Наконец, |
исключим |
из (6.17) величину pkivfc1. Тогда |
приходим |
к системе: |
»Xi |
г |
|
|
|
|
|
,,/+і |
|
|
|
J +1 |
|
|
ик+Ч* ик+'І2 |
■^ f t + V s = |
|
|
|
|
|
- R T h+чЯхЧк+ЧV |
|
|
.J'X |
&4*1 / 2 I |
7 , . / Ы |
iD T7 |
„ + ГГ>/ 'Ы |
|
|
f t+ V г |
|
|
----------- --------------- |
|
Г LU h + 4 z -------- |
R * h + Ч г |
Ѵі/ФА+‘/г> |
|
УхЩ+ЧгЧ VyVh+'l 2 |
-ДгУ Ѵ‘ |
ATfcH-v. |
— | - /U v |
.. (6-!9) |
где оператор Mk+*/t зависит только от индекса к и не зависит от индексов по другим независимым переменным. При этом
М ЧгФ: |
РіГі - Ѵіф-Ь |
|
SiVa — Yl) |
+ с (7 ^ ѵ;г ( ѵ» /.Ѵ ѵ .- ^ - Ѵ іФ - - ^ - - ^ - Ѵ іФ |
ср\Уа ~ Yl) \ |
g |
Az,y2 |
g |
I |
__ |
М и ч и Ф = ------ |
Ѵй+Vi |
pk+4t
Pkxk |
+ сР(уаТ-Ъ ) V ^ v , ~ Ѵ*Ф |
е(Уа~Ук) |
(fc = l, 2, |
m — 2), |
|
Мт-Чгф : |
Pm-iTtn-l |
■Vm-іф + |
|
|
Лп-‘/г Aznt->/t |
ё(Уа-Ут-і) |
|
|
|
|
|
|
+ |
■vm-v. |
+ |
ЛГ2 |
+ |
cp(Ya— Tm-l) \ Azm->/2 £ |
Ѵп*-іФ Ѵт-3/2Ѵ^-8/2 g |
Wi |
(6. 20)
Величину /і+Ѵг определим следующим образом:
|
|
1 |
(CpP^i + TV./^o). |
|
|
f ' h = - = |
|
|
|
срРі/ 2 ^z*/j (Yo |
Yl) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
PkT{ |
|
|
|
|
|
/it- 1/ |
• V h f 1/ « - |
|
|
|
|
|
Рк+Чг |
Ya |
|
|
|
|
|
(Ä=l, 2, |
. . . , i n - 2), |
|
|
|
|
|
_____ 1______ Pm-lTm-i |
|
|
(6. 21) |
|
|
fm-Ч ’ Pm-4*Azm~4* |
Ya“ 7m-1 |
|
|
|
|
|
|
|
Введем теперь в рассмотрение векторы: |
|
|
|
|
ПЧг |
*>*/, |
|
Ф‘/. |
|
|
/■/2 |
и — |
и»и |
ѵЧг |
, ф= |
ФѴ. |
. |
/«= |
/■/. |
, |
V = |
|
|
|
Ищ-1/2 |
Ѵт-Ч, |
|
фm - 4 t |
|
|
fm-Ч t |
и диагональную матрицу М, элементами которой являются опера торы Мй+і/а. Тогда система уравнений (6.19) в векторной форме
примет вид:
ц/+1—цІ
|
------- — “--------Іѵ’^ |
= - В Ѵ +х< р '+ \ |
|
|
т;/+1_ѵ] |
|
|
|
Ѵ ^;>1+ Ѵ^'4"1 = ---7 BMq,+x — -j- p, |
(6.22) |
|
где В — диагональная матрица с элементами і?71й+1/г |
|
|
Введем в рассмотрение спектральную задачу |
|
|
и сопряженную |
Л/(о = |
— Ало |
(6.23) |
|
М*со* - |
—Лео* |
(6.24) |
|
|
|
с условием биортонормирования |
|
|
|
( |
?,<° |
0, g'=f q. |
|
|
Будем предполагать, |
что |
|
|
И = Я 2 и?со9,
|
ф |
|
|
|
|
f = B '£ fq^q, |
|
(6.25) |
где |
|
я |
|
|
ид = (и, |
В^ОУд), |
|
|
|
|
|
|
Ѵ„ = {ѵ, |
В-1®*), |
|
|
|
CPq = ((p, СО*), |
|
|
|
/, = (/, |
^ Ч * )- |
|
(6.26) |
Разложение (6.25) подставим в (6.22) |
и результат умножим на |
В -1Од. Тогда приходим |
к системе уравнений для |
коэффициентов |
Фур ье: |
|
|
|
|
J - 1 — и’ |
|
|
|
u q |
u q |
|
|
|
|
■lv’q+1 = — ѵЗД+1> |
|
ljr1 —l/ |
|
|
|
-±— |
JL + lui+i = -vJ(p/+if |
|
i |
A ? j l q r l -------Ф д ' 1 = - |
“ ■/ а - |
(6.27) |
Решения этой системы уравнений при различных q обсуждаются в дальнейшем.
