книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

В качестве начальных данных для сопряженной задачи возьмем

С помощью основной и сопряженной задач и уже рассмотренной техники получим функционал

Сравнивая формулу (3.15) с (3.12), видим, что они совпадают, если выбрать в (3.12) G = Go. В этом случае, как нетрудно убе­ диться, будут совпадать и решения сопряженных уравнений, по­ скольку безразлично, задать ли мгновенный «источник» при t = Т на Go в граничных условиях или задать его на Go в момент времени t — Т как условие Коши.

До сих пор мы предполагали, что задача состоит в рейіении долго­ срочного прогноза погоды на момент времени t = Т по отношению к начальному t = 0. Естественно, что при рассмотрении месячных или сезонных прогнозов нет смысла так точно определять момент предсказания аномалий температуры или других элементов. Мето­ дически было бы более правильно находить прогноз средней анома­ лии температуры за некоторый интервал времени. Например, при прогнозе погоды на ближайший месяц было бы целесообразно дать

то в этом случае было бы достаточно дать осредненный по времени прогноз за первый, второй и третий месяцы сезона. Поскольку осред­ нение прогноза приводит к дополнительной фильтрации метеороло­ гических шумов, то такая процедура повысила бы информатив­ ную значимость прогноза. Это значит, что наш подход к получению формул теории возмущений нужно несколько изменить.

171

С этой целью в качестве граничных условий для системы сопря­ женных уравнений выберем следующие:

Вчастном случае, естественно, они могут быть постоянными.

Вкачестве начальных данных для сопряженных уравнений примем

При граничных условиях (3.18) и начальных данных (3.19) обыч­

Сравнивая формулу (3.20) с (3.15) и (3.12), видим, что формально они совпадают друг с другом, изменяется лишь смысл сопряженного решения. На практике, конечно, удобно выбирать функции и р* гладкими и положительными. В этом случае соотношение (3.21)

6.4.

М ЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФ ОРМ АЦИИ ПО ОТНОШ ЕНИЮ К АНОМ АЛИЯМ СРЕДНЕЙ ТЕМ П ЕРА ТУ РЫ И ДО ЛГОСРО ЧН Ы Й ПРОГНОЗ

Формулы теории возмущений, определенные в предыдущем пара­ графе, позволяют дать толкование решения сопряженной задачи в качестве ценности информации по отношению к аномалии темпе­

172

ратуры в заданной области. Для того чтобы это пояснить, необходимо хотя бы качественно описать динамику решения сопряженной задачи

где компонентами вектора В ф£, например, выбраны условия (3.11). Нетрудно представить себе, что при t — Т, согласно условиям (3.11),

за счет переноса субстанций область ненулевых начальных данных переместится на запад примерно на расстояние и At, на север (или юг) на V At и по z на w At, где At = Т — t. Конечно, сразу же при этом возникнут гравитационные волны — волны Россби, которые «размажут» эту картину, расширив область возмущений и т. д. В результате турбулентной диффузии интенсивность полей компо­ нентов сопряженных функций постоянно будет уменьшаться, в пре­ деле при t -V — оо стремясь к нулю. Это значит, что при достаточно далеких прошлых моментах времени по отношению к моменту t = Т за счет диссипативных процессов информация о начальных полях уже не будет полезной, так как превращается в метеорологические шумы. В математической модели это и выражено тем, что первый интеграл в формуле (3.12) при t ->■ —°° будет стремиться к нулю, а вариации температурной аномалии определятся только потоком тепла из океана, т. е.

__ т

Это предельное соотношение позволяет сделать весьма важное за­ ключение о роли океана в формировании аномалий температуры в долгосрочном прогнозе погоды. Более того, структура формулы (4.2) указывает на тот факт, что сопряженная функция ■&* — решение сопряженной задачи — является функцией влияния в отношении

кпрогнозируемым вариациям.

Всвязи с тем что сопряженное решение является в конечном

итоге основным критерием значимости информации по отношению и рассматриваемому функционалу задачи, его можно назвать цен­ ностью информации.

6.5. О БЩ АЯ ТЕО РИ Я ВОЗМ УЩ ЕНИЙ Д Л Я ЭВОЛЮ ЦИОННЫ Х ЗАДАЧ

В предыдущих параграфах настоящей главы была построена теория возмущений в предположении, что истинное поле вектора скорости мало отличается от климатического. На самом деле при прогнозах погоды, особенно на короткий срок, приходится иметь Дело с весьма существенными отклонениями полей метеорологи­ ческих элементов от климатических и в этом случае теория малых

173

возмущений уже оказывается недостаточной. Поэтому мы приходим к необходимости создания более полной теории, не связанной с пред­ положением о малых возмущениях. С этой целью в качестве основ­ ного «невозмущенного» состояния атмосферы будем рассматривать климатическое состояние. Реальное состояние атмосферы будем называть возмущением. Пусть невозмущенное состояние атмосферы описывается основной задачей (3.4)

В фазовом пространстве D X Т введем в рассмотрение скалярное произведение

Умножим далее скалярно уравнение (5.1) на ф*, а уравнение (5.2) на ф и результаты вычтем друг из друга. Тогда, используя начальные данные и условия, связывающие компоненты ф и ф* на границах

и сопряженных уравнений в невозмущенном состоянии связаны зависимостями (5.4)—(5.6).

