книги из ГПНТБ / Коптев, В. В. Вопросы динамики сложных сельскохозяйственных агрегатов

даых точек. Всякая п-мерная плотность вероятности должна удовлетворять следующим условиям:

1) условию положительной определенности

2) условию нормировки

— 0 0 — 0 0

П

3) условию симметрии.

fa,, a„..., an ({Ч, 14,..., является симметричной относитель­

но своих аргументов, т. е. не изменяется при любой их пере­ становке;

4) условию согласованности при любых ш <п

оооо

•■«ш(14.••^иш) = J ••• J W•.«п (l4- . . ^Ит P-Hro+l •••

<—оо —оо

. . . [А и п ^ и т -Н ^ п *

В дальнейшем будем предполагать, что все необходимые и достаточные условия существования случайного поля величи­ ны ри выполняются.

Подобный подход, очевидно, можно распространить и на дру­ гие величины статистической природы; так, можно говорить о случайных скалярных полях плотности, влажности, о векторных случайных полях сил сопротивления качению и др.

■При этом возможно существование статистических связей между различными полями, предположительно такие связи, на­ пример, должны быть между случайными скалярными полями плотности и влажности, плотности и ри или плотности, влажно­ сти и ри. В подобных случаях должны существовать совместные плотности вероятности.

Моменты случайного поля ри. Полное статистическое описа­ ние случайного поля ри дается множеством многомерных плот­ ностей вероятностей на всевозможных множествах, простран­

29

ственно-временных точек. Получение последних в общем случае вряд ли осуществимо. Целесообразно оперировать другими, бо­ лее простыми статистическими характеристиками, в качестве которых обычно используются моментные или корреляционные функции. Ценным их свойством является то, что функции более низкого порядка несут большую информацию о случайном поле, чем функции высокого порядка.

Как отмечалось выше, нами рассматривается четырехмерное’ пространственно-временное случайное ноле рн (а).

М о м е н т н о й ф у н к ц и е й 'порядка п поля ри(а) будем называть математическое ожидание произведений значений поля в п точках.

п

(3)

Моментные функции в общем случае определяются для про­ странственно-временных точек, однако в дальнейшем будут ис­ пользоваться эти функции только для пространственных точек— пространственные моменты.

Очевидно, моментные функции зависят от 4 в переменных (координат точек). Некоторые из п точек могут быть кратными.

Р а н г о м г м о м е н т н о й ф у н к ц и и будем называть чис­ ло различных точек в (3).

Таким образом, в случае кратных точек порядок моментной функции больше ранга?

п

i=l

где п — порядок момента;

в—4 — ранг.

Вдальнейшем особую роль будут играть моментные функции второго порядка первого и второго |рангов.

Ц е н т р и р о в а н н о й м о м е н т н о й ф у н к ц и е й поряд­ ка в ранга г случайного поля р,и(а) будем называть моментную функцию вида1

30

n

пь,г = \ П [^и (*i) — Ии («l)] /• i=l

Определение ранга 'без изменений переносится и на эти функции. Д и с п е р с и е й с л у ч а й н о г о п о л я ри (щ) будем назы­ вать центрированную моментную функцию второго ■порядка и

первого ранга.

будем называть моментную функцию второго порядка и второго ранга.

ш22 К22 =

Ц е н т р и р о в а н н о й к о р р е л я ц и о н н о й ' ф у н к ц и е й случайного поля ци (а) будем называть центрированную момент­ ную функцию второго порядка и второго ранга.

2

m22 = К22= ^ J”J [jiH(а,) — {аи(<Xj)] i=l

Последняя представляет собой корреляционную функцию флук­ туаций поля ри(а).

Для дальнейшего полезным будет другое представление корреляцинной функции, которое получается, если при веществен­ ных аргументах рассматривать комплексные значения поля

Р„(а) = и (а) + iv (а),

где и(а) и v(a) — соответственно вещественное и мнимое поля, которые, вообще говоря, могут быть и зависимыми.

