книги из ГПНТБ / Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана

где использовано обозначение

^ = ~ (аі+1 а1' 1).

Третье из уравнений системы (3.15) позволяет ввести в рассмотре­ ние функцию тока

Уравнение (3.17) необходимо решить при условии периодичности функции тока. Сформулированная задача может быть решена любым из методов, изложенных в гл. 3 *.

Переходим теперь к решению задачи (3.13). Эта задача, как легко показать, следуя рассуждениям гл. 4, допускает расщепление.

Р

—gpÖ-V ;2+ PVmTr' ■'2=

Vft (Put ' l!) - T Vm (рК~'Іг) = О,

Н (3.19)

+ ^ Р < 1/2 = 0

при условии

Р о < о = Р м К ' м ^ 0-

1 См. Марчук Г. И. «Методы вычислительной математики».

151

Начальными условиями для этой задачи будут

-№ ^з”'/2J-РѴтфГ’/2= о,

(3.20), затем (3.19) и наконец (3.18). Этим заканчивается цикл реше­ ния уравнений адаптации.

Переходим к рассмотрению бароклинного компонента. Решение задачи (3.18) находится в явной форме:

Іт

Z2T2 и[ 1 Т

Используя выражения (3.22) и исключая из системы (3.19) все

152

Граничными условиями для уравнения (3.22) будут условия периодичности по переменной х и условие обтекания на уровне зем­ ной поверхности и на уровне z = Н, т. е.

Ѵ_1/2 = 0 при 2 = 0,

г|/-,/> = 0 при z = H.

После решения задачи (3.23) функции ри1, рѵ1, рй; находятся по формулам:

ри{ = — 2ѵтф/_Ѵг — рг4“\

Тогда, аналогично предыдущему, приходим к уравнению для функ­ ции тока

при условии периодичности по переменной у и условии обтекания ф/—‘/«= 0 при 2 = 0,

Что касается компонентов решения, необходимых для дальнейшего расчета, то они, аналогично (3.24), имеют вид

Аналогичным образом решаются, только в обратном порядке, эти задачи для интервала ^ t ^ tj +1.

153

В заключение рассмотрим метод решения задач (3.23) с помощью разложения в ряды Фурье по собственным элементам следующей спектральной задачи:

Задача (3.29), (3.30) определяет полный набор ортонормированных собственных векторов {Z„} и набор собственных чисел {^„}.

Решение уравнений (3.23) будем искать в виде

Af-l

(3.31)

П=1

при этом вектор f */г также разложим в ряд Фурье

М-1 »

г ч -’= 2 fn 'hz n, (3.32)

п=1

где

а скалярное произведение определяется в форме

(а, Ъ) — ambm AZm гі

Рт

Подставляя разложения (3.31) и (3.32) в (3.22), (3.23) и умножая результаты скалярно на Z„, приходим к следующей задаче:

Что касается задачи (3.34), то ее периодические решения нахо* дятся с помощью метода факторизации. Таким образом, все элементы алгоритма решения задачи адаптации обсуждены.

РЕШ Е Н И Я У РА В Н ЕН И Й АДАПТАЦИИ

Расщепление задачи адаптации (3.11) при условии (3.12) на три задачи (3.16)—(3.18) возможно только в том случае, когда безраз­ мерный параметр Іх существенно меньше единицы. Ошибка аппро­

ксимации от такого расщепления по норме примерно равна —i h 2.

Для средних широт и при т = 20 минут ~ l h 2 ^ А-. Такая

погрешность в аппроксимации оказывается приемлемой для задан прогноза погоды. Если временной интервал уменьшить, то аппро­

154

ксимация может быть еще улучшена. Однако в ряде случаев, на­ пример, при изучении эволюции крупномасштабных процессов, параметр т на основе оценки характерных времен эволюции может быть выбран весьма большим, равным одному часу или нескольким часам. В этом случае пользоваться рассмотренной выше схемой расщепления уже невозможно и требуется численное решение задачи бароклинной адаптации (3.11)—(3.12) без расщепления на элемен­ тарные задачи. С этой целью произведем аппроксимацию задачи (3.11), (3.12) на основе схемы Кранка — Николсона. Тогда будем иметь

ръ*= -у Ѵтф;.

YÄ (ри1) ■ѵ7 (рѵ1) І-Ѵй (pu’f) - 0,

К системе (4.4) присоединим граничные условия

Из первых двух уравнений системы (4.4) выразим^ ри*, рѵ* че­ рез ф;:

pit' = і 1 - [рцМ-і-арі;^1 —тр(у*ф'-;-«уГф')].

155

из третьего и последнего уравнения получим

ор

рw' :^Г Ѵ Ѵ + — РА'“1,

(4.7)

где а — Іт. Итак, все неизвестные выражены через срЛ Подставим теперь (4.6) и (4.7) в уравнение неразрывности. Тогда получим

к системе разностных уравнений для коэффициентов Фурье разложе­ ний по собственным функциям задачи (3.20), (3.21).

