книги из ГПНТБ / Коптев, В. В. Вопросы динамики сложных сельскохозяйственных агрегатов

IF/], [Fb ] — матрицы-строки проекций главных 'векторов внеш­

них сил несущего и носимых тел на оси, с ними свя­ занных.

Для второго из уравнений (I б) плучим

!6

сенный к осям несущего тела;

V^ma— 'полярный момент инерции m-го тела a-цепи относи­

к = т + 1

Получены уравнения движения несущего тела в самом общем' случае. Структура их сложна, однако возможны упрощения. Так, если положить, что полюсы тел совпадают с центрами масс,, то обратятся в нули члены, содержащие -матрицы типа [g], и, ес­ ли при этом координатные оси являются главными центральны­ ми осями инерции, существенно упростятся тензоры инерции.. Уравнения упростятся за счет уменьшения числа степеней свобо­ ды в зависимости от характера сочленения тел, а также если рассматривать малые движения тел или случаи плоских движе­ ний. Если использовать все возможности такого рода, уравне­ ния остаются достаточно сложньши, аналитическое их решение- (за исключением тривиальных случаев) связано с большими ма­ тематическими трудностями. Однако в каждом конкретном .слу­ чае оно может быть получено на ЭВМ. Этим объясняется вид, уравнений— они не разрешены относительно искомых произ­ водных, что, впрочем,-всегда можно сделать.

20

Г Л А В А П Е Р В А Я

ФОРМИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СЦЕПЛЕНИЯ КОЛЕСНОГО ДВИЖИТЕЛЯ ТРАКТОРА

§1. О взаимодействии пневматической шины

сопорной поверхностью

ных сил). В результате шина как элемент самоходной машины выполняет следующие основные функции: несет вертикальную • нагрузку, обеспечивает получение касательной реакции, необ­ ходимой для формирования поступательного движения, способ­ ствует возникновению боковых реакций, необходимых для осу­ ществления поворота трактора и сохранения боковой устойчи­ вости движения. Таким образом, в контакте действуют: равно­ действующая касательных напряжений — касательная сила Pt : равнодействующая нормальных напряжений — нормальная си­ ла N; равнодействующая боковых напряжений— нормальная к. плоскости колеса сила Рб.

Сила Pt является результатом приложенного к ведущей по-- луоси крутящего момента М кр, который заменяется моментом, приложенным к окружности колеса; последний представляется парой сил: Р — приложенной к центру-колеса и направленной по движению, и Pt —-приложенной в плоскости контакта -с опорной: поверхностью и направленной против движения.

Эта -сила вызывает реакцию Рт = .P t, направленную по дви­ жению (линии действия их совпадают). Рт — сила тяги, являет­

21'

ся внешней по отношению к трактору. Увеличение активной си­ лы вызывает такое же увеличение силы Рт.

В процессе эксплуатации трактора желательно реализовать возможно большие значения Рт, но эти значения ограничены за­ коном тяти:

где р и Рсц — коэффициент и сила сцепления.

В (1) сила сцепления определяется 'как функция нормально­ го давления и величины р, однако она формируется в результа­ те более сложных .процессов, протекающих при взаимодействии шины и почвы:

Рсц — Ра + Рь + Рс,

где Р — силы адгезии почвы и резины; iP в — силы внутреннего трения почвы;

Р с — силы внешнего трения резины о почву.

Силы адгезии Ра зависят от поверхностного натяжения влаги в капиллярах почвы, резко возрастают со снижением влагосо-

.держания и увеличением поверхностного натяжения, могут быть -определены по величине напряжений

Р = a tg ф,

где а — поверхностное натяжение влаги в капиллярах почвы; Ф—-угол трения в контактной паре.

Силы внутреннего трения Рв не зависят от приложенного внешнего давления при условии, что структура почвы существен­ но не изменяется.

Силы внешнего трения Рс пропорциональны нормальным на­ грузкам.

Нормальные давления не распределяются равномерно по всей поверхности контактирующих грунтозацепов и поверхности .меж­ ду зацепами; зацепы несут тем большую нагрузку, чем выше плотность и твердость почвы.