Переходим теперь к разностной аппроксимации задачи адаптации движений в океане. С целью упрощения будем считать, что нуме
рация уровней ведется от поверхности вниз. Далее, wk |
заменим |
на —шД и Гк — на —ГД. Тогда уравнения адаптации |
океана |
оказываются весьма похожими на уравнения адаптации атмосфер
ных процессов. |
Мы будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і+1 |
—и |
|
|
|
|
|
|
|
|
/+1 |
|
|
|
|
|
|
'fc-ы/, |
Т |
hi-'/г |
|
|
Іѵ'і+1 = |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SfxPh+'h' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vki'U |
|
-Іи’і+1 = —4- ѵір№К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
+ ^yV'kl'h = — 4 Д ,hw’/+і, |
|
(6.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-ä^ —“’i |
ПРИ к = 0’ |
|
|
|
ALj ,„w = \ Vftf’/X ' |
az>/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
при /с= 1, |
2, |
|
. . ., m —2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Äzm-i42 |
- |
при к = т — 1. |
|
Выражения |
для |
u-£+1 |
имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
w |
1+1_ |
Т ' |
I |
|
|
tn'i ы ■ |
|
|
|
|
я / \7tn' /-Ы - |
1 1 |
|
|
7r |
|
|
|
|
тГ( |
|
|
ѴіР |
|
|
|
|
Дг( |
V3/2V3/sVlP |
|
|
|
тГ(сг ’ |
“ |
|
|
|
СрГістр' |
|
|
|
|
|
|
|
vl, |
|
|
|
|
|
V 1 |
— . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ѵ‘/г |
Till |
|
|
|
(6.29) |
|
|
|
|
— —vtv '+1 -!___— T 3 |
|
|
|
|
|
|
|
Л\7.' . |
V li/f' |
|
|
1I |
AЛ?' |
0 |
|
|
IVpP' |
|
|
|
|
|
|
az1/z |
|
|
|
|
|
azv, |
|
|
|
|
|
для к = 2, |
. . ., |
m — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“* 7 |
|
T 'V + |
|
1 1 |
|
|
|
+ - |
^ |
7 |
Vtv’v ^ |
t p ^ |
, |
|
|
|
|
---- тГ1 |
ff- Vm-lP' /hl |
|
|
|
1 |
|
X |
|
|
|
Ti m-1 |
|
T1 m -i^ |
|
|
|
|
срГт _іор Azm_j |
|
|
X |
|
|
т-Ч* |
+ |
|
'Гм |
'm-3/гУт-’/iSJm-lP |
|
(6.29) |
|
|
|
дТТ |
|
Vm-lP |
|
|
|
|
|
|
|
|
Агт - ‘ / г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключим |
и/;+1 |
из (6.28), |
воспользовавшись |
соотношениями |
(6.29). Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/г |
|
/2 I |
|
7. |
1+1 |
|
1 |
|
yypkltf,, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гнйДД = — |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V x U h l w , + V y V h + 4 , = — 4- |
|
|
1+1 — 4- /ft+V,. |
(6-30) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М ч ,р'- |
Дг\/2 |
|
|
|
|
|
|
- діf r , ™ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M h + ' l t P ' = Vft+‘/2( — |
vtp'+ - r!g-, Vft'v'Vft+V.VAP'j» |
|
Mm-i/jf = — Azm-.1/2 |
|
|
— Vm-lP'- |
ср^т-і°Р Azm-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
/71— 1 /2 |
-j- |
л |
I 0 |
_ |
.1. |
j. |
(6.31) |
|
д ~ ' |
V m - l P |
*T" Ѵт _ з / 2у т _ з / 2у т ^ і р |
|
/«
Величина Я+і/2 определяется следующим образом:
/•'/{ = |
Ь ^ г |
[ « № |
■ < * * |
- / ' ’о . |
|
СР А2'/2г і'Р |
|
|
|
|
Дг,', |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т' і |
|
|
|
|
|
|
|
/*+•/,= Vh+Чі ~Т7- |
(* = 1. |
2. . |
т —2), |
|
|
1ft |
|
|
|
|
|
|
|
tm-Ч, |
|
|
1______ 7 щ - 1 |
|
(6.32) |
|
Azm-1/„ Г7П-1 |
|
|
|
|
|
|
В векторно-матричной форме |
