книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

2.6. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

Уравнение движения является важным составным элементом гидродинамического процесса, переноса частиц вдоль траектории и т. д. Именно важностью приложений объясняется большое вни­ мание исследователей к решению этих уравнений.

Развитие численных методов решения уравнений движения сти­ мулировалось потребностями в гидродинамических и газодинами­ ческих расчетах. За последние два-три десятилетия численные методы решения гидродинамических задач обогатились рядом интересных идей, предложенных многими авторами.

В последние годы интенсивное изучение проблемы прогноза погоды и динамики океана дало новый импульс для разработки эффективных методов численного решения уравнений движений, который благодаря работам Курихары, Брайна, Г. И. Марчука и др. привел к созданию весьма универсальных и эффективных алгоритмов решения таких задач. Некоторые из таких подходов и будут рас­ смотрены в настоящем параграфе.

К числу простейших задач математической физики следует от­ нести уравнение переноса субстанции вдоль траекторий частиц, которое можно представить в виде

где

Рассмотренное уравнение решается при дополнительных условиях, простейшим из которых для неограниченной среды будет

ф(*. У, 2, 0) = / (я, у, z).

Аналогичная задача возникает в качестве элемента общего алго­ ритма при численном решении уравнений гидродинамики, теории переноса излучения и многих других. Учитывая это обстоятельство, проведем подробное обсуждение возможных путей численного реше­ ния задач такого вида. Сначала рассмотрим простейшие уравнения движения.

При решении задач гидродинамики, гидротермодинамики, про­ гноза погоды, динамики океана и др. приходится иметь дело с урав­ нениями переноса субстанции вдоль траекторий. Простейшим урав­ нением такого вида является уравнение

41

при условии, что / (х) есть дифференцируемая функция. Это решение (6.2) описывает процесс распространения начального возмущения вдоль характеристики

X — u t = const.

Это значит, что ф (х, t) — const на любой прямой х — ut — const. Итак, задача (6.1) при и > 0 определяет процесс распространения возмущения в сторону возрастающих значений х. Эти хорошо изве­ стные положения следует иметь в виду при конструировании разно­ стных аналогов задачи (6.1). Если скорость и = и (х, t) — перемен­ ная, то нахождение решения задачи (6.1) в аналитическом виде уже, вообще говоря, невозможно. Именно в этих случаях оказывается необходимым применение численных методов, основанных на разно­

стных аппроксимациях.

Рассмотрим простейшие разностные схемы с и = const. Ради определенности будем полагать и > 0. Тогда имеем явную схему

Обе эти схемы имеют первый порядок аппроксимации по Ах и т. В самом деле, предположим, что начальное значение / (х) и ф (х , t) — достаточно гладкие функции. Тогда решение уравнения (6.1) раз­ ложим в ряд Тейлора в окрестности точки х = xk, t = tj

Подставляя ряд (6.5) в (6.3), (6.4), получим

Отброшенные члены в (6.6) имеют более высокий порядок ма­ лости. Из уравнения (6.1) следует, что

Тогда выражение (6.6) примет вид.

42

где р — произвольное целое число. Подставляя (6.12) в (6.11), при­ ходим к выражению для собственного числа

где Гр = 1 — тЯр — множитель перехода для коэффициентов Фурье. Найдем условие, при котором все компоненты ф|, не возрастают

44

и= 1. Это значит, что имеет место неравенство

Отсюда следует справедливость высказанного выше утверждения. Таким образом, мы приходим к условию счетной устойчивости разно­ стной схемы. Легко видеть, что в рассматриваемом случае устано­ вленный критерий устойчивости совпадает с условием корректности уравнения (6.8).

Переходим теперь к обсуждению неявной разностной схемы (6.4). Методом, изложенным выше, нетрудно показать, что схема (6.4) также имеет первый порядок аппроксимации по Ах и т. С помощью разложения в ряд Тейлора при х = xk и t = tj получаем уравнение, аналогичное (6.8)

(6.18)

где

и Дх + и2т

Уже здесь можно констатировать принципиальное различие соотношений (6.8) и (6.18). В последнем уравнении коэффициент счетной вязкости всегда положителен. Следовательно, уравнение (6.18) при соответствующих достаточно гладких начальных данных всегда корректно. Нетрудно показать, что разностное уравнение (6.4) устойчиво при любом соотношении шагов, т. е. абсолютно устойчиво, поскольку множитель перехода для каждого коэффи­ циента Фурье равен

Отсюда следует, что

Из интересных и весьма употребительных разностных схем, кроме (6.3) и (6.4), можно привести следующие:

Нетрудно установить, что схема (6.19) является схемой первого порядка аппроксимации по т и второго по Ах. Соответствующее этой схеме дифференциальное уравнение будет иметь вид (6.18), где

Что касается устойчивости, то она определяется операторами перехода для коэффициентов Фурье. Получаем спектральную задачу

Решение уравнения (6.21) будем искать в виде (6.12). В результате для Хр будем иметь

откуда непосредственно следует, что для коэффициентов Фурье имеем уравнения

Фр+1-Ф{,

+ К ч’р'1= 0

где

т= — -—

р1 + тХр‘

С учетом (6.22)

Т —______ і______

Рих

и, следовательно,

________1__________ 1.

/ 1+ ( 1 7 ) 2sin2/,A*

Отсюда следует абсолютная счетная устойчивость схемы (6.19). Наиболее интересной в приложениях является схема Кранка —

Николсона (6.20). Нетрудно убедиться, что эта схема второго по­ рядка аппроксимации по т и Ах и не диссипативна. Это значит, что

4В

в дифференциальном уравнении (6.18) имеем р = 0, а отброшенные члены имеют порядок т Дж, т2 и Дж2. Что касается счетной устой­ чивости , то в данном случае мы имеем

и, следовательно,

Тр 1= 1-

Таким образом, эта схема является абсолютно устойчивой. Необ­ ходимо отметить, что если в схеме (6.3) разностное выражение для

и ^ в форме

„ ф£ - фL i

ид5

заменить на

Дж ’

то полученная разностная схема при и > 0 окажется неустойчивой при любом соотношении шагов. Доказательство очевидно.