Корреляционную функцию представим так, чтобы при ai= « 2 получалось вещественное значение, совпадающее с дисперсией случайного поля.

31

R22 = M {[[*и (<*i) — Ри (ai) 1[ М аг) — ^«(«а)]}1-

Приведенная функция обладает свойствами, аналогичными свой­ ствам корреляционной функции комплексной случайной функции одного вещественного переменного.

Допущения о структуре поля ри(а)- !В целях упрощения по­ следующих построений введем систему допущений, каждое из которых может быть оправдано в той или иной степени.

С т а ц и о н а р н о с т ь п о ля ри. Реальное случайное поле р и на конкретном участке поверхности подвержено сменным, суточ­ ным и более длительным цикловым изменениям, которые, воз­ можно, частично или полностью восстанавливаются при относи­ тельно стабильных синхронных цикловых изменениях внешних условий.

Под цикловыми изменениями случайного поля ци и внешних условий будем понимать изменения, рассматриваемые на одина­ ковых временных интервалах с повторяющимися одинаковыми начальными отсчетами.

Наибольшей продолжительностью цикла будем считать пол­ ную продолжительность одной сельскохозяйственной операции (посев, уборка и т. д.), протекающей при относительно стабиль­ ных цикловых изменениях внешних условий. Циклы изменения внешних условий содержат в себе циклы рассматриваемых изме­ нений поля ри. Например, суточные циклы изменения внешних условий содержат сменные циклы.

Таким образом, если в течение какой-то сельскохозяйствен­ ной операции суточные циклы более или менее стабильны, то и сменные циклы изменения поля ри ,на временном отрезке данной операции имеют стабильный характер. Естественно предполо­ жить, что сменное (короткоцикловое) изменение поля таково, что все его вероятностные характеристики на временном интер­ вале, равном смене, изменяются настолько мало, что этими из­ менениями в первом приближении можно пренебречь.

Таким образом, приходим к стационарному случайному полю значений ри.

Продвигаясь по пути дальнейших упрощений, придем к по­ нятию «замороженного» случайного поля, значений ци. Послед­ нее поле принимается неизменным в течение наименьшего рас­ сматриваемого цикла (смены). Моментом времени, в который фиксируется поле, целесообразно выбрать половину продолжи­ тельности цикла (смены). Полученная таким образом «конфи­ гурация» поля распространяется на всю продолжительность цик­

1 Означает комплексно-сопряженную величину.

32

на котором рассматриваются значения ри, в зависимости от ха­ рактера предшествующей обработки почвы, обладает большей или меньшей однородностью поверхности в обычном смысле это­ го слова. Так, однородность поверхности может разниться в за­ висимости от направления, по которому она определяется, на­ пример, вдоль и поперек борозд предшествующей обработки. Естественно ожидать, что статистические характеристики значе­ ний ри на данной реализации случайного, «замороженного» по­ ля по этим направлениям будут различными. Поэтому можно рассматривать статистическую однородность поля ри в направ­ лении каждой из координатных осей (Xi или Х2). В тех случаях, когда разницу в таких статистических характеристиках можно считать малой, будем рассматривать однородное случайное поле в двухмерном пространстве. Такой подход, по-видимому, опраздан в большинстве практических случаев.

Дадим теперь строгое определение однородности в широком смысле случайного поля ри.

Математическое ожидание значений поля p„(Xi, Х2) должно быть постоянным во всех точках плоскости:

Ри’ Хь Х2) = const.

Корреляционная функция

R22 = R22.(х,, Х2) = м {[р* (X ,) - riTXi > lk (Х2) - м х 2) ])

зависит от разности векторов

ц = Х2— Xi,

Сразу же заметим, что для однородного случайного поля зна­ чений ци(а) существует спектральное разложение, которое по­ лучается подобно спектральному разложению стационарной слу­ чайной функции одного переменного. • '

Как известно, спектральное разложение стационарной случай­ ной функции представляется интегралом Стильтьеса*2

оо

5(t) = J e,Mtdz (u>),

— CO

где z (со) — комплексная случайная функция с независимыми приращениями. '

M{[z(toi + Acoi)— z(coi)][z( (02 ~f*Аиг)— z (сог)}} = 0.