систему (6.30) |
представим |
в виде: |
гг' /+1 — u' I |
.іѵ' і+1 = |
_ 4 ѵ+/,'> |
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
гг' /+ 1 — гг' / |
|
|
/ + |
1 = |
------— у у р ’, |
|
|
-)-Z h |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
уЖ Я-1 + |
'/ H1 = |
- |
4- |
/+a - т |
(6.33) |
где ЛГ — диагональная матрица с элементами M h+iu . Как обычно, вводим в рассмотрение спектральную задачу и определяем полу ченные системы собственных элементов и со* операторов М '
и ЛГ*. Представляя решение задач в виде рядов Фурье, приходим к системе уравнений для коэффициентов:
u ^ ~ u ' qi
|
- l V g I+1= - ± y + |
P g i +1, |
|
p |
|
|
Vq,+1— V'gl |
J_ Jjj' i+1 — __ 1 V7+ |
/+1 |
|
I luQ — ----- |
\уРя |
t |
|
p |
|
|
v X ,+1+ S/yv4l+1 |
|
(6.34) |
|
Остается теперь «подправить» |
77, т. е. найти 77+1. С этой цельк> |
|
|
|
h |
z |
Н |
|
рассмотрим в пограничном слое — — ^ |
^ — уравнение |
|
|
|
£ |
|
и |
|
- дТ |
д |
- |
дТ |
(6.35) |
|
СРР ~дГ |
dz |
Vl |
dz |
|
|
Член Tw мы отбрасываем, поскольку он мал. Уравнение (6.35)
аппроксимируем следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
дт0 |
V , /2 |
dT |
|
, |
dT' |
|
|
|
|
dz |
|
’/2 dz |
|
(6.36) |
|
|
|
срР — |
|
Az0 |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
°ppdz- |
|
|
|
|
|
|
|
Az-l/z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А*•/, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C pP A z 0 |
J |
СррГ dz; |
|
(6.37) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Az_i |
|
|
|
|
|
или окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tl+i = T! + T |
|
CpPAzq |
|
|
(6.38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь воспользоваться новой нумерацией узловых |
точек |
в океане, то уравнение (6.38) перепишется в виде |
|
|
|
|
Ц * = Ц + х vv J ~ /7 + vv,v~ //' |
(6.39) |
|
|
|
|
|
|
C pP A Z q |
|
|
|
Здесь |
Ті — значение средней |
температуры пограничных |
слоев |
h |
^ |
JT |
после решения задачи о нестационарной диффузии |
— Y ^ z |
|
из (6.16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.7. М ОДЕЛЬ ДИ НА М И КИ АТМ ОСФЕРЫ |
|
|
|
|
|
С УЧЕТОМ О РОГРАФ ИИ КОН ТИ Н ЕН ТО В |
Рассмотрим |
исходную систему уравнений динамики атмосферы |
|
|
|
du |
_ |
dp |
|
d |
— |
du |
. — A |
|
|
|
Р |
dt |
-plv = |
dx |
— |
v — + pAu, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d_ |
|
dp . |
d |
— |
d |
. — . |
|
|
|
P 4 t- + P Zu: |
- d i + ^ r v -dr + PAv’ |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
gp = |
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
’ |
|
|
|
|
dp |
. dpи |
. |
Ору |
|
dpw__~ |
dt |
' dx |
' |
dy |
' |
dz |
’ |
Cp? |
|
|
д |
- |
OT |
|
|
|
— |
V, |
Ö Z |
|
|
|
|
O Z |
1 |
|
|
|
p = RpT. |
|
(7.1) |
Систему уравнений (7.1) перепишем в другой системе координат, которую введем в рассмотрение следующими преобразованиями:
X* —X,
У =У,
|
|
z |
|
Н т |
z |
|
|
|
(7.2) |
|
|
|
н т-Ъ ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z = И? (X, у) — уравнение |
«верхней» |
границы |
атмосферы, а |
z = I (х, у) — уравнение |
земной поверхности. |
|
Имеют место очевидные формулы перехода от одной системы |
