книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

где

Здесь мы воспользовались тем, что и к ѵ удовлетворяют уравнению

и времени. Это предположение может быть теперь снято. В самом деле, предположим, что мы имеем дело с квазилинейной системой

и нашли решение этой системы при условии периодичности на гра­ нице с учетом начальных данных

Полученные при решении этой задачи функции и м ѵ будем рас­ сматривать в качестве коэффициентов в операторах А и А*. В резуль­ тате будем иметь

где Л теперь оператор вида

Наряду с задачей (1.6) введем в рассмотрение сопряженную задачу

Умножим далее уравнение (1.10) скалярно на <р*, уравнение (1.11) на ер и результат вычтем. Тогда приходим к уравнению

Это условие нам пригодится в дальнейшем. А пока перепишем его в покомпонентной форме

Следует отметить, что если в качестве и£ и ѵ? выбрать ит и ѵт, то мы приходим к закону сохранения кинетической энергии:

I E TdD — J E0dD.

D , D

В этом случае имеет место полная обратимость решения. Это значит, что, решив задачу (1.6), (1.7) и положив и? = ит, = ѵт, можно решить задачу (1.8), (1.9) в обратном направлении (по времени).

Врезультате приходим к тем же решениям основной системы, что

ипри решении основной задачи.

462

В заключение покажем, что для наших исследований иногда предпочтительно пользоваться более общим фазовым пространством D X Dt со скалярным произведением

Введем в рассмотрение операторы

М = В ± + А

И

М* = —в 4~ — а ,

dt

Тогда нетрудно проверить, что имеет место соотношение

(Мф, ф*Ьхи<= (ф. ^ Ѵ Ь х г , - (£фг> Фг)и + (-Вфо, ФоЬ- (1-15)

Учитывая равенство (1.13), окончательно имеем

где

М * = — Af.

Переходим теперь к рассмотрению системы основных уравнений с вязкостью, т. е. пусть имеем уравнения

и в предположении о периодическом характере решений. Тогда методом, изложенным выше, полагая

А = и дх

задач. Это связано с наличием в уравнениях сил вязкости. Смысл

A6 = divpu6.

164

Введем далее в рассмотрение вектор-функцию ф — решение задачи и матрицы

Здесь предполагается, что решение принадлежит гильбертову под­ пространству абсолютно непрерывных и дифференциальных функ­ ций, удовлетворяющих граничным условиям (2.2) и предположе­ нию о периодичности. Скалярное произведение введем соотношением

(g, h)D = 1i \gfiidD . i=1 п

Рассмотрим оператор А и найдем ему сопряженный с помощью тождества Лагранжа. В результате выкладок, аналогичных рас­ смотренным выше в п. 6.1, получим

165

При построении сопряженного оператора мы воспользовались легко проверяемым фактом, что имеет место соотношение

I (и* div puu -ф- V * div pun + w* div puu?) dD =

D

= — f (u div ріш* 4- и div puy* -j- w div puty*) dD.

D

Это соотношение справедливо при выполнении нескольких условий, а именно предположения, что

divpu = О,

divpu* =0;

требования, чтобы компоненты решения ф* удовлетворяли условиям гладкости, предельным соотношениям

рW* = 0 при z = 0,

и, наконец, условиям периодичности решений в плоскости (х, у). Мы видим, что в этом случае имеет место соотношение

Таким образом, оператор А является кцсосимметричным. Нашей задачей является построение сопряженных уравнений, соответству­ ющих эволюционным задачам. С этой целью наряду с (2.4) введем в рассмотрение сопряженную задачу

Для нее, как нетрудно убедиться, будем иметь тождество, ана­ логичное (1.13), однако уже для нового пятимерного фазового пространства

которое в развернутой форме имеет вид

166

Эта формула указывает на связь между температурой в заданной точке пространства в момент времени t = Т и начальным (при t = 0) состоянием атмосферы. Напомним, что в формуле (2.12) и о, ѵо и O’,, заданы в начальный момент времени, а uj, Dq, — решения сопря­ женных уравнений при условии (2.11).

6.3. БАРОКЛИННАЯ МОДЕЛЬ АТМОСФЕРЫ В НЕАДИАБАТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассмотрим более полную систему уравнений динамики атмо­ сферы с учетом турбулентного обмена и заданными источниками тепла. Тогда будем иметь

Вкачестве граничных условий рассмотрим следующие:

-|^- = a s (d — 'ö’), pw —0 при z = 0,

<72

167

Здесь as — коэффициент теплопередачи, который временно пред­

положим равным нулю на суше и на полярных льдах, а # — темпе­ ратура поверхностного слоя океана, которая предполагается в дан­ ной модели известной.

На границе области в плоскости (х, у) ставится условие пери­ одичности решения.

Предполагается, что решение имеет абсолютно непрерывные производные первого порядка от и, ѵ и ■ö по времени и второго по­ рядка по всем пространственным переменным. Введем в рассмотрение матричный оператор

и вектор

и

V

Ф = W .

ф

й

Тогда приходим к задаче

168

и сформулируем следующую задачу:

при этом компоненты вектор-функции ф* удовлетворяют требованиям гладкости, условиям периодичности на границе области и условиям

д Ф*

asft*, рw* О при z = О,

dz

Уравнение (3.4) скалярно умножим на ф*, а уравнение (3.5) — на ф, проинтегрируем по времени в пределах от 0 до Т и результат вычтем Друг из друга. Тогда в покомпонентной форме приходим к соотно­

шению

169

Предположим, что нас интересует прогноз среднего поля темпе­ ратуры по области G {х, у £ а, Os ^ z s ^ k ) . Тогда «начальные» для сопряженных уравнений условия выберем в виде

где X — совокупность координат (х , г/, z).

Введем в рассмотрение обозначение для средней по области G аномалии температуры в момент времени t = Т:

— J рb TdD =рйу.

свелась к решению сопряженной задачи (3.7), (3.8) при условии

(3.11).

В настоящем параграфе была построена теория возмущений при специальном задании начальных условий для системы сопряженных уравнений и при однородных граничных условиях. Покажем, что возможны и другие постановки задач для системы сопряженных уравнений, которые приводят к формулам теории возмущений, удобным для практического использования. В самом деле, рассмо­ трим систему уравнений (3.1) вместе с граничными условиями (3.2) и начальными данными (3.3). Рассмотрим далее сопряженную систему уравнений (3.7).

Граничные условия для системы (3.7) определим следующим

где /* (X, у, t) зададим в форме

/* = б(t — Т), если (х, у) € G0,

/* = 0, вне указанной области.

Здесь G0 — некоторая область на поверхности Земли, где требуется дать прогноз средней аномалии температуры.

170