книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

Граничные условия для сопряженных уравнений сформулируем следующим образом:

Здесь a sd* — заданная функция, которая находится из решения сопряженной задачи (3.7), (3.13), (3.14) для атмосферы. На береговой цилиндрической поверхности поставим условия

Начальными данными для системы (7.5) возьмем

где uj , и? и ö’sj. — пока произвольные функции координат. Естественно, что мы всюду предполагаем выполнение условий

гладкости решений основной и сопряженной задач, аналогично тому, как мы это имели при рассмотрении уравнений динамики атмосферы.

Умножим далее уравнения системы (7.1) соответственно на и*, ѵ*, w*, L р* и ■dg, затем их сложим. После этого умножим

Ррг

Уравнения сопряженной системы (7.5) соответственно на и, v, w, L p и ■Йо и также сложим. Затем результаты вычтем один из

РрГ

Другого и окончательное выражение проинтегрируем по всему фазо­ вому пространству Do X Т, где Do — область, занятая океаном. Тогда с учетом граничных условий получим

p

181

где

182

где

Txz' — Т*хг' ~Ь :г’ > lyz’ - ' y z бтУ* '

■в1' ='& -}-бй.

Здесь для простоты предположим, что ßs = ßs< т- е- Sßs = 0. Учет вариации ößs новых трудностей в рассмотрение не вносит. Услб-1 виями на боковой границе примем

Рр г

задаче, и почленно сложим, а сопряженные уравнения (7.5) умножим

РРг

этих операций вычтем друг из друга и проинтегрируем поflo X Dt. Тогда аналогично предыдущему получим выражение

- C O S L P

Учитывая (7.18), прогностическое выражение (6.14) можно пере­ писать в виде

Формулу (7.19) можно несколько упростить. В самом деле, поскольку отклонения температуры поверхностного слоя трения океана от

183

климатической и отклонения приводного слоя атмосферы над оке­ аном хорошо коррелируют друг с другом, то для простоты их можно считать совпадающими друг с другом, т. е. при z = О положим

бй = бй. Пренебрегая далее отклонением динамики ветровых тече­ ний в океане будем иметь

Распространение пределов интегрирования от нуля до Т на интер­ вал (—оо, Т) не вносит существенных погрешностей, если исходный интервал так велик, что за рассматриваемый отрезок времени началь­ ные данные «затухают» и ими можно пренебречь.

Поскольку здесь рассматриваются вопросы долгосрочного про­ гноза погоды, то такая замена является вполне оправданной. Если величины й* и й-s заранее рассчитаны по климатическим данным, то первый интеграл в правой части (7.20) вычисляется просто. Что касается второго интеграла, то для него величина бй оказывается неизвестной. Ее нужно найти на основе совместного решения уравне­ ний динамики атмосферы и океана.

6.8. ТЕРМ ИЧЕСКОЕ В Л И Я Н И Е КОН ТИН ЕН ТОВ

НА ДО ЛГОСРО ЧН Ы Й ПРОГНОЗ АНОМ АЛИЙ ТЕМ П ЕРА ТУ РЫ

При решении задач прогноза погоды обычно на поверхности Земли ставят условие тепловой изоляции

Это условие удовлетворительно описывает процесс теплообмена в атмосфере, если прогноз погоды дается на короткий срок, когда из-за большой тепловой инерции поверхностного слоя Земли приток тепла из почвы в атмосферу или наоборот оказывается малым. Усло­ вие адиабатичности хорошо выполняется для областей, покрытых снегом. Если мы интересуемся долгосрочным прогнозом погоды на срок от месяца до сезона, то в этом случае Земля уже выступает в качестве активного механизма теплопередачи. Особенно важным является учет теплового режима почвы в глубине континентов, где действие океана ослабевает.

Итак, изучим процесс формирования температурного режима почвы под влиянием заданного потока тепла на поверхности. Пусть й с — относительная температура почвы в точке (х, у , z') и в момент

времени t, отнесенная к средней температуре атмосферы Т, т. е.

Т — Т

Ас

т

184

Ось координат z' здесь направлена от поверхности z = 0 вер­ тикально вниз. В уравнении (8.1) ѵіс — коэффициент теплопровод­

ности почвы, ßc в (8.2) — коэффициент теплопередачи, й — темпе­ ратура поверхности Земли.

В качестве начальных данных примем климатическое значение

Здесь й* — сопряженная функция, являющаяся решением задачи динамики атмосферы, а С — область, занятая континентами.

