — |
— С ) — a„ S |
* |
|
аи a3i М — С) |
а21S а21'721 (1 — С) -)- aj 1S a|i -j- |
|
+ (1 — a3i ) С |
(С, S — сокращения для coscp, smcp).
14
Как известно, переход от одной координатной системы к дру гой может быть осуществлен совершаемыми в определенном по рядке тремя последовательными поворотами относительно неко торых осей. Поэтому прежде всего следует отыскать матрицу Ф7° перехода от неподвижного триэдра к подвижному, находя щемуся в том положении, которое он займет после последнего поворота. Исходное положение такое же, как и в предыдущем случае.
Пусть оси поворотов задаются направляющими косинусами относительно подвижных осей
|
|/?1= |
|аП’ а21’ |
аз1 |
|
(I = 1,2,3) |
|
||
и соответственно матрицы поворотов |
|
.. |
о |
|
||||
будут А |
1 |
|
||||||
Тогда |
|
|
-о |
-о |
|
- |
|
|
|
|
Фт„ |
|
|
|
|||
|
|
А '1А '2 А |
f |
|
|
|||
|
|
|
о |
ъ |
|
|
|
|
гдеА^2 |
— матрица |
поворота |
подвижной системы |
относительно |
||||
~,о |
.неподвижной вокруг оси 1°\ на угол фь |
|
||||||
, |
поворота |
подвижной системы вокруг оси Г2 |
||||||
А^ |
— матрица |
|||||||
|
на угол ф2 относительно предыдущей позиции; |
|||||||
А “ |
— то же относительно второй позиции. |
|
|
|||||
Таким образом, |
Ф р ■— матрица |
перехода |
от |
неподвижных, |
||||
осей к подвижным после трех последовательных вращений на три угла, которые и являются углами Эйлера.
В зависимости от характера решаемых задач, используются две системы углов Эйлера. Первая из них получается, если в порядке осуществления поворотов направляющие косинусы осей заданы матрицами-строками:
||0,1,0|| |1,0,011 ||0,0,1||.
Пользуясь матрицей (VI), найдем:
-A h , А н , А /3.
Введем для углов фЬ ф2, фз новые обозначения г),, 0, ф и назовем их соответственно углами галопирования, крена и рыскания.
15
Теперь
COS^ COScp+ S inA s in 'f sinO |
— c o s ^ s i n p + cos<p s i n ф |
s i n 6 s in ^ |
cosO |
sirup c o s 0 |
COS cp COS 0 |
— sin |
0 |
ф ? = |
|
|
|
— S in^ COScp + COS^ Sintp sinO |
— sin{< Sintp + COS^ c o s p |
s i n 0 COS ф COS0 |
|
Такова матрица перехода от неподвижных осей к подвижным в рассматриваемом случае.
Вторая система углов Эйлера .получается, если (в порядке осуществления поворотов направляющие косинусы заданы мат
рицами-строками: ' |
|
|
|0, 0,1 | |
II о, 1,0 II |
|1,0,011 |
и в исходном положении систем оси OZ направлены вниз. Для этой системы осей также получим матрицу Ф _7
Можно показать, что координатные системы с выбранными описанным образом углами Эйлера обладают существенным для дальнейших построений свойством, которое для первой системы состоит в том, что при малом изменении угла крена ют нулевого значения малым будет и угол галопирования при произвольном угле рыскания. А если мал и угол рыскания, то эта координат ная система при изучении малых движений позволяет приме нить метод последовательных приближений, разложение в ряды, что существенно упрощает получение результатов для решаемых в дальнейшем задач.
Координатные системы и углы Эйлера, рассматриваемые обычно в курсах механики, как показал акад. А. Н. Крылов, этим свойством не обладают.