Причем интервалы (©i, ©i + A©i) и (©2 , ©г + Аюг) не перекры­ ваются. Очевидным обобщением последнего для стационарного поля будет

— оо —оо

Здесь интегрирование производится по двухмерному про­ странству параметров ©(©ь ©г),

а ©X = ©1X1 ——©2X2

представляет собой скалярное произведение векторов ю и X. Приращения второго порядка случайной функции удовлетво­

ряют следующим условиям:

M{d<2>S> (ю)] = 0;

где б(© — ©') — двухмерная функция Дирака.

:34

любой степенью точности приближено в среднеквадратическом -конечной суммой некоррелированных между собой плоских волн различных длин и ориентаций со случайными амплитудами и фазами.

Из (4) и (5) вытекает возможность спектрального разложе­ ния корреляционной функции случайного поля ци:

Следовательно, для однородного случайного поля рн задание корреляционной функции эквивалентно заданию спектральной плотности (верно и обратное).

Э р г о д и ч н о с т ь с л у ч а й н о г о п о л я ри. До сих пор, говоря о случайном поле значений ци, мы предполагаем, что имеем статистический набор реализаций случайного поля на дан­ ном участке поверхности при ранее описанных условиях. Есте­ ственно, получение такого достаточно полного статистического набора хотя и принципиально возможно, но потребовало бы дли­ тельных и трудных в техническом исполнении наблюдений. ■

Поскольку случайное поле однородно на плоскости, можно предположить, что одна реализация случайного однородного «замороженного» поля на достаточно большом участке поверх­ ности доставляет необходимый материал для получения стати­ стических характеристик поля. Практически поверхность обыч­ ного поля севооборота всегда можно считать достаточно боль­ шой, ибо среднее расстояние между последовательными пересе­ чениями среднего уровня для функций ци (Xi) и ци(Х2), получа­

ющихся в сечении поверхности ри(Х) .плоскостями, параллель­ ными координатным осям, мало по сравнению с соответствующи­ ми размерами участка поверхности. Сделанное предположение ^составляет содержание эргодической теоремы,

Более строго, случайное поле называется эргодическим, если всякая его вероятностная характеристика, полученная усредне­ нием по множеству реализаций, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, совпадает с пространственным средним, по­ лученным по одной реализации поля, рассматриваемого на до­ статочно. большом участке поверхности.

В дальнейшем поле ри будем считать эргодическим.

Н о р м а л ь н о с т ь п о л я ри. Будем считать, что случайное поле р„ обладает свойством нормальности. Это предположение естественно, поскольку из центральной предельной теоремы Ля­ пунова следует, что распределение суммы большого числа слу­ чайных 'величин стремится к нормальному закону. Последнее находится в соответствии с физической картиной формирования значений ри.

И з о т р о п н о с т ь по ля ри. Особым случаем однородного случайного поля ри является изотропное случайное поле. В ре­ альных условиях работы самоходной машины полями, обладаю­ щими этим свойством, будут поля значений ри на песчаной поч­ ве или 'других участках поверхности, имеющих относительно большой слой вспушенной почвы.

Математически изотропность приводит к тому, что корреля­ ционная функция (6) зависит только от расстояния ц между

двумя точками поля и не зависит от направления вектора гр Последнее приводит к упрощению математических операций

при вычислении спектральной плотности (7).

§3. О некоторых оценках эффективности реализации сцепления

сучетом режимов работы

Ведущее колесо тягача можно рассматривать как устройство, считывающее_значения ри и производящее «сечение» поверхно­

сти поля |1 И(X ).

