книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

Заметим, что для ^ мы использовали разложения

После того как величины а)/-1' 2 найдены, подсчитываются все необходимые компоненты решения задачи адаптации.

Если мы хотим решение задачи проводить с большим временным шагом т (порядка нескольких часов или суток), то в этом случае алгоритм расщепления уравнений адаптации должен быть заменен прямым решением разностной задачи адаптации на основе итера­ ционных методов. Этот алгоритм мы рассмотрим на примере уравне­ ний прогноза погоды в следующей главе.

3.7. В Ы БО Р ПАРАМ ЕТРОВ АПП РОКСИМ А Ц ИИ В ПРОСТЕЙШ ЕЙ М ОДЕЛИ

Параметры аппроксимации т, Ах, Ар и Az в задаче динамики океана (по крайней мере для равномерной сетки) необходимо выбрать так, чтобы обеспечить требуемую точность в решении не только по по­ рядку величины погрешности, но и по абсолютной величине. Как неоднократно отмечалось выше, изложенный вычислительный алго­ ритм позволяет получить решение задачи с точностью до величины второго порядка по т и Ах, Ау, Az. Поскольку, однако, эти параметры размерны, то из данного утверждения только следует, что при т -> О, Ах 0, Ау 0 и Az -*■ 0 погрешность будет убывать квадратично. Однако для целей практических вычислений необходимо иметь такой алгоритм выбора указанных параметров, чтобы обеспечить необходимую точность в решении задачи. Известно, что наибольшая точность в решении задачи нужна на этапе рассмотрения уравнений адаптации, поскольку эти уравнения описывают быстропротекающие процессы типа внутренних гравитационных волн.

Вопрос аппроксимации в такой трактовке легче всего решается на основе изучения модельных задач, одну из которых мы и рас­ смотрим ниже.

Предположим, что область D представляет собой параллелепи­

где dD™ — совокупность точек при фиксировании у = Уі, а dD ^ — при X = х к .

91

Y I — УI Sin — ~ -

тде ß*' и уI- — нормированные константы.

Тогда решение системы уравнений адаптации (5.1) и расщеплен­ ных систем будем искать в виде рядов Фурье следующей конструк­

Здесь n — обобщенный индекс суммирования, сводящий сумми­ рование по трем индексам к одному.

Соотношения (7.3)—(7.4) подставим в уравнение (5.1) и после

•очевидных операций приходим к уравнениям для коэффициентов Фурье:

92

Здесь мы отбросили индекс п как несущественный и положили 1 = 0, поскольку движения, порождаемые силой Кориолиса, имеют зна­ чительно больший характерный масштаб времени, чем масштаб времени для внутренних гравитационных волн. Это значит, что при хорошей аппроксимации (во времени) бароклинных эффектов, урав­

нения движения с учетом сил Кориолиса будут описаны еще более точно.

*

Это значит, что для р имеем начальные данные:

Следуя схеме расщепления (6.8)—(6.9) и (6.10)—(6.11), мы при­

93

Эти уравнения необходимо решить при условиях (7.8). В результате будем иметь

функцией (7.10). Это выражение и будет характеризовать меру отно­ сительной ошибки в решении. Очевидно, близость приближенного решения (7.13), полученного с помощью метода расщепления, к точ­ ному (7.10) будет зависеть от малости безразмерных параметров

Предположим, что эти параметры достаточно малы. Тогда выражение

мере с точностью до величин второго порядка включительно по от­

FА Р

—скорость распространения бароклинных волн.

94

Таким образом, на основе простейшей модели мы приходим к об­ основанию метода расщепления и одновременно получаем практиче­ ский критерий для выбора временного интервала т при решении задач динамики океана. Таким критерием может быть выбран, на­ пример,

Для оценок априори необходимо определить характерный размер явлений по координатам х, у, z, которые описываются с помощью математической модели. Этим характерным возмущениям необходимо сопоставить собственные числа Я, р, ѵ спектральной проблемы и за­ тем с помощью неравенства (7.16) (где величина 1/5, конечно, стоит условно!) определить величину т, которая обеспечит необходимую точность в результате. Что касается устойчивости, то она гаранти­ руется при любом шаге т.

