книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

атмосферы и океана с учетом теплопередачи на континентах. В ре­ зультате решения этих задач на интервале tm sg t ^ Т получим не­ достающую информацию о полях и, ѵ (а следовательно, и w) на всех Уровнях атмосферы, температуре поверхности Земли й и лучистом потоке F о, с помощью которой получим необходимые для расчета отклонения метеорологических элементов и операторов от клима­ тических.

Используя климатические значения и, v, w, с помощью рассчи­ танных климатических значений сопряженной функции й* на по­ верхности океана и континентов решим климатические сопряженные задачи для океана и континентов. Следующий этап состоит в расчете

величины б (р й с° ) по формуле (11.5) (и (11.9) для отклонения

\Т~ т )

вертикальной скорости) с использованием для этой цели фактически наблюденной информации об отклонениях метеорологических эле­

построена в предположении малых возмущений, то контрольный расчет должен быть проведен на основе более полной теории возму­ щений, которая учитывает также и вариации операторов бАи', бЛі/ и бЛй' по отношению к климатическим значениям. В этом слу­ чае, как нетрудно проверить, формула (11.5) переходит в более точ­ ную

ском значении оператора Л, а соответствующие функции в формуле (12.2) суть решение задачи (10.1)—(10.3) также при климатическом значении оператора Л. Поскольку поля сопряженных функций ме­ няются во времени слабо (примерно с таким же темпом, что и климат),

то это позволяет величины бЛи', бЛ к', бАй', бй и 8F в формулах (12.1), (12.2) предварительно осреднять по выбранному ранее стан­ дартному пространственно-временному масштабу и отнести их к цент­ ральным «точкам» областей и времен. Далее с помощью простейших квадратных формул найдем реализацию интегралов в рассматривае­ мых формулах.

201

Одним из этапов решения задачи долгосрочного прогноза анома­ лий температуры и отклонений вертикальной скорости от нормы является совместное решение уравнений динамики атмосферы и оке­ ана и уравнения теплопроводности в почве на континентах в интер­ вал времени tm sg t ^ Т. Вклад возмущений полей на этом интервале, как правило, оказывается сравнительно небольшим, поскольку мы уже учли основной эффект за счет выноса тепла из океана и конти­ нентов, аккумулированного в течение интервала времени —°о <Д < < tm. Это было сделано, как мы помним, ценой предположения, что на интервале tm ^ t ^ Т температурные возмущения на поверхно­ сти Земли отсутствуют. На самом деле, отклонения температуры от климатических значений имеют место, но они априори нам не­ известны. Тем не менее указанные предположения позволили полу­ чить простейшие прогностические формулы с использованием только фактической информации о полях метеорологических элементов при t С tm (см. формулы (7.20), (8.15), (9.27), (10.7) и (11.5)).

При более точном подходе к долгосрочному прогнозу на интервале tm sg t Т, как было отмечено выше, необходимо решить задачу прогноза с учетом взаимодействия атмосферы с океаном и поверх­ ностным слоем континентов. Существенной особенностью таких задач является их фоновый характер, поскольку на длительный срок нас будут интересовать осредненные характеристики метеорологи­ ческих и океанографических величин. Поэтому пространственно-вре­ менной масштаб осреднения мы выберем таким же, как и для сопря­ женных уравнений, т. е. по пространству это будет квадрат 500 X X 500 км, а временной интервал — порядка недели. При указанном подходе необходимо подготовить для расчета начальные данные в ат­ мосфере, осреднив их по области характерных масштабов. По от­ ношению к океанам и континентам предположим, что начальные данные для них получены именно с таким пространственно-времен­ ным осреднением на основе решения соответствующих задач без начальных данных и с заданными при z = 0 граничными значениями температуры и другой информации в соответствии с постановкой

ф - + Аѵ + І р и + р ^ рр Аѵ = 0.

р - £ - * р * = ° .

202

где символом < > отмечены функции, осредненные по простран­ ству и времени в соответствии с принятыми пространственно-вре­ менными масштабами.

Для океана

ди

dt ~ lv + ^ i ~ V s Aw = 0,

чета формирования начальных физических полей на интервале времени —00 < t < tm при осредненных вариациях температуры на поверх­ ности океана.