При большой плотности, а также при твердом покрытии Р сц практически определяется составляющими 'Ра и Рс . Касатель­ ные напряжения в этом случае можно определить по формуле

т = р + n tg ф,

где т и п — касательные и нормальные напряжения.

22

Таким образом, коэффициент сцепления р, определяемый как P cu/N, есть условная интегральная величина, которая учитывает косвенно и составляющие Р,ц , не зависящие от нормального давления Ра и Рв .

При нормальном давлении N мгновенное значение Рс„ опре­ деляется мгновенным значением р, которое формируется из ло­ кальных значений коэффициента сцепления для каждой точки поверхности контакта шины с почвой.

В этой 'связи представляет интерес определение сил, действу­ ющих на вершине и боковых поверхностях почвозацепов протек­ тора, в пространстве между почвозацепами, и качественной кар­ тины их распределения при различных тяговых усилиях.

Результаты экспериментов такого рода для трактора. MasseyFerqusson с шиной 11 т28 приведены в работе [123].

Эксперименты заключались в замере вектора тягового уси­ лия в 39 точках протектора шины на двух тяговых нагрузках при движении по песчаной почве. По результатам могут быть сделаны следующие выводы:

а) средняя часть протектора нагружена больше, чем бо ковые;

. б) доля касательной силы тяги, воспринимаемая различными частями поверхности контакта шины с почвой, различна для каждой тяговой нагрузки;

в) поверхность впадин протектора передает существенную часть касательной силы тяги даже при малых и средних тяго­ вых .нагрузках;

г) боковые напряжения имеют более высокие значения в средней части протектора; боковые напряжения, действующие на вершине нагруженной боковины почвозацепа, а также на по­ верхности впадин протектора, смещают почву в сторону от трак­ тора; напряжения, действующие вдоль нена-г.руженной боковины почвозацепа, смещают почву по направлению к трактору.

Описанный эксперимент не учитывает, однако, ряда динами­ ческих факторов, влияющих на распределение рассматриваемых сил (неравномерность тяговой и нормальной нагрузки, динамизм боковых нагрузок и пр.).

-При аналитических построениях разного рода принимается, что колесо, взаимодействуя с опорной поверхностью, не про­ скальзывает, величина и скорость перемещения отпечатка при­ нимаются равными нулю. Последнее является, например, исход­ ной предпосылкой при получении в-сех известных уравнений неголономных связей катящегося колеса с пневматической. шиной. Если оставаться в рамках такой концепции, мы вынуждены рас­ сматривать только два возможных состояния при взаимодей-

23

•ствии шины с опорной поверхностью: «абсолютное» сцепление, -сохраняющееся в процессе всего движения; «полное» скольже­ ние, также носящее стационарный характер в течение всего про­ цесса. Однако результаты ряда экспериментальных работ, вы­ полненных у нас в стране и за рубежом для автомобильных ко-

.лес, позволяют утверждать, что «абсолютного» сцепления прин­ ципиально быть не может. Всякое проявление сцепления связа­ но с относительным скольжением.

Рассмотрим зависимости коэффициентов сцепления от отно­ сительной скорости скольжения, полученные для автомобильных шин, при взаимодействии последних с наиболее типичными для них основаниями. Набольшие значения 'коэффициента цмакс по­ лучаются при относительном скольжении 20—30°/о. Именно это максимальное значение принято называть коэффициентом сцеп-

.ления, ц0 — коэффициентом трения скольжения: цмакс > ЦоПе­ реход от Цмакс к ро занимает относительно небольшое время.

Для нас важно то обстоятельство, что изменение сцепления в направлении, перпендикулярном плоскости колеса, в точности подчиняется' этим же закономерностям.

Таким образом, касательные реакции (продольные или бо­ ковые) суть функции относительной скорости скольжения. В об­ щем случае полня сила тяги, действующая на шину, равна сум­ ме продольной и боковой сил тяги и по своей максимальной ве­ личине практически равна максимальной величине каждой из сил в отдельности. Следовательно, если продольное сцепление максимально или имеет место полное продольное буксование, то боковое сцепление равно нулю (верно и обратное).