Отсюда и из соотношения (7.16) следует вывод о целесообразности выбора параметра т, примерно равного 1 часу. Хотя наши выводы относятся к сильно упрощенной модели, однако они могут быть использованы и для более полных расчетных схем. Важно отметить, что временной интервал порядка 1 часа является приемлемым для достижения требуемой точности и он соответствует реальным воз­ можностям современных ЭВМ. В заключение отметим, что такой интервал оказалось возможным выбрать только благодаря тому, что из нашего решения исключена баротропная составляющая, требующая при своем решении временной интервал на два порядка меньший, чем допускаемый равенством (7.16).

95

априорно предполагалась. Однако наряду с этими вполне естествен­ ными требованиями постановки задачи делалось еще одно весьма существенное предположение, а именно, что коэффициенты и1, V1и wi в уравнениях (2.1) известны. Хотя, строго говоря, они должны быть получены в процессе решения изучаемой задачи. Кроме того, мы предположили, что указанные коэффициенты должны удовлет­ ворять уравнению неразрывности

Все это требует такой организации вычислительного алгоритма, которая не нарушила бы рассмотренной конструкции вычислитель­ ного процесса и основных теоретических выводов.

С этой точки зрения принципиальным является тот факт, что ука­ занные коэффициенты должны обладать порядком аппроксимации по т не ниже, чем первым. Тогда сформулированный алгоритм при­ водит к решению задачи со вторым порядком точности по времени.

Имея это в виду, а также учитывая априорное требование (8.1), предлагается следующая организация алгоритма.

Сначала на интервале tj _1 ^ t ^ t} решаются уравнения пере­ носа субстанции (2.14)—(2.16), где под знаком дивергенции вместо неизвестного вектора іД берется и^~2, который использовался при решении уравнений динамики на предыдущем временном интервале tj_з t sg tj _1. Как нетрудно убедиться, такая замена обеспе­ чивает первый порядок точности в решении уравнений движения.

После того как уравнения переноса с помощью разработанного выше численного алгоритма решены, находятся компоненты и[, ѵ{, Т[, S{. Эти данные должны быть теперь в качестве начальных при t = tj_ 1 для решения задачи адаптации (2.17) — (2.20) с учетом выделения баротропной составляющей динамики. При этом пред­ полагается сначала решить задачу (6.1), далее решить последова­ тельно задачи (6.7), (6.8) — (6.9) и (6.10)—(6.11).

Для и1, V' и W* примем следующие аппроксимации:

7,1+1 + Н;/‘-1

к'-1/’

ѵі+14- у/-

Эти выражения можно принять за d , iß и vß. Поскольку на них за­

96

решений в моменты времени tJ- 1 и tj+1, в сущности говоря, мы свели решение уравнения адаптации также к исходному интервалу

Нетрудно проверить, что полученные компоненты векторов и ' удовлетворяют уравнению неразрывности, а это необходимое усло­ вие для организации численного алгоритма.

После того, как коэффициенты и', г/, wl найдены, можно пере­ ходить к уточненному решению задачи динамики снова на времен­ ном интервале t,-_1 ^ t sg £•+1. Хотя такой алгоритм требует уве­ личения вычислительной работы примерно в полтора раза в срав­ нении с последовательным счетом, зато он обеспечивает необходи­ мую точность в расчетах.

В заключение отметим, что разработанный алгоритм допускает почти очевидные обобщения на многие задачи океанографии. В част­ ности, таким образом могут быть решены задачи динамики с учетом тУРбулентной вязкости, задачи приливов и др.

< Заказ 674

Г л а в а 4

СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ОКЕАНА

При решении задачи прогноза океанических течений весьма остро стоит вопрос о начальных данных, которые для Мирового океана практически всегда остаются неизвестными. В самом деле, элементарный масштабный анализ показывает, что если для прог­ ноза погоды требуется разрешение в начальных данных порядка 300 км, то для прогноза океанических течений разрешение жела­ тельно иметь порядка 100 км. Между тем сеть гидрологических станций в Мировом океане так редка, что прямые наблюдения в на­ стоящее время не могут обеспечить информацию о «начальном» поле гидрологических элементов в океане. Возникает вопрос о том, име­ ются ли вообще принципиальные возможности определения началь­ ных полей гидродинамическими методами. На этот вопрос мы отве­ чаем утвердительно. Однако он требует некоторого пояснения, которое мы дадим ниже.