координат к другой: |
da |
|
da |
, |
|
da |
dz' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dx' |
' |
|
dz' |
dx |
’ |
|
|
|
da |
da |
! |
|
da |
dz' |
|
|
|
|
T T |
dy' |
1 |
|
dz' |
dy |
' |
|
|
|
|
да |
|
да |
|
dz' |
|
|
|
(7.3) |
|
|
dz |
|
dz' |
dz |
|
|
|
где а — любая из функций системы (7.1). |
|
|
|
С учетом выражений (7.3), очевидно, имеет место |
|
da |
da |
, |
да |
|
|
да |
-W |
да |
(7.4) |
т г ==т г + и - |
|
|
|
W |
|
|
Т Т |
|
где |
|
дх' |
|
|
|
|
|
|
» |
dz’ . |
dz' |
|
dz' |
|
|
|
W- |
|
(7.5) |
W |
= U |
— ----- 1-0 ■ |
dy |
dz |
|
Аналогично |
|
дх |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д — да |
|
|
д ( |
V |
|
да \ |
(7.6) |
~ѳГѵ Tz |
H T- |
l |
T T \ H T- l |
T T J • |
Остается преобразовать уравнение неразрывности. С помощью формул (7.3) оно перепишется в виде
др |
. |
дри |
, дрѵ . / дри |
dz' . |
дрѵ |
dz' , |
dpw |
dz' |
\ |
n ,n |
dt |
' |
dx' |
Vdz' |
dx + |
dz' |
dy |
dz' |
T z |
) |
U- |
Далее |
(7.11) |
приведем |
в |
форме |
|
|
|
бри/ |
__ бри |
dz' , |
бри |
dz' |
I |
бри; |
dz' |
ри |
dxт {нт~ Ъ ) - |
dz' |
dz' |
дх |
dz' |
ду |
' |
dz' |
dz |
Н т— 9 |
|
|
|
|
ри |
дут{Нт~1). |
(7.12) |
|
|
|
|
Нп |
|
Сравнивая соотношение (7.12) и выражение в скобках из (7.7), можно (7.7) привести к виду
(Яг -5 )-|£ - + ^dx'г (Ят - | ) р и + ^дуг' ( Я т - |) р 1; + -^ г (Яг - 5 ) р и;' = 0. (7.13)
В дальнейшем нам понадобится величина Да в новой системе координат. Поскольку масштаб глобальных атмосферных процессов значительно превышает размер характерных неоднородностей, то можно принять
м |
Л / |
62 |
, 62 |
Аа ^ А а, |
А |
дх' |
ду' |
|
|
Используя полученные выражения, систему основных уравнений приведем к форме:
|
du |
|
, |
|
dp |
p — |
- p lv -. |
|
dx' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
t |
|
1 |
H T — 1 |
dz' |
( H |
|
dv |
, |
, |
|
dp |
P “ Г Г + Р ^ = |
----- i r r |
‘ |
at |
1 |
1 |
|
ду |
( H r - D e ^ r i>+
V
dz
■ ( Я г - а г - ^ р -
|
Hr |
1 |
|
|
|
du |
(і Д'г. |
|
|
|
I dz’ \ H T - l |
dz' |
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
dp |
■ {H T — l ) g p , |
|
|
|
dz' |
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
i r p г |
|
|
6 |
|
d |
- S) py] + |
dt |
{to7- [(Яг“ |
^ PWJ + w |
|
|
+ - ^ r lH T- l) p w '] = 0, |
|
|
|
|
|
d z |
|
|
|
w |
dT , dp |
|
|
|
•Vl |
dT |
~ і г + к ч |
г = H T - l |
•d x ' |
\ H T - l |
dz' ] + И і Д '7 \ |
|
|
|
|
P ^ R p T . |
(7.14) |
К системе уравнений (7.14) необходимо присоединить граничные условия. Поскольку преобразование (7.2) переводит криволинейные
поверхности z = £ (ж, у) и z = І7Т (я, г/) в плоскости г' |
= |
1 и г' = О |
соответственно |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^- ==0 |
при z' = 0, |
z ' = |
1, |
|
|
то приходим к условиям: |
|
|
|
|
|
|
V |
ди |
: — Г, |
|
|
дѵ |
г/г- |
V i |
дТ |
/, |
Нп -I |
dz’ |
H T — l |
dz’ |
Я, -6 |
dz' |
|
|
|
w' = О при z' = |
1; |
|
|
|
|
ди |
О, ^ |
= 0, |
- f - |
= 0, |
w' = 0 при z' = 0. |
(7.15) |
|
dz' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь %хг, хуг и / — заданные функции х ', у' и t.