В заключение заметим, что вторая координатная система мо жет рассматриваться как некоторая модернизация первой и од на из них может быть получена из другой с использованием со
ответствующих матриц преобразования |
(здесь не приводится). |
||
У р а в н е н и я |
Эйле ра . Очевидно, |
все рассматриваемые |
|
ортогональные 3-матрицы определяют |
некоторые |
матричные |
|
функции времени; |
будет считать, что |
они принадлежат клас |
|
су С(2 ). |
суть такая функция. |
|
|
Пусть A = A(t) |
|
|
|
Продифференцируем по времени тождество АА = |
Е, получим |
||
16
/ V
АА = —АА = — (АА), следовательно, |
матрица |
АА — Н — косо- |
|||||
симметрическая и запишется так: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
О |
г, — г. |
|
|
|
|
Hlrl(t) = АА |
-Гз |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
-Г1 |
О |
|
Таким образом, если известна матрица А, то известна мат |
|||||||
рица Н |
и |
тройка |
величин Г] (t), |
r2(t), r3(t). |
Можно показать, |
||
что Г], |
г2, |
Гз есть |
компоненты некоторого |
вектора, они же могут |
|||
быть проекциями этого вектора на подвижные оси; в частности, этим вектором может быть вектор (о угловой скорости.
Если элементы матрицы А выражены через углы Эйлера, то
можно показать, что элементы |
матрицы Н[Ш] дают |
уравнения |
|||
Эйлера в подвижных осях. |
|
|
|
||
Так, для первой координатной системы получим |
|
||||
0 |
cp — Ф sin 0 |
— Ф cos <p cos 0 + |
0 sin p |
||
Нм — — 9 + ф sin 0 |
0 |
Ф sin <pCOS 0 + 0 COS cp |
|||
б COS 0 COS tp - - |
0 sin ts |
— Фcos 0 sin cp — 0 cos p 0 |
|||
■В принятых обозначениях получаем: |
|
|
|||
Р |
= |
tp Sin ер COS 0 + |
6 sin <р |
|
|
q |
= |
ф COS 0 COS cp — |
0 Sin cp |
(V I ) |
|
r = tp — ф sin 0
Имеющиеся кинематические уравнения задачи (V), (VII) до- :полним динамическими.
Опишем схему их получения.
Выбирается некоторая последовательная цепь из несущего и шосимого тел, записываются динамические уравнения в вектор ной форме,- затем используются матричные аналоги векторных
..выражений, результат обобщается+а все тела и все цепи.
17
Производя эти операции для первого |
из (1,6), получим. |
||
[X |
п« — 1 |
|
|
М [ Т „ , г 1 + £ |
V m - J |
£ |
[Ок—1,к] ** Впя>к + |
а= 1 m = 1 |
\к = га + 1 |
|
|
/
[0к-1,к]вп>к + 2 \ [ О к_1>к] Вп,ак + ([О к_1,к] Вп,ак 4-
+ [Ok-llk] В„,-к) Нш/ |
+ |
([Оак_ 1,к]Вп > + С [& г ])(Н ю+ |
|||||
4" Hi)} 4- [ gm] \Cn,m 4" 2Cn—mHco “Ь СПа,т(Нш4" Нш) / ) |
|||||||
|
|
|
(х |
П“ — 1 |
|
|
|
= [FW + |
j |
£ |
И ; J с;.„. |
||||
|
|
а=1 |
т=1 |
|
|
||
гд е |
|
|
|
(х |
па — 1 |
|
|
м = mr + |
S |
2 |
т“: |
|
|||
|
|
|
|
а=1 т = 1 |
|
||
[Те,г] — матрица-строка |
проекций |
абсолютного ускорения полю |
|||||
са несущего тела на оси, с ним связанные; |
|
||||||
[Ok-i,к]— матрица-строка |
проекций радиус-векторов, соединяю |
||||||
щих полюсы к и к — 1 тел на оси, связанные с к телом; |
|||||||
. n* —1 |
|
|
|
|
Шг |
||
Впа,к — |
J”J |
Аг + |
1,г; |
|
Ха |
||
|
а |
||||||
|
|
|
|
|
|
Ш |
|
|
г= к |
|
|
|
|
|
ш m |
|
|
|
|
|
|
|
|
[gml> fer] — матрицы-строки |
проекций |
радиус-векторов, соединя |
|||||
ющих полюсы с центром масс m-го тела в a-цепи и |
|||||||
несущего тела на их оси; |
|
|
|||||
|
|
п* |
|
|
|
Шг |
|
а,ш |
|
П |
|
л;,,,; |
= |
||
С па |
|
|
|
|
|
|
|
т „
= т + 1
18