В случае скольжения справедливо равенство

Рек = — t*0 N С°,

где с° — единичный вектор мгновенной скорости скольжения.

В области упругого скольжения справедлив закон тяги. Рас­ смотрим (1) с новой точки зрения, состоящей в том, что это не­ равенство имеет скрытый статистический смысл. Именно исполь­ зуя его обычным образом, мы негласно подразумеваем, что оно выполняется с вероятностью, близкой к единице.

Тем не менее силы Рт и Рсц вследствие анизотропности осно­ вания в общем случае являются случайными функциями пути.

Предположим, что Р сц.макс = const, располагаемая тяга по двигателю больше тяги по сцеплению (т. е. Рсц.макс всегда мо­ жет быть реализована) и Р т , являющаяся случайной функцией пути, на некоторых его отрезках в процессе движения больше

-24

Р сц .макс — выбросы. Очевидно, что неравенство (1) в этих слу­ чаях нарушается, а колесо скользит.

Неравенство (1) может нарушаться и при следующих пред­ положениях: Рт = const, она либо максимальна, либо близка к ней, а Рсц случайная функция для некоторых отрезков пути ста­ новится меньше Р т (феддинги и колесо также скользят).

В общем же случае на неравенство (1) следует смотреть как на статистическое, выполняющееся с той или иной вероятностью.

Строгое неравенство выполняется лишь на множестве точек, для которых ординаты случайной функции Рсц идут выше орди­ нат случайной функции Рт.

Равенство имеет место лишь на множестве точек пересече­ ния обеих случайных функций.

Таким образом, процесс продольного или бокового сцепления суть процесс динамический, являющийся результатом колебания случайной функции Рт относительно случайного уровня Рсц .

На основании сказанного можно утверждать следующее: при первом варианте нарушения неравенства (1) продольная сила тяги падает до значения, равного-силе продольного скольжения, а боковая реакция становится равной нулю. Иначе колесо в бо­ ковом направлении освобождается от связей на отрезке времени нарушения неравенства, и достаточно небольшой по величине силы, чтобы сдвинуть его в-боковом направлении. При втором случае нарушения неравенства все только что отмеченные явле­ ния в точности повторяются.

Свободное перемещение колеса в боковом направлении, про­ исходящее на малом отрезке времени, связанное с изменением физических условий его взаимодействия с основанием и исчеза­ ющее при изменении этих условий (независимо от участия води­ теля), назовем боковым дрейфом колеса, в отличие от заноса, прекращение которого требует постороннего вмешательства, свя­ занного с изменением режима движения.

Если проведенные рассуждения повторить для боковой силы, то, очевидно, получим следующее: при значениях боковой силы, приводящих к скольжению, боковая реакция на промежутках времени скольжения будет равна силе скольжения, а продоль­ ная тяга обратится в нуль.

Указанную взаимосвязь сил продольного и бокового сцепле­ ний и их связь с продольной силой тяги в первом приближении будем оценивать некоторой величиной %— коэффициентом боко­ вой силы-

25

I О при Рт = N |х;

| 1 при Рх = 0.

§ 2. Основы теории случайного поля значений ри

Используемые до сих пор коэффициенты сцепления обезли­ чены в том смысле, что не учитывается влияние на них парамет­ ров катящегося колеса, самой машины, ее режимов работы и

.движения.

Между тем всякий участок поверхности, на котором пред­ стоит работать трактору, потенциально обладает некоторыми сцепными свойствами в каждой точке в рассматриваемый мо­ мент времени. Последние формируются предшествующей обра­ боткой почвы, атмосферными и другими условиями. В зависимо­ сти от параметров ведущего аппарата и машины, ее режимов работы и движения эти свойства будут проявляться по-разному.