Переходим далее к некоторым упрощениям задачи (7.14), (7.15).
7.8. Ф О РМ УЛИ РОВКА МОДЕЛИ АТМ ОСФЕРЫ С УЧЕТОМ ОРОГРАФ ИИ В О ТК Л О Н ЕН И Я Х
Снова рассмотрим |
систему основных уравнений |
du |
, |
|
др |
, |
д |
— ди |
. — . |
dv , , |
|
dp . д — дѵ , — . |
р ч г + 1ри== |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
dp |
, |
дри |
. |
дрѵ |
. |
dpw |
=0, |
dt |
|
дх |
|
ду |
|
dz |
|
|
|
|
dT |
I |
dp |
d - |
дТ \ |
дф I |
|
|
|
|
|
öF + P i A J + 8’ |
|
|
|
р = ДрГ. |
|
|
(8. 1) |
Произведем некоторые упрощения системы (8.1), а именно: вве дем в рассмотрение стандартные величины р (z), Т (z) и р (z), свя занные зависимостями
p ^ R p T , i f . |
dT |
Y. |
■W' I T |
и представим истинные функции р, р и Т через стандартные вели чины и отклонения:
р = р + р*, Т = Т + Г , р = р + р \
атакже введем в рассмотрение вместо р' относительную величину
Ф= - ^ .
Р
-Тогда система уравнений (8Л) приближенно может быть переписана в виде:
du |
|
|
|
|
|
|
p - w + i ^ = - p - Z + 4 - ^ - S r + ^ , |
|
|
|
dq> |
_ë_ !JТ/ |
|
|
|
|
|
dz |
R T 2 |
|
|
|
|
dpи |
. dpv |
. dp w |
=o. |
|
|
|
dx |
Oy |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
Р ^ ( Г + Рф Ж у а- у ) р . = ^ ѵ - І Г |
і!і-Д Г + JL |
(8. 2) |
где |
|
|
dz |
cp |
cp |
|
|
|
|
|
|
Ya = xgcp |
|
|
|
ß = |
|
|
|
|
x R T |
|
|
|
|
|
К сожалению, эта система уравнений не имеет квадратичного закона сохранения.
|
Величину р будем рассматривать как |
функцию |
|
высоты, а |
Т п |
Уа — |
У как функции X, у , |
Z |
и сезона |
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем теперь в рассмотрение |
орографию. |
|
Повторяя проведен |
ные |
выше выкладки, приходим к |
следующей |
системе уравнений: |
|
|
р 4 ^ - |
Ірѵ = - |
р |
|
- |
H gpri Т + |
± |
Л г 1 . |
|
|
|
+ |ГД'„, |
|
|
|
d t |
^ |
- Г д х " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і £ + І р и = - р ^ ~ |
|
Ь ергІТ + ± |
э ± |
- £ |
г + ^ А.„, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г) |
Öz' |
р |
öz' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R T 2 |
dtp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pg |
öz' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
öppu . |
|
öppe? |
öppit?' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
öz' |
"г" |
dy' ”■ |
öp |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
P |
|
( Г + ß<P) + |
(Ya — Y) P ^ ' |
|
|
1 1 |
ö |
vx |
|
|
Pl |
X T -] --!-, |
(8.3) |
|
|
|
Cp p |
dz' |
p j ö z ' |
|
. |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
Cp |
|
|
|
Hn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■[HT- z 4 H T- l ) } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx' |
H T ~ l |
d x’ |
и |
- |
I |
T |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч= я , - І ,
идля простоты штрихи при функции Т опустим.