Для того чтобы говорить о начальных полях, необходимо прежде всего дать определение тем океанографическим процессам, которые мы предполагаем прогнозировать. Поскольку нашей основной за­ дачей будет прогноз погоды и течений в Мировом океане на срок порядка трех-четырех недель, то естественно предположить, что начальные поля для таких процессов будут формироваться погод­ ными условиями и прежде всего ветровым и термическим режимом на уровне океана за период порядка месяца. Об этом, в частности, свидетельствует время релаксации процессов в формировании воз­ мущений главного термоклина. Поскольку мы не располагаем ни­ какой другой информацией за срок, предшествующий прогнозу погоды и течений, кроме информации о полях гидрометеорологиче­ ских элементов, то естественно использовать ее для решения задачи о формировании под влиянием погодных условий в атмосфере полей течений и плотности в верхних слоях океана, ответственных за взаимодействие атмосферы и океана. С этой целью требуется решить, вообще говоря, две задачи. Сначала необходимо решить задачу о стационарном (климатическом) состоянии океана и затем, выбирая в качестве «начального» каждый раз климатическое состояние и пользуясь фактическими данными о погодных условиях вблизи

98

поверхности океана, находить решение задачи о возмущении в океа­ нических циркуляциях под влиянием конкретных метеорологиче­ ских ситуаций в атмосфере в течение более или менее длительного периода времени. Построенные поля гидрофизических элементов с учетом реальных возмущений метеорологических процессов в ат­ мосфере могут быть использованы в качестве начальных при решении задачи прогноза погоды в атмосфере и циркуляции в океане.

ПОСТАНОВКА ЗА ДА ЧИ О КЛИ М А ТИ ЧЕСКО М СОСТОЯНИИ ОКЕА НА

Приступаем к формулировке задачи о климатическом состоянии океана под влиянием длительно действующих атмосферных условий, которые будем сначала считать стационарными.

Как известно, климат океана формируется в течение нескольких десятков лет и, начиная с глубины в несколько сотен метров, он практически не зависит от сезонных колебаний циркуляции атмо­ сферы.

Для выяснения основных особенностей циркуляции в бароклинном океане рассмотрим две линеаризированные модели. Первая модель дает представление о стационарном режиме течений и поля плот­ ности в океане под влиянием потока плотности на его свободной поверхности и в отсутствии сил турбулентного трения в уравнениях Эйлера. Вторая модель более полная: она позволяет наряду с полем потока плотности учитывать влияние напряжения ветра на форми­ рование течений.

СТА Ц ИО НА РНЫ Х Т Е Ч Е Н И Й В О КЕА Н Е

Для решения задачи о циркуляции в океане под влиянием ста­ ционарных возмущений потока плотности на его поверхности рас­ смотрим линеаризированную постановку задачи. С этой целью пред­ положим, что основные уравнения динамики бароклинного океана линеаризируются следующим образом:

и= и1,

ѵ= ѵ\ w = w‘,

Р=~Ра+ g p Z + jg T z2-i р',

Здесь ра — атмосферное давление на свободной поверхности океана,

которое ради простоты примем константой, р — средняя по толще океана плотность воды, Г — средний градиент плотности в океане. Штрихами отмечены отклонения соответствующих величин от их

стандартных значений. В указанных предположениях (2.1) линеа­ ризированная система уравнений динамики океана принимает вид:

Для простоты, а также для удобства формулирования граничных условий систему уравнений (2.2) перепишем, используя обозначе­ ния

1

p = -^gTz*-\-p\

Тогда, при переходе от р ' и р ' к новым функциям р и р по формулам (2.3) приходим к следующей задаче:1

г, 9Р

100