Для дальнейших построений необходимо Еыбрать в некото­ ром смысле «идеальную» характеристику сцепных свойств по­ верхности. В качестве такой характеристики принимается коэф­ фициент «идеального» сцепления ци, определяемый по выраже­ нию (1) при следующих условиях:

-а) дан одноколесный тестер с натурным колесом и реальны­ ми его параметрами;

б) нормальная нагрузка на колесо всегда задана и посто­

ном и постоянном значении N — ци = f (РСц ), но значения в раз­ личных точках обрабатываемой поверхности в рассматриваемый промежуток времени, как отмечалось выше, суть случайные ве­ личины, следовательно, и ци в этих точках в общем случае есть случайная непрерывная по вероятности функция трех неслучай­ ных аргументов:

Ри — М х ,, х2> 0,

где хь х2 — пространственные переменные; t — время.1

1 Условимся называть малой скоростью скорость, составляющую 4—5% от максимальной.

26

Следовательно, р,и определена в трехмерной пространствен­ но-временной области. Для определенности введем четырехмер­ ную координатную систему и 'будем считать, что естественная граница участка поверхности, подлежащего обработке, такова, что по крайней мере один из углов участка может быть связан с прямоугольной системой координат. Начало этой системы сов­ мещено с вершиной угла.

Для дальнейших построений предположим, что рассматри­ вается некоторый участок поверхности, представляющий одно из полей некоторого севооборота. На этом участке измеряются зна­ чения [ли за длительный промежуток времени при повторяющих­ ся внешних и технологических условиях.

Под повторяющимися внешними условиями подразумеваются метеорологические условия, которые, вообще говоря, не могут нами управляться, однако в большинстве случаев условия, глав­ ным образом влияющие на формирование величины |ли, оказы­ ваются практически одинаковыми.

Повторяемость технологических условий по основным пара­ метрам практически может быть обеспечена. При реализации указанных выше ситуаций получаем статистический набор со­ стояний изучаемого участка п о ’сцеплению.

Если предположить, что ци каждый раз определяется в не­ которой фиксированной пространственно-временной точке, то его значения суть случайная величина с определенной плотностью вероятности f(pH) и определенным теоретико-вероятностным средним значением.

оо

ft, (х, t). Каждый представитель указанного выше статистиче­ ского набора a priori представляет собой реализацию случай­ ного поля значений |ли.

Статистический набор состояний участка поверхности пред­ ставляет множество случайных полей. Таким образом, приходим к понятию случайного 'пространственно-временного скалярного поля для значений ци на рассматриваемом участке поверхности.1

1 Здесь и далее X — вектор с координатами (х., хг).

27

Для того чтобы рассматриваемые поля значений р,и были

•случайными полями в математическом смысле, требуется, чтобы . соблюдался ряд условий. Во-первых, необходимо, чтобы значе­ ния р„ (х, t) во всякой фиксированной пространственно-времен­ ной точке были случайной величиной. Следовательно, каждой комбинации х и t соответствует определенная одномерная плот­ ность вероятности, являющаяся функцией точки поля (а )—fa(pH). Но одномерная плотность вероятности характеризует случайное поле статически и не дает представления о динамике его изме­ нения. Для описания последней необходимо, во-вторых, суще­ ствование всевозможных п-мерных плотностей вероятностей.

Пусть рассматриваются п произвольных пространственновременных точек случайного поля'аДх! , ф ) (i = 1, 2, . .. , п) и соответствующие им значения ри (аД, тогда должна существо­ вать функция п переменных

т. е. при измерении значений pH(cci), ри(а2 ) в достаточно боль­ шом количестве реализаций случайных полей (при одинаковых условиях) доля случаев, в которых значения p„(ai) заключены в интервале (цИ[, р" ) и в то же время значения ри (аг) заклю­

чены в интервале (р^ , р"2), аналогично и остальные значения

ри (а|) в выбранных точках заключены в соответствующих ин­ тервалах. (р^ , р" ) (i — 1, 2, 3, ... ,п) колеблется около посто­

янной величины, которая определяется в результате rs-кратного интегрирования, в пределах, равных границам соответствующих интервалов функций

f<x„ а2, •■. , “п (Ри„ Ри2, . . . , Рип)-

Возможность получения различных n-мерных плотностей ве­ роятностей является необходимым и достаточным условием су­ ществования случайного поля ри (х, t).

Для его полного описания необходимо задать множество f« отвечающих всевозможным наборам п пространственно-времен-

28