Здесь, так же как и при рассмотрении задачи динамики океана, <Cftc> является результатом предварительного решения задачи те­ плопроводности в почве при заданных в интервале —00 на поверхности почвы осредненных вариациях температуры.

203

К системе граничных условий необходимо еще добавить условия периодичности решения задачи динамики атмосферы по простран­

необходимые для решения уравнений динамики океана. Предположим, что решение сформулированной задачи на интер­

вале времени tm t Т найдено. Тогда, пользуясь этим решением, можно получить все необходимые функционалы задач: среднюю ано­ малию температуры по различным регионам, среднее отклонение вер­ тикальной скорости по отношению к климатической норме и т. д.

Однако таким образом полученное решение должно быть прове­ рено, поскольку применяемые нами математические модели и методы решения являются приближенными и могут быть связаны с более или менее существенными погрешностями. Такая проверка результа­ тов может быть проведена на основе методов теории возмущений, которые в значительной степени используют фактическую информа­ цию, не зависящую ни от модели расчета, ни от методов решения за­ дачи. Так, для аномалии средней температуры мы получим формулу, аналогичную (11.4),

204

и для среднего отклонения вертикальной скорости — формулу, ана­ логичную (13.9),

Здесь для простоты мы пренебрегли вариациями лучистого потока, хотя их учет не вносит новых трудностей. Несмотря на то что правые части формул (13.9), (13.10) формально совпадают друг с другом, однако они по существу различаются своими сопряженными функ­ циями, которые определяются соответствующими функционалами задач.

Следует подчеркнуть, что в формулах (13.9), (13.10) отсутствуют величины, которые связаны с йд и й£ и входят существенными ком­ понентами в формулы (11.2) и (11.4). Это связано с тем, что они опи­ сывали передачу тепла из области океана и континентов на интервале tm ^ t sg Т, аккумулированного в моменты времени, предшеству­ ющие tm. В наших формулах (13.9) и (13.10) эти эффекты учитываются при совместном решении задач динамики атмосферы и океана при заданных начальных (при t = tm) условиях. Именно начальные усло­ вия являются главным носителем информации о термическом состоя­ нии океана и континентов за счет адаптации с атмосферой в предше­ ствующие моменты времени.

6.14. О ПОСТР

М АТЕМ АТИЧЕСКИХ М ОДЕЛЕЙ

В настоящем параграфе подведем краткий итог наших исследо­ ваний по использованию сопряженных уравнений в целях прогноза погоды.

Отметим, во-первых, что сопряженные уравнения позволяют построить формулу теории возмущений и оценить область зависимо­ сти решения задачи прогноза погоды для той или иной модели; во-вторых, что прогноз на основе формул теории возмущений не ис­ ключает необходимости решения задачи прогноза погоды в интервале

формулах теории возмущений, оказывается значительно более пред­

димая информация восстанавливается с помощью решения прогно­ стической задачи и соответствующей ей сопряженной, но и на точных сведениях о полях метеорологических элементов в интервале вре­ мени — оо <; t < 0, которые должны быть получены из наблюдений.

Распространение в формулах теории возмущений пределов ин­ тегрирования по t до t ~ — оо эквивалентно тому, что начальные при t = 0 значения полей метеорологических элементов, необходимые

205

Г л а в а 7

ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДОЛГОСРОЧНОГО ПРОГНОЗА ПОГОДЫ И ЦИРКУЛЯЦИЙ В ОКЕАНЕ

/

В настоящей главе будут рассмотрены алгоритмы совместного решения задач прогноза погоды и динамики океана. Их основная особенность состоит в долговременном интегрировании систем соот­ ветствующих уравнений.

Поскольку в проблемах долгосрочного прогноза погоды в атмо­ сфере и циркуляций в океане турбулентный обмен становится уже существенным фактором динамики процессов, то законы сохранения

тепла.

Естественно, что методы решения нестационарных задач, рас­ смотренные выше, для целей краткосрочного прогноза процессов

ватмосфере и океане, также могут быть применены для описания

идолговременных эволюций. Однако это потребовало бы затраты на решение задач большого количества машинного времени во имя получения деталей, которые, в сущности, для долгосрочного прог­ ноза оказываются малосущественными.