В заключение рассмотрим еще один интересный метод численного решения задачи (6.1) на основе так называемой схемы «бегущего счета». Предложенная Л. Д. Ландау, Н. Н. Нейманом и И. М. Халатшшовым эта схема имеет вид

Нетрудно показать, что эта схема второго порядка аппроксимации по г и первого по х. Она реализуется рекуррентным соотношением

На основе анализа устойчивости по Нейману с помощью метода Фурье нетрудно доказать, что схема (6.24) абсолютно устойчива.

Аналогичным образом можно построить абсолютно устойчивую схему «бегущего счета» для многомерной задачи движения и доказать абсолютную ее устойчивость в случае уравнения с постоянными коэффициентами.

Обратим внимание теперь на тот факт, что всюду выше пред­ полагалось, что и постоянна и положительна. Если и отрицательна, то заменой х на —х приходим к уравнению, которое рассмотрено выше. Однако особый интерес для приложений имеет случай, когда и = и (ж, і). Уже самый простой анализ показывает, что в этом слу­ чае даже при использовании неявных диссипативных разностных схем возможно нарушение счетной устойчивости. Особенно это

47

проявляется в нелинейных задачах. Суть дела состоит в следующем. Если разложить решение разностной задачи и коэффициент и (xk, tj) в ряд Фурье, то произведения рядов Фурье приведут к гармоникам как более длинным, чем взаимодействующие, так и более коротким.

В результате такого процесса в ряде случаев может произойти перекачка «энергии» от ошибок округления из длинных волн в наи­ более короткие, и процесс вычислений окажется неустойчивым, несмотря на то, что данная разностная схема с постоянным коэффи­ циентом будет счетно устойчивой. Обычно такую неустойчивость называют нелинейной неустойчивостью. Она также иногда появляется и при решении линейных задач с переменными коэффи­ циентами. Поэтому построение разностных схем для нелинейных уравнений или уравнений с переменными коэффициентами, устой­ чивых в отношении к любым возмущениям, является чрезвычайно актуальной задачей. В большинстве случаев подавление счетной неустойчивости возможно с помощью диссипативных разностных схем, отвечающих определенному выбору коэффициента счетной вязкости [X. Однако такие схемы, как правило, оказываются схемами первого порядка аппроксимации либо по т, либо по Дх, либо и по т и по Лаг.

Особый интерес в приложениях имеют уравнения вида

где и = и (х, t).

Разностные схемы для уравнений такого типа, абсолютно устой­ чивые и имеющие первый или даже второй порядок аппроксимации на некоторых классах коэффициентов, мы изучим в дальнейшем при рассмотрении многомерных уравнений вида (6.26).

Рассмотрим на плоскости (х, у) задачу о движении ансамбля частиц по заданным траекториям. В рамках метода механики сплош­

u = u(x, y, t), v = v(x, y, t).

Далее предположим, что компоненты вектора скорости и, ѵ в каж­ дый момент времени удовлетворяют уравнению неразрывности

является периодическим, принимая на противоположных границах прямоугольника одинаковые значения.

48

Эволюционные уравнения из (6.27) запишем в операторной форме

Нетрудно показать, что в исследуемой задаче оператор А удо­ влетворяет условию (Лф, <р) = 0. В самом деле, вводя скалярное произведение в гильбертовом пространстве, запишем

оо

Подынтегральное выражение с учетом (6.28) преобразуем к виду

ф2 ф2

Отсюда с помощью условия периодичности решения на границах получаем

Таким образом, оператор Л является кососимметрическим и, сле­ довательно, допускает конструирование абсолютно устойчивых разностных схем.

Теперь попытаемся оператор Л расщепить таким образом, чтобы каждый из элементарных операторов А а (а = 1,2) также удовле­ творял условию

В этом случае разностная схема покомпонентного расщепления позволит получить абсолютно устойчивую разностную схему второго порядка точности.

Формальное разложение оператора Л на составные части

(6.34)

не удовлетворяет условию (6.33). Нетрудно убедиться, что имеют место соотношения

а Ь

{АхФ, ф) = ~ j \dxjV

ОО

аЪ

(А2ф, ф) = - J j dx J ф2^ d y .

оо

Это значит, что операторы и А г не могут быть взяты в качестве элементарных для построения схемы последовательного расще­ пления.

Выберем теперь операторы А х и А 2 в более сложной форме

ди

Нетрудно видеть, что каждый из таких операторов теперь удовле­ творяет требованию (6.33), а сумма этих операторов в точности равна А. В самом деле, составим сумму

удовлетворяют уравнению (6.28).

Итак, все необходимые условия для применимости метода рас­

на операторы (6.34) может скомпрометировать саму идею расщепле­

50