Используя ранее принятые стацинарность, однородность, эр­ годичность и нормальность случайного поля значений р и, можно установить связь между этими значениями и характером взаимо­ действия колеса и поверхности. Последний, в свою очередь, опре­ деляется режимами работы и движения тягача.

Рассмотрим влияние тягового режима на эффективность реа­ лизации сцепных свойств поверхности. Будем считать, что в каждой точке поверхности по колее может быть построен круг сцепления с радиусом, равным максимальному значению про­ дольного ри в данной точке. Тогда вдоль колеи получим нор­

36

мальное распределение радиусов кругов сцепления — распреде­ ление располагаемых значений ри.

Потребные значения коэффициента сцепления ц определя­ ются 'в каждый момент времени действующими значениями 1% которые, £ свою очередь, зависят от характеристик случайного вектора Ркр с продольной Ркр и боковой Ркр составляющими.

Обычно |Ркр I > |Ркр|.

Исследованиям причин и характера изменения модуля слу­

чайной составляющей РКр в различных условиях работы и агре­ гатирования посвящено много исследований. Краткий обзор не­ которых из них приводится ниже.

Установлено, например [47], что на величину |Ркр| влияет: а) технологический процесс вспашки; б) почвенные неровности;

в) физико-механический состав обрабатываемого слоя; г) относительная влажность почвы.

При изменении влажности почвы от 30—40 до 65—70% от капиллярной влагоемкости удельное сопротивление почвы увели­ чивается приблизительно в 1,5 раза.

Исследовалось также влияние на величину удельного сопро­ тивления машин и орудий засоренности поля.

Если принять удельное сопротивление орудия на чистом поле за 400%, то на поле средней засоренности при тех же условиях удельное сопротивление составит 115%, а на сильно засоренном поле— 120%.

Аналогичные результаты были получены [96] при исследова­ нии усилий, передаваемых деталями трансмиссии колесного трак­ тора. Объектом исследования являлся трактор МТЗ-5М. Иссле­ дования проводились на пахоте, культивации, транспортных ра­ ботах. Были получены следующие результаты: при работе на V передаче плугом П-3-35 и при глубине обработки 20 см уси­ лие на крюке (путь замера приводимых данных 3 м) составляло 885— 1335 Кг (средняя величина— .1130 кг). Таким образом, крю­ ковое усилие колебалось от среднего значения на 18—38%. Буксование трактора было значительным — 30%. При работе на VI передаче на культивации величины отклонений ведущих мо­ ментов на правой и левой полуосях составили соответственно + 27-:— 46% и -[-37ч— 27% при среднем значении ведущего мо­ мента, равном 375 кГм.

Анализируя многочисленные экспериментальные . данные, проф. Ю. К. К'иртбая пришел к выводу, что из всего спектра частот импульсов тягового усилия, присутствующих в реализа­ ции, можно выделить определенные гармонические составляю­

37

щие. Возможность такого выделения позволяет представить фи­ зическую картину формирования тягового усилия.

Предлагается выделить три составляющих:

1) микроколебания нагрузки на протяжении до 2 м, которые вызываются характерными особенностями технологического про­ цесса обработки поля и его микрорельефом;

2)мезоколебания — колебания на расстоянии до 12 м пути, они связаны с периодическим изменением физико-механических свойств почвы и наличием значительных неровностей поля;

3)макроколебания, которые вызываются изменением уклона поля, веса машины и т. д.

Дальнейшие исследования составляющих тягового усилия привели к большей дифференциации частотных составляющих спектра, так как в формировании определенной его частоты участвуют элементы ведущей машины и агрегата. Так, А. А. Бо­ лотин [11] выделяет 5 составляющих.

Однайо в аналитических исследованиях, связанных с изуче­ нием влияния характера изменения тяговой нагрузки на показа­ тели машинно-тракторного агрегата в рамках детерминистиче­ ской теории, необходимо располагать математическим ее опи­ санием.

В качестве приближенной зависимости такого рода для мо­ мента сил сопротивления, по В. Н. Болтянскому [12], может быть использована зависимость вида:

38