Именно это обстоятельство побуждает нас к построению численных алгоритмов решения задач, которые с достаточной точностью описы­ вают динамику наиболее крупномасштабных процессов в атмосфере

иокеане, фильтруя несущественные флуктуации. Поэтому в настоя­ щей главе основное внимание будет уделено радиационным прито­ кам тепла, описанию процессов турбулентной диффузии и построе­ нию разностных аналогов задач динамики атмосферы и океана на основе схем «естественного фильтра».

Предполагается, что методологической основой долгосрочного прогноза является теория сопряженных функций. Что касается ал­ горитмов, изучаемых в настоящей главе, то они лишь помогают получить необходимую информацию для реализации рассмотренных

впредыдущей главе алгоритмов.

207

ИДО ЛГОСРОЧНЫ Й П РОГНО З погоды

ИЦ И Р К У Л Я Ц И И ОКЕА НА

Вп. 6.9 было показано, что долгосрочный прогноз аномалий тем­ пературы и осадков для больших регионов Земли существенно за­ висит от вариаций полного потока радиации (по отношению к кли­ мату) на поверхности океана. Океан аккумулирует солнечную энер­ гию, трансформирует ее в энергию длинноволнового диапазона и рас­ ходует на подогревание атмосферы и деятельного слоя океана. По­ скольку тепловая инерция океана достаточно велика, то аккумули­ рованное тепло в одних областях Мирового океана в результате макромасштабной диффузии, адвекции и конвекции переносится в другие области и передается в конечном итоге атмосфере с помощью теплового излучения и теплопроводности. Таким образом, основная задача долгосрочного прогноза состоит в накоплении информации о радиационном поле на поверхности океана и использовании этой информации в качестве входной при совместном решении уравнений динамики атмосферы и океана.

Поскольку нашей основной задачей здесь является выяснение принципиальных вопросов теории, то мы ограничимся наиболее про­ стыми моделями переноса радиации. Обобщение результатов на более сложные и физически полные модели не внесет новых затруднений.

Итак, рассмотрим модель переноса радиации Шварцшильда — Эмдена, которая приводит к системе уравнений

( U )

Здесь А[ — потоки падающей сверху длинноволновой радиации для разных совокупностей спектра, Bt — соответствующие потоки длин­ новолновой радиации, уходящей вверх, S t — потоки солнечной ра­ диации, Е = аТ4, Т — температура, о — постоянная Больцмана, ct(-, ß; — коэффициенты поглощения радиации данного спектрального состава, \ — угол между направлением на Солнце и осью z.

К системе уравнений (1.1) . присоединим граничные условия

А[ = 0 при z = оо,

Ві = ЦіЕ0 при z = О,

208

где у\і и у{ — доли длинноволновой и солнечной радиации в рассмат­ риваемых спектральных совокупностях с учетом нормировок

2 ^ = 1, 2 ^ = 1-

ІІ

Здесь мы не учитываем альбедо от поверхности океана и облаков. Такой учет можно было бы осуществить элементарно.

Решение задач (1.1) — (1.2) имеет вид:

оо

Формулу (1.5) несколько упростим, принимая для функции Е некоторое стандартное по высоте распределение, т. е.

E(z)=p(z)E0. (1.7)

В простейшем случае, когда температура воздуха падает с высо­ той по линейному закону

T (z)= T 0- y z ,

нетрудно установить, что приближенное выражение для р (z) имеет вид

Подставляя (1.7) в (1.5), приходим к выражению

Величины а и ■а могут быть затабулированы.

Вычисление такого потока излучения на поверхности океана усложняется в том случае, когда над океаном имеется облачность. Именно облачность, как показал Ш. А. Мусаелян, является тем наиболее существенным параметром задачи, который создает резкие неоднородности потока излучения в разных акваториях Мирового океана, а следовательно, термическую его неоднородность. По­ скольку нас будет интересовать влияние неоднородностей радиа­ ционного поля для целей долгосрочного прогноза погоды, то мы не будем стремиться к его детальному описанию.

Будем считать, что в качестве нижней границы облачности при­ нимается ее статистическая граница, осредненная по всему многооб­ разию облачных систем. Пусть она равна h. Далее предположим, что облачность не пропускает солнечную радиацию и нижняя ее грань является излучателем длинноволновой радиации, соответствующей

210