всоответствии с (4.3) по формуле

а/+і 2д1— аМ #

Следует специально подчеркнуть, что для нормы вектора-функции решение задачи Ф имеет место соотношение

I) Ф ІІ2=Г=IIФ II2-Ь IIФ'Р,

поэтому из условий

|ф /+ Ч = ||ф М |, ||ф 'М ||Н |ф ./-1||

следует закон сохранения энергии

||ф/+Ч1= |ф М |.

158

Г л а в а 6

СОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ АТМОСФЕРЫ И ДОЛГОСРОЧНЫЙ ПРОГНОЗ п о г о д ы

Важный шаг в развитии методов долгосрочного прогноза погоды в Советском Союзе был сделан Е. Н. Блиновой. Ее исследования послужили основой для формирования методологии построения гидродинамических моделей описания долговременных изменений погоды и климата.

Решение проблем долгосрочного прогноза погоды и влияния деятельности человека на изменения климата требует создания такого математического аппарата, который бы позволил на основе решения задач динамики атмосферы и океана, использования апри­ орной информации о климатическом состоянии атмосферы и фактиче­ ской информации об отклонениях полей метеорологических элементов от климатических дать прогноз аномалий температуры и других элементов в заданных районах земного шара. Районы, на которых дается прогноз, должны иметь характерный размер, увеличива­ ющийся с увеличением заблаговременности прогноза. Размеры регионов должны быть уточнены на основе анализа предсказуемости. Важно отметить лишь то, что локальная метеорологическая информа­ ция очень чувствительна к непрогнозируемым «метеорологическим шумам», которые свойственны любой, даже самой богатой прогно­ стической модели. Такие шумы обычно являются результатом раз­ решения физических неустойчивостей, непрерывно реализуемых в атмосфере. Потеря информации происходит и за счет не очень точ­ ных моделей прогноза, используемых в расчете. Эту потерю также можно условно отнести к метеорологическим шумам, полагая, что «точная» (вообще говоря, неизвестная) модель содержит «помехи», которые делают ее адекватной используемой нами простейшей мо­ дели. Поэтому выбор характерных масштабов регионов, для которых дается прогноз, является одной из центральных задач теории пред­ сказуемости.

Другой задачей является построение таких теорий, которые бы позволили исследователям получить результаты прогноза непосред­ ственно для отклонений метеорологических элементов от их климати­ ческих значений. Если для линейных моделей прогноза такая постановка задачи являѳтся тривиальной, то для полной нелинейной

158

задачи она требует разработки нового математического аппарата на основе специальным образом определенных сопряженных урав­ нений, связанных с прогнозируемыми функционалами задач. Теория сопряженных уравнений в применении к операторным уравнениям эволюционного типа была разработана автором совместно

сВ. В. Орловым. 1

Внастоящей главе мы изложим более или менее общий подход

кпостроению сопряженных уравнений прогноза погоды, получим формулы теории возмущений, которые будут основными как для анализа предсказуемости, так и для цели прогноза погоды. В каче­ стве основного функционала мы будем рассматривать аномалию температуры на земной поверхности для того или иного региона. Распространение теории на другие линейные функционалы от полей

.метеорологических элементов не представляет труда.

6.1. С О П РЯ Ж Е Н Н Ы Е У РА В Н ЕН И Я Д И Н А М И КИ АТМ ОСФЕРЫ

Рассмотрим систему уравнений динамики атмосферных процессов в адиабатическом приближении и исследуем структуру оператора задачи. Исследования начнем с простейшего случая баротропной атмосферы. В этом случае имеем задачу

роль относительного отклонения давления от стандартного. Будем считать, что областью определения решения является квадрат D. На границе dD предположим, что поставлены условия периодич­ ности решения. Введем в рассмотрение вектор решения и матрицу

гл . 5.

159

Здесь использовано обозначение оператора

Используя это обозначение, имеем

Au = divuH, Лп = с1іѵш;.

Тогда систему уравнений (1.1) можно записать в операторной форме

где В — матрица следующего вида:

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Скалярное произведение в гильбертовом пространстве Ф введем соотношением

(g, Л)в = 2 \g thidD. t=ij5

Здесь gi и hi соответственно компоненты вектор-функций g и h. Найдем теперь сопряженный оператор по отношению к А . С этой

целью рассмотрим тождество Лагранжа

(g, Ah)D = (A*g, h)D

или

Для простоты примем

иu*

h = V , g = V*

RT(f ДГф*

С помощью интегрирования по частям в предположении о пери­ одичности решений и некоторых очевидных преобразований интег­ рал в правой части (1.3) можно привести к виду

160