Наряду с невозмущенным состоянием теперь рассмотрим воз­

174

К задаче (5.7) присоединим сопряженную задачу, соответствующую невозмущенному состоянию атмосферы

Как и прежде, скалярно умножим уравнение (5.7) на ф*, уравнение (5.8) на <р' и результаты вычтем. Тогда приходим к соотношению, аналогичному (5.4)

где В — некоторый функционал, связанный с тем, что граничные условия для компонентов решения ф могут оказаться неоднородными.

где А, ф и / — оператор и векторы, соответствующие невозмущен­

Формула (5.12) будет основной для получения различных про­ гностических выражений для искомых функционалов задач.

6.6. ТЕО РИ Я ВОЗМ УЩ ЕН Д Л Я ЗА ДА Ч ПРОГНО ЗА ПОГОДЫ

Переходим к покомпонентной записи формул теории возмущений. С этой целью рассмотрим возмущенную систему уравнений атмосфер­ ных движений

175

и условиями периодичности решения по (х, у). Здесь ф' = О -f бй,

Ь' = б1 б$, O' и ф — климатические температуры соответственно воздуха на уровне будки и поверхностного слоя трения океана,

а 6# и бі} — отклонения от климатических значений. В качестве начальных данных примем

Далее, рассмотрим сопряженную систему, соответствующую не­ возмущенному состоянию атмосферы

при граничных условиях

а также в предположении периодичности решения по (х , у) и началь­ ных данных

176

где u£, Vj и 'öy — функции, которые будут определены в даль­ нейшем.

Прежде чем переходить к конструкции формул теории возмуще­ ний, введем в рассмотрение следующие обозначения:

Л = А -j- 6А , ctg = ctg -]- öctg.

В соответствии с рассмотренной формальной процедурой основное

с последующим сложением. Результат проинтегрируем по всему фазовому объему D X Т . Тогда с помощью простых преобразований приходим к выражению

оs

В(6.7) предположим, что возмущения операторов и решений отсутствуют. Тогда получим формулу

Формулу теории возмущений перепишем в окончательной форме:

-j— й*бЛГ) рсШ + д f dt f [asöä + öasflF' —#')]#* dS. (6.10)

Если теперь в качестве начальных условий для сопряженных уравнений возьмем условие (3.11), то приходим к формуле для ано­ малий средней температуры

оs

Проведем некоторые упрощения формулы (6.11) в том случае, когда срок прогноза достаточно велик (например, месяц). В этом случае, как было отмечено раньше, влияние начальных данных будет мало, поскольку интенсивность величин и*, ѵ* и О* со временем за счет диссипации будет уменьшаться. Тогда формула (6.11) при­

Если предположить, что сопряженная задача решается при

Смысл этой формулы весьма прозрачен, а именно первый член в пра­ вой части (6.13) описывает вклад в аномалию температуры за счет взаимодействия атмосферы и океана, при этом член

г

q j dt j as6M* dS

178

учитывает отклонение температуры поверхностного слоя трения океана от климатической, а другой член

qJгdt J6as (ft' — $') $* dS

-с о S

описывает эффекты, связанные с отклонением теплопередачи атмо­ сфера — океан за счет штормов, нестандартной динамики ледового покрова и т. д.

Из формулы (6.14) следует, что долгосрочные аномалии темпера­ туры больших регионов континентов формируются в деятельном слое океана при его взаимодействии с атмосферой.

Наконец, если пренебречь штормами и считать динамику льдов известной, то формула для прогноза аномалии температуры при­

В заключение следует отметить, что в настоящем параграфе мы рассмотрели только случай, когда источники в сопряженных уравне­ ниях задаются начальными данными (3.11). Все рассуждения остаются в силе для случая задания источников в граничных усло­ виях в форме (3.13). В этом случае следует лишь G заменить на Go и в качестве сопряженных функций взять решение задачи (3.7), (ЗЛЗ), (3.14).

6.7. ПЕРЕНОС ТЕП В БА РО КЛИ Н Н О М О КЕА Н Е

Поскольку океан играет решающую роль в формировании ано­ малий температуры при долгосрочном прогнозе погоды, а данных по термическому состоянию океана крайне мало, представляется

начальных данных при t = 0 климатическое состояние океана, шаг за шагом будем адаптировать океан к реальным возмущениям, по­ ступающим с его поверхности. В результате океан адаптируется к атмосферным воздействиям и информация о его термическом ре­ жиме может быть использована для целей долгосрочного прогноза погоды. Такова основная идея дальнейшего анализа.

Итак, рассмотрим систему уравнений динамики океана в линей­ ном приближении:

Т — уже ранее введенный параметр атмосферы. Такое определение удобно по той причине, что оно дает возможность сохранить непре­ рывность относительных температур атмосферы и океана на поверх­ ности океана: а — заданная константа, связывающая температуру воды и ее плотность по формуле р = cr&s- Влиянием солености мы пренебрегаем, хотя ее учет был бы тривиален.

Для удобства в системе (7.1) мы использовали те же обозначения для коэффициентов турбулентного обмена, что и для атмосферы, снабдив их только индексами S. Граничные условия для системы (7.1) выберем в виде

Далее, введем в рассмотрение систему сопряженных уравнений:

180