книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

Для эффективного решения адиабатической задачи о прогнозе метеорологических элементов необходимо выполнить дальнейшие упрощения задачи (1.1)—(1.3). С этой целью от метеорологических величин р, р и Т перейдем к их отклонениям p', р' и Т' по формулам:

Р = Р + Р', Р= Р+ Р \ Т = Т - у г + Г ,

где р (z) и р (z) — функции только высоты z, у = const и Т = const; причем р = RpT. Предполагая далее

- £ - « і , - £ - « і

Р Р Т

и вводя в рассмотрение относительные величины

приходим к следующей системе уравнений:

Здесь проведена частичная линеаризация, отброшены малые члены и, кроме того, в уравнении неразрывности сделано пренебрежение

членом Это последнее предположение гарантирует фильтрацию звуковых волн, малосущественных для динамики атмосферных

— const и у = const для всей атмосферы. Нетрудно видеть, что они

141

Переходим теперь к некоторым преобразованиям системы урав­ нений (1.4). С использованием уравнения неразрывности полную производную от некоторой величины ра, где в качестве а могут быть приняты и, и, V и другие скалярные функции, можно представить в виде

^ T = ^ + d i v Pu a ’ ( 1 J )

где u = ui -\- V] + wk, div (pua) — трехмерная дивергенция от соот­ ветствующего векторного поля.

Систему уравнений (1.4) приведем к виду:

- j f + div ріш — lpv + p -^ - = 0,

^ -- j- d iv puv + lp u + p - ^ - = 0,

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что параметры

Переходим теперь к исследованию сформулированной постановки задачи. С этой целью введем далее в рассмотрение гильбертово про­ странство функций со скалярным произведением

(а, Ь) = 2 fa(i,b(i,dD,

‘ D

где аН) и Ь(і) — компоненты векторных функций а и Ь, и исследуем некоторые свойства оператора задачи (1.8). С этой целью первое из уравнений системы (1.8) умножим на и, второе — на ѵ, третье —

— приближенное выражение для полной энергии системы.

142

Если теперь использовать граничные условия (1.5) и предполо­ жить периодичность решения в плоскостях (х , у), то после интегри­ рования уравнения (1.10) по всему пространству приходим к теореме о сохранении полной энергии системы

задача (1.12), (1.13) допускает существование двух различных реше­ ний {uj, О1!} и {и2, ѵ2, 0 2}- Составим разность решений и получим

u = u1 — u2t ѵ = ѵг— ѵ2, O’ = 0'1—02-

Очевидно, что в силу предположения о линейности задачи на интервале tl ^ : t ^ t J +1, разность двух решений также будет удовлетворять линеаризированной системе уравнений (1.8) и гра­ ничным условиям (1.5). Кроме того, разность решений будет удовле­ творять нулевым начальным данным при t — tj.

143

Таким образом, наше допущение о существовании двух различных решений не оправдалось и единственность решения линеаризиро­ ванной задачи доказана.

5 .2 . О БЩ ИЙ МЕТОД РА СЩ ЕП Л ЕН И Я

Переходим к формулировке метода расщепления сформулирован­ ной задачи (1.12)—(1.15). С этой целью введем в рассмотрение векторфункции Ф и F и матрицы А и В соотношениями

Тогда систему уравнений (1.8) запишем в операторной форме

144

Подчеркнем еще раз, что мы использовали здесь упрощение,

предположив, что Т не зависит от z и является средней годовой температурой тропосферы. Это значит, что изменение стандартного давления по высоте полностью определяется изменением стандартной плотности

Р (z) = RTp (z).

Класс функций {Ф}, дифференцируемых по времени, облада­ ющих достаточной гладкостью по пространственным переменным для того, чтобы операторы А на них имели бы смысл, квадратично суммируемых по всей области D и удовлетворяющих требованиям периодичности и (1.13), составит область определения оператора А.

Введем в рассмотрение скалярное произведение векторных функ­ ций

(а, 6) = 2 \ a (i}ba4 D ,

< D

где индекс і изменяется в пределах 1 ^ і ^ 5. Тогда на функциях Ф, принадлежащих области определения оператора А, имеет место соотношение определенности в виде

С учетом этого равенства из уравнения (2.1) следует

4 4 ( 5 Ф , Ф) = 0,

Отсюда следует закон сохранения для любых моментов времени

Тогда имеем

и на интервале ^: sg t sg tj +1

В^ + АгФз = 0,

Здесь задачи (2.6) и (2.8) описывают перенос субстанций вдоль

В покомпонентном виде мы будем иметь задачу (2.6) на интервале tj- 1 * sS

divpu^u1= 0,

146

Следует помнить, что решение задачи (2.1) является по пред­ положению периодическим, что позволяет эту задачу рассматривать без специального изучения проблемы граничных (по х, у) условий. Если на границе рассматриваемой области ставятся определенные условия, не являющиеся условиями периодичности решения, то при постановке задачи и формировании алгоритма следует поступать так же, как в задаче динамики океана.

Далее, так же как и в предыдущей главе, наша задача может быть сведена к эволюционной, и это обстоятельство позволяет теоре­ тически обосновать используемые методы расщепления на основе теории, изложенной в гл. 2.

Введем в рассмотрение скалярное произведение

Индекс h у векторов означает, что компоненты представляют собой векторы с составляющими в точках (к, I, т). Тогда с учетом условий периодичности решений и (2.13) нетрудно получить

Отсюда следует выполнение закона сохранения в разностной форме

149

Из решения задачи (3.9), (3.10) выделим наиболее неприятную баротропную составляющую и решение представим в виде суммы

Здесь мы снова пришли к форме записи в виде исходной системы

(3.4).

Уравнения (3.12) запишем в разностном виде по времени на основе схемы Кранка — Николсона

иІ+1~ и- - lv>+ R f VW = 0,

150