книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

Здесь у (X, у ) — заданный на поверхности океана поток плотности. Кроме того, мы предполагаем, что океан имеет постоянную глубину Н, совпадающую со средней толщиной слоя главного термоклина,

ао — цилиндрическая береговая поверхность.

Вкачестве одного из граничных условий в (2.5) при ъ = 0 мы выбрали условие заданного на поверхности океана потока плот­ ности. Такое условие выбрано только ради простоты и определен­ ности. Все последующие результаты легко обобщаются на тот слу­

чай, когда либо задано более простое условие

р = р при z = О,

либо более сложное

= а (р р) при z = О,

где а и р — заданные функции координат и времени.

Докажем теперь единственность решения задачи (2.4), (2.5). С этой целью, как обычно, предположим существование по крайней мере двух различных решений системы уравнений (2.4), удовлетво­ ряющих одним и тем же граничным условиям. Составим разность таких решений. Тогда разность будет удовлетворять системе (2.4) и однородным граничным условиям (2.5). Построим теперь квадра­ тичный функционал. Для этого уравнения системы (2.4) умножим

С помощью формулы Гаусса—Остроградского и при учете гра­ ничных условий

врdz — 0, w — 0 при z = 0,

D

Отсюда, а также принимая во внимание граничные условия, следует, что для разностей компонентов решения имеют место следующие тождественные для всей области D равенства:

101

Что касается давления, то оно, как и плотность, определяется с точ­

Таким образом, единственность решения задачи (2.4), (2.5) в ука­ занной системе доказана.

Переходим к формулировке модели динамики с явным выделением баротропной составляющей. Для этой цели решение системы урав­

Соотношения (2.12) подставим в (2.4) и результат проинтегри­ руем по всей глубине океана, используя граничные условия (2.5). Тогда для баротропной составляющей решения получим систему

102

Система уравнений (2.14) незамкнутая, поскольку в нее входят величины р ' .

Для получения уравнений бароклинной составляющей решения выражения (2.12) снова подставим в систему (2.4) и для исключения баротропных составляющих течения и р0 воспользуемся получен­ ными уравнениями (2.14). Тогда приходим к следующей системе

больше, чем требуется. Однако следует помнить, что дополнитель­ ное условие для р' является естественным условием для данной постановки задачи.

Системе уравнений (2.16) придадим более удобный для решения вид. С этой целью с помощью уравнений статики и неразрывности

Ог

Спомощью соотношений (2.18) систему уравнений (2.16) преобразуем

к виду:

103

при условии

у при z = 0,

(2.20)

Кстати, необходимо отметить, что на основе специального пред­ ставления р в форме (2.12) следует, что

Этот вывод может иметь важное значение для рассмотрения других постановок задач динамики океана.

Далее рассмотрим задачу (2.14), (2.15). Она имеет только три­ виальное решение при любых jo'. Покажем это, предположив до­ статочную гладкость решения задачи и входных данных. С этой

целью первое из уравнений системы (2.14) умножим на и, второе на у. Результат сложим и проинтегрируем по всей области опреде­ ления решения, которую обозначим s. Тогда приходим к выражению

где использовано обозначение

н

о

Второй интеграл в (2.22) преобразуем, записав в форме

а

Первый интеграл в правой части (2.23) равен нулю вследствие фор­ мулы Грина

а второй интеграл в (2.23) равен нулю вследствие уравнения нераз­ рывности

104

Из соотношения (2.24), а также из граничных условий на а сле­ дует, что

и = 0, V = 0,

а из уравнений (2.14)

р = р0 + р" = const.

Поскольку в наши уравнения р входит только через производные, то константа оказывается несущественной и ее можно положить равной нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что в данной модельной постановке задачи баротропная составляющая динамики океана отсутствует.

Докажем теперь единственность решения задачи (2.16), (2.17) пли эквивалентной ей задачи (2.19), (2.20). Для этого необходимо показать, что при у = 0, например, задача (2.16), (2.17) имеет только тривиальное решение. В самом деле, уравнения системы (2.16)

и проинтегрируем по всей области определения решения D. Полу­ ченные интегралы преобразуем с помощью теоремы Гаусса—Остро­ градского и используем однородные граничные условия. Тогда получим

и используем тот факт, что компоненты u', v' и w' удовлетворяют уравнению неразрывности. В результате подстановки (2.28) в (2.26)

105

с учетом формулы Гаусса—Остроградского и однородных граничных условий на ст, а также с учетом того факта, что

Переходим к рассмотрению более полной модели динамики оке­ ана, учитывающей силы турбулентного трения в уравнениях дви­ жения. В этом случае задача (2.4), (2.5) переходит в более полную

Существенным отличием данной постановки от простейшей рассмотренной в 4.2, является йаличие в поле течений, описывае­ мых данной моделью, баротропной составляющей. В самом деле, решение системы (3.1) будем искать в виде

и -= и и' ,

V = V -L ѵ",

106

где и, V функции только переменных х и у, описывающие баротропную составляющую поля течений в океане, а величины со штри­ хами — отклонение от баротропной циркуляции. Заметим, что по своему определению имеют место соотношения вида

Для получения уравнений баротропного течения рассмотрим первые два и предпоследнее из уравнений системы (3.1)

Выражения (3.3) подставим в (3.5). Результат проинтегрируем по z в пределах 0 ^ z ^ Я, используя условия (3.4) и граничные соот­ ношения (3.6). В результате будем иметь

Здесь штрихами отмечены компоненты вектора скорости, принадле­

107

Теперь, в отличие от предыдущей модели, задача будет определять

Здесь мы воспользовались тем фактом, что на свободной поверх­ ности океана бароклинная составляющая давления р' = 0, а на дне w' = 0. Как было показано выше, условия w' = 0 и р' = 0 на по­ верхности океана (г = 0) являются эквивалентными. Подставляя выражения (3.11) в систему уравнений (3.9), (3.10), приходим к окон­ чательной форме для линеаризированной задачи динамики бароклинного океана:

108

Принципиальная схема решения задачи (3.7), (3.7') и (3.9), (3.10) такова: сначала решается задача для бароклинной составля­ ющей динамики океана (3.9), (3.10), а затем находится баротропная составляющая на основе решения задачи (3.7), (3.7').

Методами, изложенными выше, можно показать, что решение

в предыдущем параграфе модели, баротропная составляющая дина­ мики под влиянием напряжения ветра на свободной границе и тре­ ния о дно здесь будет отлична от нуля. Аналогичным образом дока­ зывается единственность решения бароклинной составляющей ди­ намики, определяемой эквивалентной задачей (3.12), (3.13). Следует только учесть, что при доказательстве единственности последней задачи методами, изложенными выше, мы приходим к квадратичному функционалу

1 1 1 {f1 (grad2 ц' + grad2 ^ + v [ ( ■ ) :2+ (■^ r ) 2] + 7 Г s rad2 P' -

(3.14)

Поскольку имеют место условия (3.4), то выражения в правой части (3.14) обращается в нуль и мы снова приходим к квадратич­ ному функционалу, из которого следует единственность решения бароклинной составляющей решения задачи.

В заключение отметим, что наряду с условиями

и* = 0, г>* = 0 при z = H

109