Здесь Dc — область D, занятая континентами. Используя гранич­ ные условия и начальные данные функции (8.9)^преобразуем к виду

185

то роль начальных данных будет несущественной и вместо соотнощения (8.11) получим

ранее предполагали, что на континенте поставлено условие адиабатичности. Если предположить, что вместо этого имеется условие

где $с — температура поверхности почвы, то, очевидно, в построен­ ных формулах для прогноза средних аномалий температуры конти­ нент будет отличаться от океана только коэффициентом теплопере­ дачи: на поверхности океана его следует взять равным ßs , а на поверхности континентов ßc. В результате основная прогности­ ческая формула (7.20) может быть обобщена и примет вид

и рассчитывается по фактическим отклонениям температуры от климатической 60 как на поверхности океана S , так и на поверхности континента С. Что касается второго слагаемого в правой части (8.14), то оно неизвестно и должно быть найдено в результате совме­ стного решения задачи динамики атмосферы и океана и теплопро­ водности почвы. Этот вопрос будет обсужден в п. 6.9 и 6.10.

Если предположить, что роль последнего слагаемого в правой части (8.14) мала, то, так же как при выводе (7.21), приходим к про­

186

стейшей формуле долгосрочного прогноза средних аномалий темпе­ ратуры

Итак, суммируя все сказанное, можно отметить, что задача долго­ срочного прогноза погоды в основном свелась к расчету специальным образом определенных сопряженных функций для атмосферы, океана и континента и определению вариаций температуры на поверхности океана и континентов и вариации притока тепла в атмосфере.

Взаключение обратим внимание на то, что на континенте и в оке­ ане коэффициент теплопередачи может меняться весьма существенно как за счет динамики ледового покрова в океане, так и за счет снеж­ ного покрова на континентах. Поэтому при выводе формул теории возмущений этот факт должен быть учтен.

Врамках теории малых возмущений в данном случае всюду в фор­

мулах для средних аномалий температуры величины ßgöH и ßcöft нужно заменить на б (ай) и б (асй) соответственно. Например, фор­ мула (8.15) примет вид:

иш

°) =q J dt { J [б (а5й) й* + 6 (ßs0)d£]ÄS+J [6 (асй)й*

в качестве основных параметризаций использовали уравнения тепло­ вого баланса на поверхности океана и континентов. Как известно, формулы теплового баланса достаточно хорошо описывают эффект взаимодействия атмосферы с океаном и континентами с учетом излу­ чения, фазовых превращений водяного пара, ледового покрова океана и др. Именно по этой причине основной вариант теории был рассмотрен в этом простейшем и в основных чертах правильном приближении.

В настоящем параграфе будет построена близкая, но более точная модель, которая снимет некоторые неясности в исходных предполо­ жениях модели теплового баланса. С этой целью будем предполагать, что нам известна температура поверхностного слоя воды в океане и температура земной поверхности на континентах. Располагая этой информацией, сформулируем основные и сопряженные уравне­ ния, соответствующие им граничные условия и начальные данные, которые и позволят сформулировать теорию возмущений.

Итак, рассмотрим систему основных уравнений:

J Au — гру + р Ц - — цр Ан = 0,

^ - + A v + lp u + P — РР Дн = 0,

187

где F — поток излучения через единичную площадку в плоскости (х, у) на уровне z, равный F = S А — В, S — поток коротко­ волновой радиации от солнца, А — поток длинноволновой радиации, направленной вниз, а В — поток длинноволновой радиации, уходя­ щей вверх.

Система сопряженных уравнений для атмосферы имеет вид:

188

где

Начальные данные для сопряженной системы выберем следующие:

Умножим_четвертые уравнения систем (9.1) и (9.4) на RT, а пя-

gT

тые — на ~ ~ у и с помощью обычных преобразований, аналогичных рассмотренным ранее, получим формулу

рО®° т = — f ( и 0и*0 + ѵ0ѵ*0 ^г еТ ö 0Q l ' ) p d D +

Заметим теперь, что на поверхности океана поток тепла в атмо­ сфере связан с потоком тепла в океане и интегральным потоком излу­ чения F следующим соотношением:

189

Напомним, что по определению е = —— — , поэтому после

СрТ dz

интегрирования по частям формула (9.10) примет вид

где индексом Н отмечены величины при z = Н.

Рассмотрим далее систему основных уравнений для океана в пред­ положении, что напряжением ветра на свободной поверхности можно пренебречь. Такое предположение естественно, поскольку в более

190